Seção 5.2 Grupos Diedrais
Outro tipo especial de grupo de permutações é o dos grupos diedrais. Recordemos o grupo das simetrias do triângulo equilátero no Capítulo 3. Tais grupos consistem dos movimentos rígidos de um polígono regular de \(n\) lados, ou \(n\)-ágono regular. Para \(n = 3, 4, \ldots\text{,}\) definimos o n-ésimo grupo diedral como o grupo dos movimentos rígidos de n \(n\)-ágono regular. Denotaremos este grupo por \(D_n\text{.}\) Podemos numerar os vértices de um \(n\)-ágono regular com \(1, 2, \ldots, n\) (Figura 5.2.1). Note que há exatamente \(n\) possibilidades para substituir o primeiro vértice. Se substituímos o primeiro vértice por \(k\text{,}\) então o segundo vértice deve ser substituído pelo vértice \(k+1\) ou pelo vértice \(k-1\text{;}\) logo, há \(2n\) movimentos rígidos possíveis do \(n\)-ágono. Resumimos estes resultados no seguinte teorema.
Teorema 5.2.2.
O grupo diedral, \(D_n\text{,}\) é um subgrupo de \(S_n\) de ordem \(2n\text{.}\)
Teorema 5.2.5.
O grupo \(D_n\text{,}\) \(n \geq 3\text{,}\) consiste de todos os produtos dos dois elementos \(r\) e \(s\text{,}\) que satisfazem as relações
Demonstração.
Os possíveis movimentos de um \(n\)-ágono regular são reflexões e rotações (Figura 5.2.3). Há exatamente \(n\) rotações possíveis:
Denotaremos a rotação em \(360^{\circ} /n\) por \(r\text{.}\) A rotação \(r\) gera todas as rotações. Isto é,
Nomeie as \(n\) reflexões \(s_1, s_2, \ldots, s_n\text{,}\) em que \(s_k\) és a reflexão que fixa o vértice \(k\text{.}\) Há dois casos, dependendo de se \(n\) é par ou ímpar. Se há um número par de vértices, então uma reflexão fixa dois deles, e \(s_1 = s_{n/2 + 1}, s_2 = s_{n/2 + 2}, \ldots, s_{n/2} = s_n\text{.}\) Se há um número ímpar de vértices, então uma reflexão fixa somente um vértice e \(s_1, s_2, \ldots, s_n\) são distintas (Figura 5.2.4). Em qualquer caso, a ordem de cada \(s_k\) é dois. Seja \(s = s_1\text{.}\) então \(s^2 = 1\) e \(r^n = 1\text{.}\) Como qualquer movimento rígido \(t\) do \(n\)-ágono substitui o primeiro vértice pelo vértice \(k\text{,}\) o segundo vértice será substituído por \(k+1\) ou por \(k-1\text{.}\) Se o segundo é substituído por \(k+1\text{,}\) então \(t = r^k\text{.}\) Se o segundo é substituído por \(k-1\text{,}\) então \(t = s r^k\text{.}\) Logo, \(r\) e \(s\) geram \(D_n\text{.}\) Isto é, \(D_n\) consiste de todos os produtos finitos de \(r\) e \(s\text{,}\)
Deixaremos a demonstração de que \(srs = r^{-1}\) como um exercício.
Exemplo 5.2.6.
O grupo de movimentos de um quadrado, \(D_4\text{,}\) consiste de oito elementos. Com os vértices numerados 1, 2, 3, 4 (Figura 5.2.7), as rotações são
e as reflexões são
A ordem de \(D_4\) é 8. Os dois elementos restantes são
Subseção 5.2.1 O grupo de movimentos de um Cubo
Podemos investigar os grupos de movimentos de objetos geométricos diferentes dos polígonos de \(n\) lados para obter exemplos interessantes de grupos de permutações. Consideremos o grupo de movimentos rígidos de um cubo. Uma das primeiras perguntas que podemos fazer sobre este grupo é “qual é sua ordem?” Um cubo tem 6 faces. Se uma face em particular está voltada para cima, então existem quatro rotações possíveis do cubo que preservam a cara voltada para cima. Logo, a ordem do grupo é \(6 \cdot 4 = 24\text{.}\) Acabamos de demostrar a seguinte proposição.
Proposição 5.2.9.
O grupo de movimentos rígidos de um cubo contém \(24\) elementos.
Teorema 5.2.10.
O grupo de movimentos rígidos de um cubo é \(S_4\text{.}\)
Demonstração.
Da proposição 5.2.9, já sabemos que o grupo de movimentos do cubo tem 24 elementos, o mesmo número de elementos que há em \(S_4\text{.}\) Há exatamente quatro diagonais no cubo. Se numeramos estas diagonais com 1, 2, 3, e 4, devemos mostrar que o grupo de movimentos do cubo nos dará qualquer permutação das diagonais (Figura 5.2.8). Se pudermos obter todas estas permutações, então \(S_4\) e o grupo de movimentos rígidos do cubo deverão ser o mesmo. Para obter uma transposição, podemos rodar o cubo em \(180^{\circ}\) em torno do eixo que une os pontos médios de arestas opostas (Figura 5.2.11). Há seis de tais eixos, resultando em todas as transposições em \(S_4\text{.}\) Como todo elemento em \(S_4\) é o produto de um número finito de transposições, o grupo de movimentos de um cubo deve ser \(S_4\text{.}\)
Sage.
Um grupo de permutações é uma representação muito concreta de um grupo, e as ferramentas de Sage para trabalhar com grupos de permutações são muito boas — fazendo da Sage um lugar natural para que principiantes aprendam sobre teoria de grupos.