Álgebra Abstrata: Teoria e Aplicações

1.

Si \(F\) es un cuerpo, muestre que \(F[x]\) es un espacio vectorial sobre \(F\text{,}\) donde los vectores en \(F[x]\) son polinomios. La suma de vectores es la suma de polinomios, y la multiplicación por escalar está definida por \(\alpha p(x)\) para \(\alpha \in F\text{.}\)

2.

Demuestre que \({\mathbb Q }( \sqrt{2}\, )\) es un espacio vectorial.

3.

Sea \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) el cuerpo de los elementos de la forma \(a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}\text{,}\) donde \(a, b, c, d\) están en \({\mathbb Q}\text{.}\) Demuestre que \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) es un espacio vectorial de dimensión 4 sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) Encuentre una base para \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\text{.}\)

4.

Demuestre que los números complejos forman un espacio vectorial de dimensión 2 sobre \({\mathbb R}\text{.}\)

5.

Demuestre que el conjunto \(P_n\) de todos los polinomios de grado menor a \(n\) forma un subespacio del espacio vectorial \(F[x]\text{.}\) Encuentre una base para \(P_n\) y calcule la dimensión de \(P_n\text{.}\)

6.

Sea \(F\) un cuerpo y denote por \(F^n\) al conjunto de las \(n\)-tuplas de elementos de \(F\text{.}\) Dados los vectores \(u = (u_1, \ldots, u_n)\) y \(v = (v_1, \ldots, v_n)\) en \(F^n\) y \(\alpha\) en \(F\text{,}\) defina la adición de vectores como

y el producto por escalar como

Demuestre que \(F^n\) es un espacio vectorial de dimensión \(n\) bajo estas operaciones.

7.

Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de \({\mathbb R}^3\text{?}\) En caso de que el conjunto sea un subespacio, encuentre una base y calcule la dimensión.

1. \(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2 + x_3 = 0 \}\)

2. \(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 + 4 x_3 = 0, 2 x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}\)

3. \(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : x_1 - 2 x_2 + 2 x_3 = 2 \}\)

4. \(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2^2 = 0 \}\)

8.

Muestre que el conjunto de todas las posibles soluciones \((x, y, z) \in {\mathbb R}^3\) de las ecuaciones

forma un subespacio de \({\mathbb R}^3\text{.}\)

9.

Sea \(W\) el subconjunto de las funciones continuas definidas en \([0, 1]\) tales que \(f(0) = 0\text{.}\) Demuestre que \(W\) es un subespacio de \(C[0, 1]\text{.}\)

10.

Sea \(V\) un espacio vectorial sobre \(F\text{.}\) Demuestre que \(-(\alpha v) = (-\alpha)v = \alpha(-v)\) para todo \(\alpha \in F\) y todo \(v \in V\text{.}\)

11.

Sea \(V\) un espacio vectorial de dimensión \(n\text{.}\) Demuestre cada uno de los siguientes enunciados.

1. Si \(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) es un conjunto linealmente independiente de vectores en \(V\text{,}\) entonces \(S\) es una base para \(V\text{.}\)

2. Si \(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) genera \(V\text{,}\) entonces \(S\) es una base para \(V\text{.}\)

3. Si \(S = \{v_1, \ldots, v_k \}\) es un conjunto linealmente independiente de vectores en \(V\) con \(k \lt n\text{,}\) entonces existen vectores \(v_{k + 1}, \ldots, v_n\) tales que

   \begin{equation*} \{v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_n \} \end{equation*}

   es una base para \(V\text{.}\)

12.

Demuestre que cualquier conjunto de vectores que contenga a \({\mathbf 0}\) es lineamente dependiente.

13.

Sea \(V\) un espacio vectorial. Muestre que \(\{ {\mathbf 0} \}\) es un subespacio de \(V\) de dimensión cero.

14.

Si un espacio vectorial \(V\) es generado por \(n\) vectores, cualquier conjunto de \(m\) vectores en \(V\text{,}\) con \(m \gt n\text{,}\) es linealmente dependiente.

15. Transformaciones Lineales.

Sean \(V\) y \(W\) espacio s vectoriales sobre un cuerpo \(F\text{,}\) de dimensiones \(m\) y \(n\text{,}\) respectivamente. Si \(T: V \rightarrow W\) es una función que satisface

para todo \(\alpha \in F\) y para todo \(u, v \in V\text{,}\) entonces \(T\) es una transformación lineal de \(V\) en \(W\text{.}\)

1. Demuestre que el núcleo de \(T\text{,}\) \(\ker(T) = \{ v \in V : T(v) = {\mathbf 0} \}\text{,}\) es un subespacio de \(V\text{.}\) El núcleo de \(T\) también se llama espacio nulo de \(T\text{.}\)

2. Demuestre que el rango o imagen de \(T\text{,}\) \(R(V) = \{ w \in W : T(v) = w \text{ for some } v \in V \}\text{,}\) es un subespacio de \(W\text{.}\)

3. Muestre que \(T : V \rightarrow W\) es inyectiva si y solo si \(\ker(T) = \{ \mathbf 0 \}\text{.}\)

4. Sea \(\{ v_1, \ldots, v_k \}\) una base para el espacio nulo de \(T\text{.}\) Podemos extender esta base a una base \(\{ v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_m\}\) de \(V\text{.}\) ¿Por qué? Demuestre que \(\{ T(v_{k + 1}), \ldots, T(v_m) \}\) es una base para el rango de \(T\text{.}\) Concluya que el rango de \(T\) tiene dimensión \(m-k\text{.}\)

5. Supongamos que \(\dim V = \dim W\text{.}\) Muestre que una transformación lineal \(T : V \rightarrow W\) es inyectiva si y solo si es epiyectiva.

16.

Sean \(V\) y \(W\) espacio vectoriales de dimensión finita \(n\) sobre un cuerpo \(F\text{.}\) Supongamos que \(T: V \rightarrow W\) es un isomorfismo de espacios vectoriales. Si \(\{ v_1, \ldots, v_n \}\) es una pase de \(V\text{,}\) muestre que \(\{ T(v_1), \ldots, T(v_n) \}\) es una base de \(W\text{.}\) Concluya que cualquier espacio vectorial sobre \(F\) de dimensión \(n\) es isomorfo a \(F^n\text{.}\)

17. Sumas Directas.

Sean \(U\) y \(V\) subespacios de un espacio vectorial \(W\text{.}\) La suma de \(U\) y \(V\text{,}\) denotada por \(U + V\text{,}\) está definida como el conjunto de todos los vectores de la forma \(u + v\text{,}\) con \(u \in U\) y \(v \in V\text{.}\)

1. Demuestre que \(U + V\) y \(U \cap V\) son subespacios de \(W\text{.}\)

2. Si \(U + V = W\) y \(U \cap V = {\mathbf 0}\text{,}\) entonces se dice que \(W\) es la suma directa. En este caso, escribimos \(W = U \oplus V\text{.}\) Muestre que cada \(w \in W\) se puede escribir de forma única como \(w = u + v\text{,}\) donde \(u \in U\) y \(v \in V\text{.}\)

3. Sea \(U\) un subespacio de dimensión \(k\) de un espacio vectorial \(W\) de dimensión \(n\text{.}\) Demuestre que existe un subespacio \(V\) de dimensión \(n-k\) tal que \(W = U \oplus V\text{.}\) ¿Es único el subespacio \(V\text{?}\)

4. Si \(U\) y \(V\) sin subespacios arbitrarios de un espacio vectorial \(W\text{,}\) muestre que

   \begin{equation*} \dim( U + V) = \dim U + \dim V - \dim( U \cap V). \end{equation*}

18. Espacios Duales.

Sean \(V\) y \(W\) espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo \(F\text{.}\)

1. Muestre que el conjunto de todas las transformaciones lineales de \(V\) en \(W\text{,}\) denotado por \(\Hom(V, W)\text{,}\) es un espacio vectorial sobre \(F\text{,}\) donde definimos la adición de vectores como sigue:

   \begin{align*} (S + T)(v) & = S(v) +T(v)\\ (\alpha S)(v) & = \alpha S(v), \end{align*}

   donde \(S, T \in \Hom(V, W)\text{,}\) \(\alpha \in F\text{,}\) y \(v \in V\text{.}\)

2. Sea \(V\) un \(F\)-espacio vectorial. Se define el espacio dual de \(V\) como \(V^* = \Hom(V, F)\text{.}\) Los elementos en el dual de un espacio \(V\) se llaman funcionales lineales. Sea \(v_1, \ldots, v_n\) una base ordenada para \(V\text{.}\) Si \(v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n\) es cualquier vector en \(V\text{,}\) definimos un funcional lineal \(\phi_i : V \rightarrow F\) como \(\phi_i (v) = \alpha_i\text{.}\) Muestre que los \(\phi_i\) forman una base de \(V^*\text{.}\) Esta base se denomina base dual de \(v_1, \ldots, v_n\) (o simplemente la base dual si el contexto deja claro el significado).

3. Considere la base \(\{ (3, 1), (2, -2) \}\) de \({\mathbb R}^2\text{.}\) ¿Cuál es la base dual de \(({\mathbb R}^2)^*\text{?}\)

4. Sea \(V\) un espacio vectorial de dimensión \(n\) sobre un cuerpo \(F\) y sea \(V^{* *}\) el espacio dual de \(V^*\text{.}\) Muestre que cada elemento \(v \in V\) define un elemento \(\lambda_v\) en \(V^{**}\) y que la función \(v \mapsto \lambda_v\) es un isomorfismo de \(V\) con \(V^{**}\text{.}\)