AATA Grupos de Permutações

Capítulo 5 Grupos de Permutações

Os grupos de permutações têm um papel central no estudo de simetrias geométricas e na teoria de Galois, o estudo da busca por soluções de equações polinomiais. Além disso, são fonte de muitos exemplos do grupos não abelianos.

Vamos recordar, por um momento, as simetrias do triângulo equilátero \(\bigtriangleup ABC\) do Capítulo 3. As simetrias de fato consistem em permutações dos 3 vértices, em que uma permutação do conjunto \(S = \{ A, B, C \}\) é uma bijeção \(\pi :S \rightarrow S\text{.}\) Os três vértices têm as seguintes seis permutações.

\begin{align*} \begin{pmatrix} A & B & C \\ A & B & C \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} A & B & C \\ C & A & B \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} A & B & C \\ B & C & A \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} A & B & C \\ A & C & B \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} A & B & C \\ C & B & A \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} A & B & C \\ B & A & C \end{pmatrix} \end{align*}

Usamos o arranjo

\begin{equation*} \begin{pmatrix} A & B & C \\ B & C & A \end{pmatrix} \end{equation*}

para denotar a permutação que leva \(A\) em \(B\text{,}\) \(B\) em \(C\text{,}\) e \(C\) em \(A\text{.}\) Isto é,

\begin{align*} A & \mapsto B\\ B & \mapsto C\\ C & \mapsto A. \end{align*}

As simetrias de um triângulo formam um grupo. Neste capítulo estudaremos grupos desse tipo.