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Seção 3.2 Definiciones y Ejemplos

Los enteros mód \(n\) y las simetrías de un triángulo o un rectángulo son ejemplos de grupos. Una operación binaria o ley de composición en un conjunto \(G\) es una función \(G \times G \rightarrow G\) que asigna a cada par \((a,b) \in G \times G\) un único elemento \(a \circ b\text{,}\) o \(ab\) en \(G\text{,}\) llamado composición de \(a\) y \(b\text{.}\) Un grupo \((G, \circ )\) es un conjunto \(G\) junto a una ley de composición \((a,b) \mapsto a \circ b\) que satisface los siguientes axiomas.

  • La ley de composición es asociativa. Es decir,

    \begin{equation*} (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \end{equation*}

    para \(a, b, c \in G\text{.}\)

  • Existe un elemento \(e \in G\text{,}\) llamado elemento identidad, tal que para cualquier elemento \(a \in G\)

    \begin{equation*} e \circ a = a \circ e = a. \end{equation*}

  • Para cada elemento \(a \in G\text{,}\) existe un elemento inverso en G, denotado por \(a^{-1}\text{,}\) tal que

    \begin{equation*} a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e. \end{equation*}

Un grupo \(G\) con la propiedad que \(a \circ b = b \circ a\) para todo \(a, b \in G\) se llama abeliano o conmutativo. Grupos que no satisfacen esta propiedad se dicen no abelianos o no conmutativos.

Los enteros \({\mathbb Z } = \{ \ldots , -1, 0, 1, 2, \ldots \}\) forman un grupo bajo la operación de adición. La operación binaria en dos enteros \(m, n \in {\mathbb Z}\) es simplemente su suma. Como la suma de enteros tiene una notación bien establecida, usaremos el operador \(+\) en lugar de \(\circ\text{;}\) es decir, escribiremos \(m + n\) en lugar de \(m \circ n\text{.}\) La identidad es 0, y el inverso de \(n \in {\mathbb Z}\) se escribe como \(-n\) en lugar de \(n^{-1}\text{.}\) Note que el conjunto de los enteros bajo adición tiene la propiedad adicional de que \(m + n = n + m\) y por lo tanto forma un grupo abeliano.

La mayor parte de las veces escribiremos \(ab\) en lugar de \(a \circ b\text{;}\) sin embargo, si el grupo ya tiene una operación natural, como la suma en los enteros, usaremos aquella operación. Esto es, si estamos sumando dos enteros, aún escribiremos \(m + n\text{,}\) \(-n\) para el inverso, y 0 para la identidad como de costumbre. También escribiremos \(m - n\) en lugar de \(m + (-n)\text{.}\)

Frecuentemente es conveniente describir un grupo en términos de su tabla de adición o de multiplicación. Una tal tabla se llama tabla de Cayley.

Los enteros mód \(n\) forman un grupo bajo adición módulo \(n\text{.}\) Considere \({\mathbb Z}_5\text{,}\) que consiste de las clases de equivalencia de los enteros 0, 1, 2, 3, y 4. Definimos la operación de grupo en \({\mathbb Z}_5\) por adición módulo 5. Escribimos esta operación binaria en el grupo de forma aditiva, es decir, escribimos \(m + n\text{.}\) El elemento 0 es la identidad del grupo y cada elemento en \({\mathbb Z}_5\) tiene un inverso. Por ejemplo, \(2 + 3 = 3 + 2 = 0\text{.}\) El Cuadro 3.2.3 es una tabla de Cayley para \({\mathbb Z}_5\text{.}\) Por la Proposición 3.1.4, \({\mathbb Z}_n = \{0, 1, \ldots, n-1 \}\) es un grupo bajo la operación binaria de adición mód \(n\text{.}\)

Tabela 3.2.3.

No todo conjunto con una operación binaria es un grupo. Por ejemplo, si tomamos como operación binaria la multiplicación modular en \({\mathbb Z}_n\text{,}\) entonces \({\mathbb Z}_n\) no es un grupo. El elemento 1 actúa como una identidad de grupo pues \(1 \cdot k = k \cdot 1 = k\) para cualquier \(k \in {\mathbb Z}_n\text{;}\) sin embargo, no existe un inverso multiplicativo para \(0\) pues \(0 \cdot k = k \cdot 0 = 0\) para todo \(k\) en \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Incluso si consideramos el conjunto \({\mathbb Z}_n \setminus \{0 \}\text{,}\) aún es posible que no tengamos un grupo. Por ejemplo, \(2 \in {\mathbb Z}_6\) no tiene inverso multiplicativo pues

\begin{align*} 0 \cdot 2 & = 0 \qquad 1 \cdot 2 = 2\\ 2 \cdot 2 & = 4 \qquad 3 \cdot 2 = 0\\ 4 \cdot 2 & = 2 \qquad 5 \cdot 2 = 4. \end{align*}

Por la Proposición 3.1.4, todo elemento no nulo \(k\) tiene un inverso multiplicativo en \({\mathbb Z}_n\) si \(k\) es relativamente primo con \(n\text{.}\) Denotemos el conjunto de tales elementos en \({\mathbb Z}_n\) por \(U(n)\text{.}\) Entonces \(U(n)\) es un grupo llamado el grupo de unidades de \({\mathbb Z}_n\text{.}\) El Cuadro 3.2.5 es una tabla de Cayley para el grupo \(U(8)\text{.}\)

Tabela 3.2.5.

As simetrias de um triângulo equilátero descritas na Secção 3.1 formam um grupo abeliano. Como observamos, não é necessariamente verdade que \(\alpha \beta = \beta \alpha\) para duas simetrias \(alfa\) e \(beta\text{.}\) Usando a Tabela 3.1.7, que é uma tabela de Cayley para este grupo, podemos facilmente verificar que as simetrias de um triângulo equilátero formam de fato um grupo. Denotaremos este grupo como \(S_3\) ou \(D_3\text{,}\) por razões que explicaremos mais adiante.

Usaremos \({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) para denotar o conjunto de todas as matrizes de \(2 \times 2\text{.}\) Seja \(GL_2({\mathbb R})\) o subconjunto de \({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) que consiste das matrizes invertíveis; isto é, uma matriz

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{equation*}

está em \(GL_2( {\mathbb R})\) se existe uma matriz \(A^{-1}\) tal que \(A A^{-1} = A^{-1} A = I\text{,}\) onde \(I\) é a matriz identidade de \(2 \times 2\text{.}\) Que \(A\) tenha una inversa é equivalente a que o determinante de \(A\) no seja zero; isto é, \(\det A = ad - bc \neq 0\text{.}\) O conjunto das matrizes invertíveis formam um grupo chamado o grupo linear general. A identidade do grupo é a matriz identidade.

\begin{equation*} I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

A inversa de \(A \in GL_2( {\mathbb R})\) é

\begin{equation*} A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. \end{equation*}

O produto de duas matrizes invertíveis é novamente invertível. A multiplicação de matrizes é associativa, satisfazendo assim o outro axioma de grupos. Para as matrizes em geral, não se cumpre que \(AB = BA\text{;}\) Portanto, \(GL_2({\mathbb R})\) é outro exemplo de um grupo não abeliano.

Sean

\begin{align*} 1 & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad I = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\\ J & = \begin{pmatrix} 0 & i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad K = \begin{pmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{pmatrix}, \end{align*}

com \(i^2 = -1\text{.}\) Então as relações \(I^2 = J^2 = K^2 = -1\text{,}\) \(IJ=K\text{,}\) \(JK = I\text{,}\) \(KI = J\text{,}\) \(JI = -K\text{,}\) \(KJ = -I\text{,}\) y \(IK = -J\) se satisfazem. O conjunto \(Q_8 = \{\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K \}\) é um grupo chaamado grupo de quatérnions. Note que \(Q_8\) é não comutativo.

Seja \({\mathbb C}^\ast\)o conjunto dos números complexos não nulos. \({\mathbb C}^\ast\) forma um grupo com a operação de multiplicação. A identidade é 1. Se \(z = a+bi\) é um número complexo não nulo, então

\begin{equation*} z^{-1} = \frac{a -bi}{a^2 +b^2} \end{equation*}

é o inverso de \(z\text{.}\) É fácil verificar que se cumprem os demais axiomas de grupo.

Um grupo é finito, ou tem ordem finita, se contém um número finito de elementos; de outro modo, o grupo se diz infinito ou que tem ordem infinita. A ordem de um grupo finito é o número de elementos que contém. Se \(G\) é um grupo que contém \(n\) elementos, escreveremos \(|G| = n\text{.}\) O grupo \({\mathbb Z}_5\) é um grupo finito de ordem 5; os inteiros \({\mathbb Z}\) formam um grupo infinito com a adição, e em certas ocasiões escreveremos \(|{\mathbb Z}| = \infty\text{.}\)

Subseção 3.2.1 Propriedades básicas dos Grupos

Suponhamos que \(e\) e \(e'\) são ambas identidades em \(G\text{.}\) Então \(eg = ge = g\) e \(e'g = ge' = g\) para todo \(g \in G\text{.}\) Devemos demonstrar que \(e = e'\text{.}\) Se pensamos em \(e\) como a identidade, então \(ee' = e'\text{;}\) mas se \(e'\) é a identidade, então \(ee' = e\text{.}\) Combinando essas duas equacões, temos \(e = ee' = e'\text{.}\)

Os inversos em um grupo também são únicos. Se \(g'\) e \(g''\) são ambos inversos de um elemento \(g\) em um grupo \(G\text{,}\) então \(gg' = g'g = e\) y \(gg'' = g''g = e\text{.}\) Queremos mostrar que \(g' = g''\text{,}\) mas \(g' = g'e = g'(gg'') = (g'g)g'' = eg'' = g''\text{.}\) Resumimos este trecho na seguinte proposição.

Sejam \(a, b \in G\text{.}\) Então \(abb^{-1}a^{-1} = aea^{-1} = aa^{-1} = e\text{.}\) Similarmente, \(b^{-1}a^{-1}ab = e\text{.}\) Pela proposição anterior, os inversos são únicos; logo, \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\text{.}\)

Notemos que \(a^{-1} (a^{-1})^{-1} = e\text{.}\) Portanto, multiplicando ambos os lados dessa equação por \(a\text{,}\) temos

\begin{equation*} (a^{-1})^{-1} = e (a^{-1})^{-1} = a a^{-1} (a^{-1})^{-1} = ae = a. \end{equation*}

Há sentido em escrever equações com elementos e operações de um grupo. Se \(a\) e \(b\) são dois elementos em um grupo \(G\text{,}\) existe um elemento \(x \in G\) tal que \(ax = b\text{?}\) Se tal \(x\) existe, é único? A seguente proposição entrega uma resposta afirmativa a ambas as perguntas.

Suponhamos que \(ax = b\text{.}\) Devemos demonstrar que tal \(x\) existe. Podemos multiplicar ambos os lados de \(ax = b\) por \(a^{-1}\) para encontrar \(x = ex = a^{-1}ax = a^{-1}b\text{.}\)

Para demostrar a unicidade, suponhamos que \(x_1\) e \(x_2\) são ambas soluções de \(ax = b\text{;}\) então \(ax_1 = b = ax_2\text{.}\) Logo \(x_1 = a^{-1}ax_1 = a^{-1}ax_2 = x_2\text{.}\) A demostração da existência e unicidade da solução de \(xa = b\) é similar.

Esta proposição nos diz que as leis de cancelamento à direita e esquerda se cumpre para grupos. Deixamos a demostração como exercício.

Podemos utilizar a notação exponencial em grupos da forma em que estamos acostumados. Se \(G\) é um grupo e \(g \in G\text{,}\) definimos \(g^0 = e\text{.}\) Para \(n \in {\mathbb N}\text{,}\) definimos

\begin{equation*} g^n = \underbrace{g \cdot g \cdots g}_{n \; \text{veces}} \end{equation*}

y

\begin{equation*} g^{-n} = \underbrace{g^{-1} \cdot g^{-1} \cdots g^{-1}}_{n \; \text{veces}}. \end{equation*}

Deixaremos a demostração desse teorema como um exercício. Note que \((gh)^n \neq g^nh^n\) em general, pois o grupo pode não ser abeliano. Se o grupo é \({\mathbb Z}\) o \({\mathbb Z}_n\text{,}\) escreveremos a operação do grupo de forma aditiva e a operação exponencial como multiplicação; isto é, escrevemos \(ng\) no lugar de \(g^n\text{.}\) As leis dos expoentes agora são

  1. \(mg + ng = (m+n)g\) para todo \(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)

  2. \(m(ng) = (mn)g\) para todo \(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)

  3. \(m(g + h) = mg + mh\) para todo \(n \in {\mathbb Z}\text{.}\)

É importante notar que isso só é possível dado que \({\mathbb Z}\) e \({\mathbb Z}_n\) são grupos comutativos.

Subseção 3.2.2 Nota Histórica

Embora a primeira definição axiomática clara de um grupo só tenha sido dada no final do século XIX, os métodos de teoria dos grupos tinham sido utilizados anteriormente no desenvolvimento de muitas áreas da matemática, incluindo a geometria e a teoria das equações algébricas.

Joseph-Louis Lagrange utilizou a teoria do grupo numa memória de 1770–1771 para estudar métodos de resolução de equações polinomiais. Mais tarde, Évariste Galois (1811–1832) desenvolveu com sucesso a matemática necessária para determinar exatamente quais as equações polinomiais que poderiam ser resolvidas em termos dos coeficientes do polinómio em questão. A principal ferramenta utilizada por Galois foi a teoria de grupos.

O estudo da geometria sofreu mudanças revolucionárias em 1872 quando Felix Klein propôs que os espaços geométricos deveriam ser estudados examinando as propriedades invariantes sob uma transformação do espaço. Sophus Lie, um contemporâneo de Klein, utilizou a teoria de grupos para estudar as soluções de equações diferenciais parciais. Um dos primeiros livros a tratar a teoria de grupos na forma moderna é William Burnside The Theory of Groups of Finite Order [1], publicado originalmente em 1897.