Álgebra Abstrata: Teoria e Aplicações

Considere o conjunto dos números reais não nulos, \({\mathbb R}^*\text{,}\) com a operação de multiplicação para formar um grupo. A identidade desse grupo é 1 e o inverso de qualquer elemento \(a \in {\mathbb R}^*\) é simplesmente \(1/a\text{.}\) Mostraremos que

é um subgrupo de \({\mathbb R}^*\text{.}\) A identidad de \({\mathbb R}^*\) é 1; no entanto, \(1 = 1/1\) é o quociente de dois inteiros não nulos. Portanto, a identidade de \({\mathbb R}^*\) está em \({\mathbb Q}^*\text{.}\) Dados dois elementos em \({\mathbb Q}^*\text{,}\) digamos \(p/q\) e \(r/s\text{,}\) seu produto \(pr/qs\) também está em \({\mathbb Q}^*\text{.}\) O inverso de qualquer elemento \(p/q \in {\mathbb Q}^*\) está novamente em \({\mathbb Q}^*\) pois \((p/q)^{-1} = q/p\text{.}\) Como a multiplicação em \({\mathbb R}^*\) é associativa, multiplicação em \({\mathbb Q}^*\) é associativa.

Lembre-se que \({\mathbb C}^{\ast}\) é o grupo multiplicativo dos números complexo não nulos. Seja \(H = \{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\) Então \(H\) é um subgrupo de \({\mathbb C}^{\ast}\text{.}\) É fácil verificar que \(H\) é um grupo com a operação de multiplicação e que \(H \subset {\mathbb C}^{\ast}\text{.}\)

Seja \(SL_2( {\mathbb R})\) o subconjunto de \(GL_2( {\mathbb R })\) que contém as matrizes de determinante um; isto é, uma matriz

está em \(SL_2( {\mathbb R})\) precisamente quando \(ad - bc = 1\text{.}\) Para mostrar que \(SL_2( {\mathbb R})\) é um subgrupo do grupo linear general, devemos demonstrar que também é um grupo com a operação de multiplicação de matrizes. A matriz identidade de \(2 \times 2\) está em \(SL_2( {\mathbb R})\text{,}\) assim como a inversa da matriz \(A\text{:}\)

Falta mostrar que a multiplicação é fechada; isto é, que o produto de duas matrizes de determinante um também tem determinante um. Deixaremos esta tarefa como exercício. O grupo \(SL_2({\mathbb R})\) se chama grupo linear especial.

É importante notar que um subconjunto \(H\) de um grupo \(G\) pode ser um grupo sem ser um subgrupo de \(G\text{.}\) Para que \(H\) seja um subgrupo de \(G\) deve herdar a operação binária de \(G\text{.}\) O conjunto de todas as matrizes de \(2 \times 2\text{,}\) \({\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{,}\) forma um grupo com a operação de adição. O grupo linear general \(GL_2( {\mathbb R})\) é um subconjunto de \({\mathbb M}_2(\mathbb R)\) e é um grupo com a operação de multiplicação de matrizes, mas não é um subgrupo de \({\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{.}\) Se somamos duas matrizes invertíveis não necessariamente obteremos outra matriz invertível. Observe que

mas a matriz zero não está em \(GL_2( {\mathbb R })\text{.}\)

Uma maneira de saber se dois grupos são o mesmo grupo, é examinando seus subgrupos. Para além do subgrupo trivial e do próprio grupo, o grupo \({\mathbb Z}_4\) tem exatamente um subgrupo adicional que consiste dos elementos 0 e 2. A partir do grupo \({\mathbb Z}_2\text{,}\) podemos formar outro grupo de quatro elementos como segue. Como conjunto, este grupo é \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Realizamos as operações coordenada a coordenada; isto é, \((a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)\text{.}\) O Quadro 3.3.6 é uma tabela de somas para \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Como há três subgrupos próprios não triviais de \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{,}\) \(H_1 = \{ (0,0), (0,1) \}\text{,}\) \(H_2 = \{ (0,0), (1,0) \}\text{,}\) y \(H_3 = \{ (0,0), (1,1) \}\text{,}\) \({\mathbb Z}_4\) y \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) devem ser grupos diferentes.