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Seção 14.1 Grupos Agindo em Conjuntos

Seja \(X\) um conjunto e seja \(G\) um grupo. Uma ação (à esquerda) de \(G\) em \(X\) é um mapa \(G \times X \rightarrow X\) dada por \((g,x) \mapsto gx\text{,}\) onde

  1. \(ex = x\) para todo \(x \in X\text{;}\)

  2. \((g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)\) para todo \(x \in X\) e todo \(g_1, g_2 \in G\text{.}\)

Sob estas condições, \(X\) se denomina um \(G\)-conjunto. Note que não é necessário que \(X\) esteja relacionado com \(G\) de nenhuma forma. É verdade que qualquer grupo \(G\) age em qualquer \(X\) com a acão trivial \((g,x) \mapsto x\text{;}\) contudo, ações de grupo se tornam mais interessantes se o conjunto \(X\) tem alguma relação com \(G\text{.}\)

Sejam \(G = GL_2( {\mathbb R} )\) e \(X = {\mathbb R}^2\text{.}\) Então \(G\) age em \(X\) por multiplicação à esquerda. Se \(v \in {\mathbb R}^2\) e \(I\) é a matriz identidade, então \(Iv = v\text{.}\) Se \(A\) e \(B\) são matrizes inversíveis \(2 \times 2\text{,}\) então \((AB)v = A(Bv)\) já que a multiplicação de matrizes é associativa.

Seja \(G = D_4\) o grupo de simetrias de um quadrado. Se \(X = \{ 1, 2, 3, 4 \}\) é o conjunto de vértices do quadrado, então podemos considerar \(D_4\) como o conjunto das seguintes permutações:

\begin{equation*} \{ (1), (13), (24), (1432), (1234), (12)(34), (14)(23), (13)(24) \}. \end{equation*}

Os elementos de \(D_4\) agem em \(X\) como funções. A permutação \((13)(24)\) age no vértice 1, enviando-o ao vértice 3, no vértice 2 enviando-o ao vértice 4, e assim sucessivamente. É fácil verificar que os axiomas de ações de grupo são satisfeitos.

Em geral, se \(X\) é um cojunto qualquer e \(G\) é um subgrupo de \(S_X\text{,}\) o grupo de todas as permutações agindo em \(X\text{,}\) então \(X\) é um \(G\)-conjunto com a ação de grupo

\begin{equation*} (\sigma, x) \mapsto \sigma(x) \end{equation*}

para \(\sigma \in G\) e \(x \in X\text{.}\)

Se tomamos \(X = G\text{,}\) então qualquer grupo \(G\) age em si mesmo por meio da representação regular à esquerda; isto é, \((g,x) \mapsto \lambda_g(x) = gx\text{,}\) onde \(\lambda_g\) é a multiplicação à esquerda:

\begin{gather*} e \cdot x = \lambda_e x = ex = x\\ (gh) \cdot x = \lambda_{gh}x = \lambda_g \lambda_h x = \lambda_g(hx) = g \cdot ( h \cdot x). \end{gather*}

Se \(H\) é um subgrupo de \(G\text{,}\) então \(G\) é um \(H\)-conjunto sob multiplicação à esquerda por elementos de \(H\text{.}\)

Seja \(G\) um grupo e suponha que \(X=G\text{.}\) Se \(H\) é um subgrupo de \(G\text{,}\) então \(G\) é um \(H\)-conjunto sob conjugacão; isto é, podemos definir uma ação de \(H\) em \(G\text{,}\)

\begin{equation*} H \times G \rightarrow G, \end{equation*}

via

\begin{equation*} (h,g) \mapsto hgh^{-1} \end{equation*}

para \(h \in H\) y \(g \in G\text{.}\) Claramente, o primeiro axioma de ação de grupo é satisfeito. Observando que

\begin{align*} (h_1 h_2, g) & = h_1 h_2 g (h_1 h_2 )^{-1}\\ & = h_1( h_2 g h_2^{-1}) h_1^{-1}\\ & = (h_1, (h_2, g) ), \end{align*}

vemos que o segundo axioma também é satisfeito.

Seja \(H\) um subgrupo de \(G\) e \({\mathcal L}_H\) o conjunto de clases laterais à esquerda de \(H\text{.}\) O conjunto \({\mathcal L}_H\) é um \(G\)-conjunto sob a ação

\begin{equation*} (g, xH) \mapsto gxH. \end{equation*}

Novamente, é fácil ver que se satisfaz o primeiro axioma. Como \((g g')xH = g( g'x H)\text{,}\) o segundo axioma também é válido.

Se \(G\) age em um conjunto \(X\) e \(x, y \in X\text{,}\) então dizemos que \(x\) é \(G\)-equivalente à \(y\text{,}\) se existe \(g \in G\) tal que \(gx =y\text{.}\) Escrevemos \(x \sim_G y\) ou \(x \sim y\) se dois elementos são \(G\)-equivalentes.

A relação \(\sim\) é reflexiva pois \(ex = x\text{.}\) Suponha que \(x \sim y\) com \(x, y \in X\text{.}\) Então existe \(g\) tal que \(gx = y\text{.}\) Neste caso \(g^{-1}y=x\text{;}\) portanto \(y \sim x\text{.}\) Para mostrar que a relação é transitiva, suponha que \(x \sim y\) e \(y \sim z\text{.}\) Então existem elementos \(g\) e \(h\) do grupo tais que \(gx = y\) e \(hy= z\text{.}\) Assim, \(z = hy = (hg)x\text{,}\) e \(x\) é equivalente à \(z\text{.}\)

Se \(X\) é um \(G\)-conjunto, então qualquer partição de \(X\) associada à \(G\)-equivalencia se denomina órbita de \(X\) sob \(G\text{.}\) Para a órbita que contém um elemento \(x\) de \(X\text{,}\) usamos a notação \({\mathcal O}_x\text{.}\)

Seja \(G\) o grupo de permutações definido por

\begin{equation*} G =\{(1), (1 2 3), (1 3 2), (4 5), (1 2 3)(4 5), (1 3 2)(4 5) \} \end{equation*}

e \(X = \{ 1, 2, 3, 4, 5\}\text{.}\) Então \(X\) é um \(G\)-conjunto. As órbitas são \({\mathcal O}_1 = {\mathcal O}_2 = {\mathcal O}_3 =\{1, 2, 3\}\) e \({\mathcal O}_4 = {\mathcal O}_5 = \{4, 5\}\text{.}\)

Agora suponha que \(G\) é um grupo agindo em um conjunto \(X\) e seja \(g\) um elemento de \(G\text{.}\) O conjunto de pontos fixos de \(g\) em \(X\text{,}\) denotado por \(X_g\text{,}\) é o conjunto de todos os \(x \in X\) tais que \(gx = x\text{.}\) . Podemos também estudar os elementos \(g\) do grupo que fixam um \(x \in X\) dado. Este conjunto é mais do que um subconjunto de \(G\text{,}\) é um subgrupo. Este subgrupo se chama o subgrupo estabilizador o subgrupo de isotropía de \(x\text{.}\) Denotaremos o subgrupo estabilizador de \(x\) por \(G_x\text{.}\)

Nota 14.1.8.

É importante recordar que \(X_g \subset X\) e \(G_x \subset G\text{.}\)

Seja \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) e suponha que \(G\) é o grupo de permutações dado pelas permutações

\begin{equation*} \{ (1), (1 2)(3 4 5 6), (3 5)(4 6), (1 2)( 3 6 5 4) \}. \end{equation*}

Então os conjuntos de pontos fixos de \(X\) sob a ação de \(G\) são

\begin{gather*} X_{(1)} = X,\\ X_{(3 5)(4 6)} = \{1,2\},\\ X_{(1 2)(3 4 5 6)} = X_{(1 2)(3 6 5 4)} = \emptyset, \end{gather*}

e os subgrupos estabilizadores são

\begin{gather*} G_1 = G_2 = \{(1), (3 5)(4 6) \},\\ G_3 = G_4 = G_5 = G_6 = \{(1)\}. \end{gather*}

É fácil ver que \(G_x\) é subgrupo de \(G\) para cada \(x \in X\text{.}\)

Claramente, \(e \in G_x\) pois a identidade deixa fixo cada elemento no conjunto \(X\text{.}\) Sejam \(g, h \in G_x\text{.}\) Então \(gx = x\) e \(hx = x\text{.}\) Então \((gh)x = g(hx) = gx = x\text{;}\) logo, o produto de dois elementos em \(G_x\) também está em \(G_x\text{.}\) Finalmente, se \(g \in G_x\text{,}\) entonces \(x = ex = (g^{-1}g)x = (g^{-1})gx = g^{-1} x\text{.}\) Assim, \(g^{-1}\) está em \(G_x\text{.}\)

O número de elementos no conjunto de pontos fixos de um elemento \(g \in G\) é denotado por \(|X_g|\) e o número de elementos na órbita de \(x \in X\) é denotado por \(|{\mathcal O}_x|\text{.}\) Os seguintes teoremas estabelecem a relação entre as órbitas de un elemento \(x \in X\) e as classes laterais à esquerda de \(G_x\) em \(G\text{.}\)

Sabemos que \(|G|/|G_x|\) é o número de classes laterais à esquerda de \(G_x\) em \(G\) pelo Teorema de Lagrange (Teorema 6.2.2). Vamos definir uma bijeção \(\phi\) da órbita \({\mathcal O}_x\) de \(x\) para o conjunto de clases laterais à esquerda \({\mathcal L}_{G_x}\) de \(G_x\) em \(G\text{.}\) Seja \(y \in {\mathcal O}_x\text{.}\) Então existe \(g\) em \(G\) tal que \(g x = y\text{.}\) Defina \(\phi\) de forma que \(\phi( y ) = g G_x\text{.}\) Para mostrar que \(\phi\) é 1-1, suponha que \(\phi(y_1) = \phi(y_2)\text{.}\) Então

\begin{equation*} \phi(y_1) = g_1 G_x = g_2 G_x = \phi(y_2), \end{equation*}

donde \(g_1 x = y_1\) e \(g_2 x = y_2\text{.}\) Como \(g_1 G_x = g_2 G_x\text{,}\) existe \(g \in G_x\) tal que \(g_2 = g_1 g\text{,}\)

\begin{equation*} y_2 = g_2 x = g_1 g x = g_1 x = y_1; \end{equation*}

portanto, a função \(\phi\) é 1-1. Finalmente, devemos mostrar que \(\phi\) é sobrejetora. Seja \(g G_x\) uma clase lateral à esquerda. Se \(g x = y\text{,}\) então \(\phi(y) = g G_x\text{.}\)