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Exercícios 17.5 Exercícios Adicionais: Resolvendo as Equações Cúbica e Quádrica

1.

Resolva a equação quádrica geral

\begin{equation*} ax^2 + bx + c = 0 \end{equation*}

obtendo

\begin{equation*} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \end{equation*}

O discriminante da equação quadrática \(\Delta = b^2 - 4ac\) determina a natureza das soluções da equção. Se \(\Delta \gt 0\text{,}\) a equação tem duas soluções reais diferentes. Se \(\Delta = 0\text{,}\) a equação tem uma única solução real repetida. Se \(\Delta \lt 0\text{,}\) existem duas soluções imaginárias diferentes.

2.

Mostre que qualquer equação cúbica da forma

\begin{equation*} x^3 + bx^2 + cx + d = 0 \end{equation*}

pode ser reduzida a forma \(y^3 + py + q = 0\) fazendo a substituição \(x = y - b/3\text{.}\)

3.

Demonstre que as raízes cúbicas de 1 são dadas por

\begin{align*} \omega & = \frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}\\ \omega^2 & = \frac{-1- i \sqrt{3}}{2}\\ \omega^3 & = 1. \end{align*}

4.

Faça a substituição

\begin{equation*} y = z - \frac{p}{3 z} \end{equation*}

para \(y\) na equação \(y^3 + py + q = 0\) e obtenha duas soluções \(A\) e \(B\) para \(z^3\text{.}\)

5.

Mostre que o produto das soluções obtidas em (4) é \(-p^3/27\text{,}\) deduzindo que \(\sqrt[3]{A B} = -p/3\text{.}\)

6.

Demonstre que as possíveis soluções para \(z\) em (4) são dadas por

\begin{equation*} \sqrt[3]{A}, \quad \omega \sqrt[3]{A}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{A}, \quad \sqrt[3]{B}, \quad \omega \sqrt[3]{B}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{B} \end{equation*}

e use este resultado para mostrar que as três possíveis soluções para \(y\) são

\begin{equation*} \omega^i \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} } + \omega^{2i} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} }, \end{equation*}

donde \(i = 0, 1, 2\text{.}\)

7.

O discriminante da equação cúbica é

\begin{equation*} \Delta = \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}. \end{equation*}

Mostre que \(y^3 + py + q=0\)

  1. tem três raízes reais, das que ao menos duas são iguais, se \(\Delta = 0\text{.}\)

  2. tem uma raiz real e duas raízes complexas não reais conjugadas se \(\Delta \gt 0\text{.}\)

  3. tem três raízes reais distintas se \(\Delta \lt 0\text{.}\)

8.

Resolva as seguintes equações cúbicas.

  1. \(\displaystyle x^3 - 4x^2 + 11 x + 30 = 0\)

  2. \(\displaystyle x^3 - 3x +5 = 0\)

  3. \(\displaystyle x^3 - 3x +2 = 0\)

  4. \(\displaystyle x^3 + x + 3 = 0\)

9.

Mostre que a equação quádrica geral

\begin{equation*} x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \end{equation*}

se reduz a

\begin{equation*} y^4 + py^2 + qy + r = 0 \end{equation*}

fazendo a substituição \(x = y - a/4\text{.}\)

10.

Mostre que

\begin{equation*} \left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (z - p)y^2 - qy + \left( \frac{1}{4} z^2 - r \right). \end{equation*}

11.

Mostre que o lado direito do Exercício 17.5.10 pode ser colocado na forma \((my + k)^2\) se e somente se

\begin{equation*} q^2 - 4(z - p)\left( \frac{1}{4} z^2 - r \right) = 0. \end{equation*}

12.

Do Exercício 17.5.11 obtenha a equação cúbica resolvente

\begin{equation*} z^3 - pz^2 - 4rz + (4pr - q^2) = 0. \end{equation*}

Resolvendo a resolvente cúbica, ponha a equação encontrada no Exercício 17.5.10 na forma

\begin{equation*} \left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (my + k)^2 \end{equation*}

para obter a solução da equação quádrica.

13.

Use este método para resolver as seguintes equações quadráticas.

  1. \(\displaystyle x^4 - x^2 - 3x + 2 = 0\)

  2. \(\displaystyle x^4 + x^3 - 7 x^2 - x + 6 = 0\)

  3. \(\displaystyle x^4 -2 x^2 + 4 x -3 = 0\)

  4. \(\displaystyle x^4 - 4 x^3 + 3x^2 - 5x +2 = 0\)