Exercícios 3.8 Ejercicios en Sage
El objetivo de estos ejercicios es familiariarizarle con el trabajo con grupos en Sage. Las hojas de trabajo de Sage le permiten formar cuadros de textos con una extensa capacidad de formato, incluyendo la posibilidad de usar LaTeX para expresar matemáticas. De manera que si una pregunta requiere de una explicación o un comentario, cree una nueva celda y comuníquese claramente con su audiencia.
1.
Cree los grupos CyclicPermutationGroup(8) y DihedralGroup(4) y nómbrelos C y D, respectivamente. Pronto entenderemos mejor esta construcciones, pero por ahora acepte que ambos objetos creados son de hecho grupos.
2.
Verifique que C y D tienen el mismo tamaño usando el método .order(). Determine cuál de ellos es abeliano, y cuál no lo es, usando el método .is_abelian().
3.
Use el método .cayley_table() para crear la tabla de Cayley de cada grupo.
4.
Escriba una discusión elegantemente formateada explicando las diferencias entre estos dos grupos que sean discernibles de las propiedades de sus tablas de Cayley. En otras palabras, ¿qué es {\em diferente} entre estos dos grupos que se pueda “ver” en las tablas de Cayley? (En notebook Sage, hacer Shift-click en una barra azúl producirá un mini-procesador de texto, y puede usar signos peso para insertar matemáticas usando LaTeX.)
5.
Para C encuentre un subgrupo de orden \(4\text{.}\) El grupo D tiene tres subgrupos de orden \(4\text{.}\) Escoja uno de estos tres subgrupos de D que tenga una estructura diferente del obtenido en C.
El método .subgroups() le dará una lista de todos los subgrupos para ayudarle a comenzar. Una tabla de Cayley le ayudará a detectar la diferencia entre los dos subgrupos. ¿Qué propiedades de estas tablas le sirvieron para establecer la diferencia en la estructura de los subgrupos?
6.
El método .subgroup(elt_list) construirá el menor subgrupo que contenga los elementos especificados del grupo, cuando estos son entregados como una lista elt_list. Use este comando para descubrir la menor lista de elementos necesaria para recrear los subgrupos encontrados en el ejercicios anterior. La comparación de igualdad ==, puede ser usada para verificar si dos subgrupos son iguales.