Exercícios 6.4 Exercícios
1.
Suponha que \(G\) é um grupo finito com um elemento \(g\) de ordem 5 e um elemento \(h\) de ordem 7. Porque devemos ter que \(|G| \geq 35\text{?}\)
A ordem de \(g\) e a ordem de \(h\) devem dividir a ordem de \(G\text{.}\)
2.
Suponha que \(G\) é um grupo finito com 60 elementos. Quais são as possíveis ordens dos subgrupos de \(G\text{?}\)
As ordens possíveis devem ser os divisores de 60.
3.
Demonstre ou dê um contraexemplo: Todo subgrupo dos inteiros tem índice finito.
Isso é verdadeiro para todo subgrupo própio não trivial.
4.
Demonstre ou dê um contraexemplo: Todo subgrupo dos inteiros tem ordem finita.
Falso.
5.
Liste as classes laterais esquerdas e direitas dos subgrupos em cada um dos seguintes.
\(\langle 8 \rangle\) em \({\mathbb Z}_{24}\)
\(\langle 3 \rangle\) em \(U(8)\)
\(3 {\mathbb Z}\) em \({\mathbb Z}\)
\(A_4\) em \(S_4\)
\(A_n\) em \(S_n\)
\(D_4\) em \(S_4\)
\({\mathbb T}\) em \({\mathbb C}^\ast\)
\(H = \{ (1), (123), (132) \}\) em \(S_4\)
(a) \(\langle 8 \rangle\text{,}\) \(1 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(2 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(3 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(4 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(5 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(6 + \langle 8 \rangle\text{,}\) e \(7 + \langle 8 \rangle\text{;}\) (c) \(3 {\mathbb Z}\text{,}\) \(1 + 3 {\mathbb Z}\text{,}\) e \(2 + 3 {\mathbb Z}\text{.}\)
6.
Descreva as classes laterais esquerdas de \(SL_2( {\mathbb R} )\) em \(GL_2( {\mathbb R})\text{.}\) Qual é o índice de \(SL_2( {\mathbb R} )\) em \(GL_2( {\mathbb R})\text{?}\)
7.
Verifique o Teorema de Euler para \(n = 15\) e \(a = 4\text{.}\)
\(4^{\phi(15)} \equiv 4^8 \equiv 1 \pmod{15}\text{.}\)
8.
Use o Pequeno Teorema de Fermat para mostrar que se \(p= 4n+3\) é primo, então não há solução para equação \(x^2 \equiv -1 \pmod{p}\text{.}\)
9.
Mostre que os inteiros tem índice infinito no grupo aditivo dos números racionais.
10.
Mostre que o grupo aditivo dos números reais tem índice infinito no grupo aditivo dos números complexos.
11.
Seja \(H\) um subgrupo de um grupo \(G\) e suponha que \(g_1, g_2 \in G\text{.}\) Demonstre que as seguintes condições são equivalentes.
\(\displaystyle g_1 H = g_2 H\)
\(\displaystyle H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\)
\(\displaystyle g_1 H \subset g_2 H\)
\(\displaystyle g_2 \in g_1 H\)
\(\displaystyle g_1^{-1} g_2 \in H\)
12.
Se \(ghg^{-1} \in H\) para todo \(g \in G\) e \(h \in H\text{,}\) mostre que as classes laterais esquerdas são idênticas as classes laterais direitas. Isto é, mostre que \(gH = Hg\) para todo \(g \in G\text{.}\)
Seja \(g_1 \in gH\text{.}\) Mostre que \(g_1 \in Hg\) e portanto \(gH \subset Hg\text{.}\)
13.
o que dá errado na demonstração do Teorema 6.1.8 se \(\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H\) está definida como \(\phi( gH ) = Hg\text{?}\)
14.
Suponha que \(g^n = e\text{.}\) Mostre que a ordem de \(g\) divide a \(n\text{.}\)
15.
Mostre que qualquer uma das permutações \(\alpha, \beta \in S_n\) têm a mesma estrutura de ciclos se e somente se existe uma permutação \(\gamma\) tal que \(\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}\text{.}\) Se \(\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}\) para algum \(\gamma \in S_n\text{,}\) então \(\alpha\) e \(\beta\) são conjugadas.
16.
Se \(|G| = 2n\text{,}\) demonstre que o número de elementos de ordem 2 é ímpar. Use este resultado para demonstrar que \(G\) deve conter um subgrupo de ordem 2.
17.
Suponha que \([G : H] = 2\text{.}\) Se \(a\) e \(b\) não estão em \(H\text{,}\) mostre que \(ab \in H\text{.}\)
18.
Se \([G : H] = 2\text{,}\) demonstre que \(gH = Hg\text{.}\)
19.
Sejam \(H\) e \(K\) subgrupos de um grupo \(G\text{.}\) Demonstre que \(gH \cap gK\) é uma classe lateral de \(H \cap K\) em \(G\text{.}\)
Mostre que \(g(H \cap K) = gH \cap gK\text{.}\)
20.
Sejam \(H\) e \(K\) subgrupos de um grupo \(G\text{.}\) Defina uma relação \(\sim\) em \(G\) como \(a \sim b\) se existe um \(h \in H\) e um \(k \in K\) tais que \(hak = b\text{.}\) Mostre que esta relação é de equivalência. As classes de equivalência correspondentes se chamam classes laterais duplas. Calcule as classes laterais duplas de \(H = \{ (1),(123), (132) \}\) em \(A_4\text{.}\)
21.
Seja \(G\) um grupo cíclico de ordem \(n\text{.}\) Mostre que existe exatamente \(\phi(n)\) geradores para \(G\text{.}\)
22.
Seja \(n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}\text{,}\) donde \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) são primos distintos. Demonstre que
23.
Mostre que
para todo inteiro positivo \(n\text{.}\)