Álgebra Abstrata: Teoria e Aplicações

1.

Consideremos o polinômio \(x^3-3x+4\text{.}\) Calcule a fatoração máxima deste polinômio sobre cada um dos seguintes corpos: (a) o corpo finito \({\mathbb Z}_5\text{,}\) (b) o corpo finito de ordem 125, (c) \(\mathbb Q\text{,}\) (d) \(\mathbb R\) e (e) \(\mathbb C\text{.}\) Para fazer isto, construa o anel de polinômios apropriado, construa o polinômio neste anel e use o método .factor().

2.

“Os polinômios de Conway” são polinômios irredutíveis sobre \({\mathbb Z}_p\) que Sage (e outros programas) usa para construir ideais maximais em anéis de polinômio, e por fim anéis quocientes que são corpos. A grosso modo, são escolhas

canônicas

Execute o comando conway_polynomial(5, 4) para obter um polinômio presumidamente irredutível de grau 4 sobre \({\mathbb Z}_5\text{:}\) \(p = x^{4} + 4x^{2} + 4x + 2\text{.}\) Construa o anel de polinômios apropriado (i.e., na variável \(x\)) e verifique que p realmente é um elemento desse anel de polinômios.

Primeiro verifique que \(p\) não tem fatores lineares. A única possibilidade que resta é que p é fatorado como produto de dois polinômios quadráticos sobre \({\mathbb Z}_5\text{.}\) Use uma lista com três for para criar todos os possíveis polinômios quadráticos sobre \({\mathbb Z}_5\text{.}\) Agora use esta lista para criar todos os possíveis produtos de dois polinômios quadráticos e comprove se p está nesta lista.

Pode encontrar mais informação sobre os polinômios de Conway no sitio de Frank Lübeck¹.

3.

Construa um corpo finito de ordem \(729\) como quociente de um anel de polinômios por um ideal principal gerado com um polinômio de Conway.

4.

Defina os polinômios \(p = x^3 + 2x^2 + 2x + 4\) e \(q = x^4 + 2x^2\) como polinômios com coeficientes inteiros. Calcule gcd(p, q) e verifique que o resultado divide tanto p como q (forme a fração em Sage e veja que se simplifica completamente, ou use o método .quo_rem() ).

A Proposição 17.2.5 diz que existem polinômio \(r(x)\) e \(s(x)\) tais que o máximo divisor comum é \(r(x)p(x)+s(x)q(x)\text{,}\) se os coeficientes estão em um corpo. Como aqui temos dois polinômios sobre os inteiros, investigue os resultados que Sage entregou para o \(\gcd\) estendido, xgcd(p, q). Em particular, mostre que a primeira componente do resultado é um múltiplo de \(\gcd\text{.}\) Despois verifique a propriedade de “combinação linear”.

5.

Para um anel de polinômios sobre um corpo, todo ideal é principal. Comece com o anel de polinômios sobre os racionais. Experimente construindo ideais com dois geradores e veja que Sage os converte em ideais principais com só um gerador. (Pode obter este gerador com o método .gen() del ideal.) Pode explicar como se calcula este gerador?