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Seção 14.2 A Equação de Clase

Seja \(X\) um \(G\)-conjunto finito e \(X_G\) o conjunto de pontos fixos em \(X\text{;}\) isto é,

\begin{equation*} X_G = \{ x \in X : gx = x \text{ para todo } g \in G \}. \end{equation*}

Como as órbitas da ação particionam \(X\text{,}\)

\begin{equation*} |X| = |X_G| + \sum_{i = k}^n |{\mathcal O}_{x_i}|, \end{equation*}

onde \(x_k, \ldots, x_n\) são representantes das diferentes órbitas não triviais de \(X\) (as órbitas que contêm mais de um elemento).

Agora consideremos o caso especial no qual \(G\) age em si mesmo por conjugação, \((g,x) \mapsto gxg^{-1}\text{.}\) O centro de \(G\text{,}\)

\begin{equation*} Z(G) = \{x : xg = gx \text{ para todo } g \in G \}, \end{equation*}

é o conjunto de pontos que permanecem fixos por conjugação. As órbitas da ação se chamam classes de conjugação de \(G\text{.}\) Se \(x_1, \ldots, x_k\) são representantes de cada classe de conjugação não-trivial de \(G\) e \(|{\mathcal O}_{x_1}| = n_1, \ldots, |{\mathcal O}_{x_k}| = n_k\text{,}\) então

\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + n_1 + \cdots + n_k. \end{equation*}

Os subgrupos estabilizadores de cada um dos \(x_i\)'s, \(C(x_i) = \{ g \in G: g x_i = x_i g \}\text{,}\) se chama subgrupo centralizador de \(x_i\text{.}\) Pelo Teorema 14.1.11, obtemos a equação de classe:

\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]. \end{equation*}

Uma das consequências da equação de classe é que a ordem de cada classe de conjugação divide a ordem de \(G\text{.}\)

Es fácil verificar que las clases de conjugación en \(S_3\) son las siguientes:

\begin{equation*} \{ (1) \}, \quad \{ (123), (132) \}, \quad \{(12), (13), (23) \}. \end{equation*}

La ecuación de clase es \(6 = 1+2+3\text{.}\)

El centro de \(D_4\) es \(\{ (1), (13)(24) \}\text{,}\) y las clases de conjugación

\begin{equation*} \{ (13), (24) \}, \quad \{ (1432), (1234) \}, \quad \{ (12)(34), (14)(23) \}. \end{equation*}

Por lo tanto, la ecuación de clase para \(D_4\) es \(8 = 2 + 2 + 2 + 2\text{.}\)

Para \(S_n\) toma algo de esfuerzo encontrar las clases de conjugación. Empezamos con los ciclos. Supongamos que \(\sigma = ( a_1, \ldots, a_k)\) es un ciclo y sea \(\tau \in S_n\text{.}\) Por el Teorema 6.2.8,

\begin{equation*} \tau \sigma \tau^{-1} = ( \tau( a_1), \ldots, \tau(a_k)). \end{equation*}

En consecuencia, cualquiera dos ciclos del mismo largo son conjugados. Ahora, sea \(\sigma = \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_r\) una descomposición en ciclos, donde el largo de cada ciclo \(\sigma_i\) es \(r_i\text{.}\) Entonces \(\sigma\) es conjugado a cualquier otro \(\tau \in S_n\) cuya descomposición en ciclos tiene los mismos largos.

El número de clases de conjugación en \(S_n\) es igual al número de formas en que \(n\) puede ser particionado como suma de enteros positivos. En el caso de \(S_3\) por ejemplo, podemos particionar el entero 3 en las siguientes tres sumas:

\begin{align*} 3 & = 1 + 1 + 1\\ 3 & = 1 + 2\\ 3 & = 3; \end{align*}

Por lo tanto, existen tres clases de conjugación. El problema de determinar el número de tales particiones para un entero dado \(n\) es lo que se conoce como NP-completo. Esto en la práctica quiere decir que el problema no se puede resolver para valores grandes de \(n\) pues los cálculos tomarían demasiado tiempo incluso para un computador enorme.

Aplicamos la ecuación de clase

\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + n_1 + \cdots + n_k. \end{equation*}

Como cada \(n_i \gt 1\) y \(n_i \mid |G|\text{,}\) concluimos que \(p\) divide a cada \(n_i\text{.}\) Además, \(p \mid |G|\text{;}\) luego, \(p\) divide a \(|Z(G)|\text{.}\) Como la identidad siempre está en el centro de \(G\text{,}\) \(|Z(G)| \geq 1\text{.}\) Por lo tanto, \(|Z(G)| \geq p\text{,}\) y existe algún \(g \in Z(G)\) tal que \(g \neq 1\text{.}\)

Por el Teorema 14.2.4, \(|Z(G)| = p\) o \(p^2\text{.}\) Si \(|Z(G)| = p^2\text{,}\) estamos listos. Supongamos que \(|Z(G)| = p\text{.}\) Entonces \(Z(G)\) y \(G / Z(G)\) ambos tienen orden \(p\) y por ende son ambos cíclicos. Eligiendo un generador \(aZ(G)\) para \(G / Z(G)\text{,}\) podemos escribir cualquier elemento \(gZ(G)\) en el cociente como \(a^m Z(G)\) para algún entero \(m\text{;}\) luego, \(g = a^m x\) para algún \(x\) en el centro de \(G\text{.}\) Similarmente, si \(hZ(G) \in G / Z(G)\text{,}\) entonces existe \(y\) en \(Z(G)\) tal que \(h = a^n y\) para algún entero \(n\text{.}\) Como \(x\) e \(y\) están en el centro de \(G\text{,}\) conmutan con todos los elementos de \(G\text{;}\) por lo tanto,

\begin{equation*} gh = a^m x a^n y = a^{m+n} x y = a^n y a^m x = hg, \end{equation*}

y \(G\) es abeliano.