Capítulo 3 Grupos
Começaremos nosso estudo de estruturas algébricas investigando conjuntos dotados de uma operação que satisfaça certos axiomas razoáveis; isto é, queremos definir uma operação em um conjunto de forma a generalizar estruturas familiares como os inteiros \({\mathbb Z}\) com a operação única de soma, as matrizes invertíveis \(2 \times 2\) com a operação única de multiplicação de matrizes. Os inteiros e as matrizes \(2 \times 2\text{,}\) junto con suas respectivas operações únicas, são exemplos de estruturas algébricas conhecidas como grupos.
A teoria do grupo ocupa uma posição central na matemática. A teoria moderna dos grupos surgiu da tentativa de encontrar as raízes de um polinómio em termos dos seus coeficientes. Os grupos desempenham agora um papel central em áreas como a teoria dos códigos, a contagem, e o estudo das simetrias; muitas áreas da biologia, química e física beneficiaram da teoria dos grupos.