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Exercícios 7.3 Exercícios

1.

Encripte IXLOVEXMATH usando o criptossistema do Exemplo 7.1.1.

Dica.

LAORYHAPDWK

2.

Decodifique ZLOOA WKLVA EHARQ WKHA ILQDO, que foi codificado usando o criptossistema do Exemplo 7.1.1.

3.

Supondo que um código monoalfabético foi usado para codificar a seguinte mensagem secreta, qual era a mensagem original?

APHUO EGEHP PEXOV FKEUH CKVUE CHKVE APHUO
EGEHU EXOVL EXDKT VGEFT EHFKE UHCKF TZEXO
VEZDT TVKUE XOVKV ENOHK ZFTEH TEHKQ LEROF
PVEHP PEXOV ERYKP GERYT GVKEG XDRTE RGAGA

Qual é a importância desta mensagem na história da criptografia?

Dica.

Ajuda: V = E, E = X (também usado para espaços e pontuação), K = R.

4.

Qual é o número total de criptossistemas monoalfabéticos possíveis? Quão seguros são tais criptossistemas?

Dica.

\(26! - 1\)

5.

Demonstre que uma matriz \(A\) de \(2 \times 2\) com coeficientes em \({\mathbb Z}_{26}\) é inversível se e somente se \(\gcd( \det(A), 26 ) = 1\text{.}\)

6.

Dada a matriz

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \end{equation*}

use a função de encriptação \(f({\mathbf p}) = A {\mathbf p} + {\mathbf b}\) para encriptar a mensagem CRYPTOLOGY, donde \({\mathbf b} = ( 2, 5)^{\rm t}\text{.}\) Qual é a função de decriptação?

7.

Encripte cada uma das seguintes mensagens RSA \(x\) de maneira que \(x\) se divida em blocos de inteiros de comprimento 2; isto é, se \(x = 142528\text{,}\) então encripte 14, 25 e 28 separadamente.

  1. \(\displaystyle n = 3551, E = 629, x = 31\)

  2. \(\displaystyle n = 2257, E = 47, x = 23\)

  3. \(\displaystyle n = 120979, E = 13251, x = 142371\)

  4. \(\displaystyle n = 45629, E = 781, x = 231561\)

Dica.

(a) 2791; (c) 112135 25032 442.

8.

Calcule a chave de decriptação \(D\) para cada uma das chaves de encriptação no Exercício 7.

9.

Decripte cada uma das seguintes mensagens RSA \(y\text{.}\)

  1. \(\displaystyle n = 3551, D = 1997, y = 2791\)

  2. \(\displaystyle n = 5893, D = 81, y = 34\)

  3. \(\displaystyle n = 120979, D = 27331, y = 112135\)

  4. \(\displaystyle n = 79403, D = 671, y = 129381\)

Dica.

(a) 31; (c) 14.

10.

Para cada uma das seguintes chaves de encriptação \((n, E)\) no criptossistema RSA, calcule \(D\text{.}\)

  1. \(\displaystyle (n, E) = (451, 231)\)

  2. \(\displaystyle (n, E) = (3053, 1921)\)

  3. \(\displaystyle (n, E) = (37986733, 12371)\)

  4. \(\displaystyle (n, E) = (16394854313, 34578451)\)

Dica.

(a) \(n = 11 \cdot 41\text{;}\) (c) \(n = 8779 \cdot 4327\text{.}\)

11.

As mensagens encriptadas frequentemente se dividem em blocos de \(n\) letras. Uma mensagem como THE WORLD WONDERS WHY pode ser encriptada como JIW OCFRJ LPOEVYQ IOC mas enviada como JIW OCF RJL POE VYQ IOC. Quais são as vantagens de usar blocos de \(n\) letras?

12.

Encontre inteiros \(n\text{,}\) \(E\) e \(X\) tais que

\begin{equation*} X^E \equiv X \pmod{n}. \end{equation*}

Seria este um potencial problema no criptosistema RSA?

13.

Toda pessoa no curso deveria construir um criptossistema RSA usando primos que tenham entre 10 e 15 dígitos. Entregue \((n, E)\) e uma mensagem encriptada. Mantenha o segredo de \(D\text{.}\) Veja se podemos romper os cifrados dos outros.