Álgebra Abstrata: Teoria e Aplicações

1.

Consideremos o polinômio $x^3-3x+4\text{.}$ Calcule a fatoração máxima deste polinômio sobre cada um dos seguintes corpos: (a) o corpo finito ${\mathbb{Z}}_5\text{,}$ (b) o corpo finito de ordem 125, (c) $\mathbb{Q}\text{,}$ (d) $\mathbb{R}$ e (e) $\mathbb{C}\text{.}$ Para fazer isto, construa o anel de polinômios apropriado, construa o polinômio neste anel e use o método .factor().

2.

“Os polinômios de Conway” são polinômios irredutíveis sobre ${\mathbb{Z}}_p$ que Sage (e outros programas) usa para construir ideais maximais em anéis de polinômio, e por fim anéis quocientes que são corpos. A grosso modo, são escolhas

canônicas

Execute o comando conway_polynomial(5, 4) para obter um polinômio presumidamente irredutível de grau 4 sobre ${\mathbb{Z}}_5\text{:}$ $p=x^4+4x^2+4x+2\text{.}$ Construa o anel de polinômios apropriado (i.e., na variável $x$) e verifique que p realmente é um elemento desse anel de polinômios.

Primeiro verifique que $p$ não tem fatores lineares. A única possibilidade que resta é que p é fatorado como produto de dois polinômios quadráticos sobre ${\mathbb{Z}}_5\text{.}$ Use uma lista com três for para criar todos os possíveis polinômios quadráticos sobre ${\mathbb{Z}}_5\text{.}$ Agora use esta lista para criar todos os possíveis produtos de dois polinômios quadráticos e comprove se p está nesta lista.

Pode encontrar mais informação sobre os polinômios de Conway no sitio de Frank Lübeck¹.

3.

Construa um corpo finito de ordem $729$ como quociente de um anel de polinômios por um ideal principal gerado com um polinômio de Conway.

4.

Defina os polinômios $p=x^3+2x^2+2x+4$ e $q=x^4+2x^2$ como polinômios com coeficientes inteiros. Calcule gcd(p, q) e verifique que o resultado divide tanto p como q (forme a fração em Sage e veja que se simplifica completamente, ou use o método .quo_rem() ).

A Proposição 17.2.5 diz que existem polinômio $r(x)$ e $s(x)$ tais que o máximo divisor comum é $r(x)p(x)+s(x)q(x)\text{,}$ se os coeficientes estão em um corpo. Como aqui temos dois polinômios sobre os inteiros, investigue os resultados que Sage entregou para o $\mathrm{mdc}$ estendido, xgcd(p, q). Em particular, mostre que a primeira componente do resultado é um múltiplo de $\mathrm{mdc}\text{.}$ Despois verifique a propriedade de “combinação linear”.

5.

Para um anel de polinômios sobre um corpo, todo ideal é principal. Comece com o anel de polinômios sobre os racionais. Experimente construindo ideais com dois geradores e veja que Sage os converte em ideais principais com só um gerador. (Pode obter este gerador com o método .gen() del ideal.) Pode explicar como se calcula este gerador?