Álgebra Abstrata: Teoria e Aplicações

1.

Liste todos os polinômios de grau menor ou igual a 3 em \({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

2.

Calcule cada um dos seguintes.

1. \((5x^2 + 3x - 4) + (4x^2 - x + 9)\) in \({\mathbb Z}_{12}\)

2. \((5x^2 + 3x - 4) (4x^2 - x + 9)\) in \({\mathbb Z}_{12}\)

3. \((7x^3 + 3x^2 - x) + (6x^2 - 8x + 4)\) in \({\mathbb Z}_9\)

4. \((3x^2 + 2x - 4) + (4x^2 + 2)\) in \({\mathbb Z}_5\)

5. \((3x^2 + 2x - 4) (4x^2 + 2)\) in \({\mathbb Z}_5\)

6. \((5x^2 + 3x - 2)^2\) in \({\mathbb Z}_{12}\)

3.

Use o algoritmo da divisão para encontrar \(q(x)\) e \(r(x)\) tais que \(a(x) = q(x) b(x) + r(x)\) com \(\deg r(x) \lt \deg b(x)\) para cada um dos seguintes pares de polinômios.

1. \(a(x) = 5 x^3 + 6x^2 - 3 x + 4\) e \(b(x) = x - 2\) in \({\mathbb Z}_7[x]\)

2. \(a(x) = 6 x^4 - 2 x^3 + x^2 - 3 x + 1\) e \(b(x) = x^2 + x - 2\) in \({\mathbb Z}_7[x]\)

3. \(a(x) = 4 x^5 - x^3 + x^2 + 4\) e \(b(x) = x^3 - 2\) in \({\mathbb Z}_5[x]\)

4. \(a(x) = x^5 + x^3 -x^2 - x\) e \(b(x) = x^3 + x\) in \({\mathbb Z}_2[x]\)

4.

Encontre o máximo divisor comum para cada um dos seguintes pares \(p(x)\) e \(q(x)\) de polinômios. Se \(d(x) = \gcd( p(x), q(x) )\text{,}\) encontre dois polinômios \(a(x)\) e \(b(x)\) tais que \(a(x) p(x) + b(x) q(x) = d(x)\text{.}\)

1. \(p(x) = x^3 - 6x^2 + 14x - 15\) e \(q(x) = x^3 - 8x^2 + 21x - 18\text{,}\) donde \(p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]\)

2. \(p(x) = x^3 + x^2 - x + 1\) e \(q(x) = x^3 + x - 1\text{,}\) donde \(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_2[x]\)

3. \(p(x) = x^3 + x^2 - 4x + 4\) e \(q(x) = x^3 + 3 x -2\text{,}\) donde \(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_5[x]\)

4. \(p(x) = x^3 - 2 x + 4\) e \(q(x) = 4 x^3 + x + 3\text{,}\) donde \(p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]\)

5.

Encontre todos os zeros de cada um dos seguintes polinômios.

1. \(5x^3 + 4x^2 - x + 9\) em \({\mathbb Z}_{12}\)

2. \(3x^3 - 4x^2 - x + 4\) em \({\mathbb Z}_{5}\)

3. \(5x^4 + 2x^2 - 3\) em \({\mathbb Z}_{7}\)

4. \(x^3 + x + 1\) em \({\mathbb Z}_2\)

6.

Encontre todas as unidades em \({\mathbb Z}[x]\text{.}\)

7.

Encontre uma unidade \(p(x)\) em \({\mathbb Z}_4[x]\) tal que \(\deg p(x) \gt 1\text{.}\)

8.

Quais dos seguintes polinômios são irredutíveis sobre \({\mathbb Q}[x]\text{?}\)

1. \(\displaystyle x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x + 4\)

2. \(\displaystyle x^4 - 5x^3 + 3x - 2\)

3. \(\displaystyle 3x^5 - 4x^3 - 6x^2 + 6\)

4. \(\displaystyle 5x^5 - 6x^4 - 3x^2 + 9 x - 15\)

9.

Encontre todos os polinômios irredutíveis de grau 2 e 3 em \({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

10.

Dê duas fatorações diferentes de \(x^2 + x + 8\) em \({\mathbb Z}_{10}[x]\text{.}\)

11.

Demonstre ou refute: Existe um polinômio \(p(x)\) em \({\mathbb Z}_6[x]\) de grau \(n\) com mais de \(n\) zeros distintos.

12.

Se \(F\) é um corpo, mostre que \(F[x_1, \ldots, x_n]\) é um domínio integral.

13.

Mostre que o algoritmo de divisão não é respeitado em \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Porque isso acontece?

14.

Demonstre ou refute: \(x^p + a\) é irredutível para qualquer \(a \in {\mathbb Z}_p\text{,}\) donde \(p\) é primo.

15.

Seja \(f(x)\) irredutível em \(F[x]\text{,}\) donde \(F\) é um corpo. Se \(f(x) \mid p(x)q(x)\text{,}\) demonstre que ou \(f(x) \mid p(x)\) ou \(f(x) \mid q(x)\text{.}\)

16.

Suponha que \(R\) e \(S\) são anéis isomorfos. Demonstre que \(R[x] \cong S[x]\text{.}\)

17.

Seja \(F\) um corpo e \(a \in F\text{.}\) Se \(p(x) \in F[x]\text{,}\) mostre que \(p(a)\) é o resto obtido ao dividir \(p(x)\) por \(x - a\text{.}\)

18. Teorema da Raiz Racional.

Seja

donde \(a_n \neq 0\text{.}\) Demonstre que se \(p(r/s) = 0\text{,}\) donde \(\gcd(r, s) = 1\text{,}\) então \(r \mid a_0\) e \(s \mid a_n\text{.}\)

19.

Seja \({\mathbb Q}^*\) o grupo multiplicativo dos números racionais positivos. Demonstre que \({\mathbb Q}^*\) é isomorfo a \(( {\mathbb Z}[x], +)\text{.}\)

20. Polinômios Ciclotômicos.

O polinômio

se chama polinômio ciclotômico. Mostre que \(\Phi_p(x)\) é irredutível sobre \({\mathbb Q}\) para qualquer primo \(p\text{.}\)

21.

Se \(F\) é um corpo, mostre que existem infinitos polinômios irredutíveis em \(F[x]\text{.}\)

22.

Seja \(R\) um anel comutativo com identidade. Demonstre que a multiplicação em \(R[x]\) é comutativa.

23.

Seja \(R\) um anel comutativo com unidade. Demonstre que a multiplicação em \(R[x]\) é distributiva.

24.

Demonstre que \(x^p - x\) tem \(p\) zeros distintos em \({\mathbb Z}_p\text{,}\) para qualquer primo \(p\text{.}\) Conclua que

25.

Seja \(F\) um corpo e seja \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) em \(F[x]\text{.}\) Defina \(f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}\) como a derivada de \(f(x)\text{.}\)

1. Demonstre que

   \begin{equation*} (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x). \end{equation*}

   Conclua que podemos definir um homomorfismo de grupos abelianos \(D : F[x] \rightarrow F[x]\) como \(D(f(x)) = f'(x)\text{.}\)

2. Calcule o núcleo de \(D\) se \(\chr F = 0\text{.}\)

3. Calcule o núcleo de \(D\) se \(\chr F = p\text{.}\)

4. Demonstre que

   \begin{equation*} (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x) g'(x). \end{equation*}

5. Suponha que é possível fatorar um polinômio \(f(x) \in F[x]\) em fatores lineares, digamos

   \begin{equation*} f(x) = a(x - a_1) (x - a_2) \cdots ( x - a_n). \end{equation*}

   Demonstre que \(f(x)\) não tem fatores se e somente se \(f(x)\) e \(f'(x)\) são relativamente primos.

26.

Seja \(F\) um corpo. Mostre que \(F[x]\) nunca é um corpo.

27.

Seja \(R\) um domínio integral. Demonstre que \(R[x_1, \ldots, x_n]\) é um domínio integral.

28.

Seja \(R\) um anel comutativo com unidade. Mostre que \(R[x]\) tem um subanel \(R'\) isomorfo a \(R\text{.}\)

29.

Sejam \(p(x)\) e \(q(x)\) polinômios em \(R[x]\text{,}\) donde \(R\) é um anel comutativo com unidade. Demonstre que \(\deg( p(x) + q(x) ) \leq \max( \deg p(x), \deg q(x) )\text{.}\)