Álgebra Abstrata: Teoria e Aplicações

Los enteros $\mathbb{Z}=\{\dots ,-1,0,1,2,\dots \}$ forman un grupo bajo la operación de adición. La operación binaria en dos enteros $m,n\in \mathbb{Z}$ es simplemente su suma. Como la suma de enteros tiene una notación bien establecida, usaremos el operador $+$ en lugar de $\circ \text{;}$ es decir, escribiremos $m+n$ en lugar de $m\circ n\text{.}$ La identidad es 0, y el inverso de $n\in \mathbb{Z}$ se escribe como $-n$ en lugar de $n^{-1}\text{.}$ Note que el conjunto de los enteros bajo adición tiene la propiedad adicional de que $m+n=n+m$ y por lo tanto forma un grupo abeliano.

Los enteros mód $n$ forman un grupo bajo adición módulo $n\text{.}$ Considere ${\mathbb{Z}}_5\text{,}$ que consiste de las clases de equivalencia de los enteros 0, 1, 2, 3, y 4. Definimos la operación de grupo en ${\mathbb{Z}}_5$ por adición módulo 5. Escribimos esta operación binaria en el grupo de forma aditiva, es decir, escribimos $m+n\text{.}$ El elemento 0 es la identidad del grupo y cada elemento en ${\mathbb{Z}}_5$ tiene un inverso. Por ejemplo, $2+3=3+2=0\text{.}$ El Cuadro 3.2.3 es una tabla de Cayley para ${\mathbb{Z}}_5\text{.}$ Por la Proposición 3.1.4, ${\mathbb{Z}}_n=\{0,1,\dots ,n-1\}$ es un grupo bajo la operación binaria de adición mód $n\text{.}$

No todo conjunto con una operación binaria es un grupo. Por ejemplo, si tomamos como operación binaria la multiplicación modular en ${\mathbb{Z}}_n\text{,}$ entonces ${\mathbb{Z}}_n$ no es un grupo. El elemento 1 actúa como una identidad de grupo pues $1\cdot k=k\cdot 1=k$ para cualquier $k\in {\mathbb{Z}}_n\text{;}$ sin embargo, no existe un inverso multiplicativo para $0$ pues $0\cdot k=k\cdot 0=0$ para todo $k$ en ${\mathbb{Z}}_n\text{.}$ Incluso si consideramos el conjunto ${\mathbb{Z}}_n\setminus \{0\}\text{,}$ aún es posible que no tengamos un grupo. Por ejemplo, $2\in {\mathbb{Z}}_6$ no tiene inverso multiplicativo pues

Por la Proposición 3.1.4, todo elemento no nulo $k$ tiene un inverso multiplicativo en ${\mathbb{Z}}_n$ si $k$ es relativamente primo con $n\text{.}$ Denotemos el conjunto de tales elementos en ${\mathbb{Z}}_n$ por $U(n)\text{.}$ Entonces $U(n)$ es un grupo llamado el grupo de unidades de ${\mathbb{Z}}_n\text{.}$ El Cuadro 3.2.5 es una tabla de Cayley para el grupo $U(8)\text{.}$

As simetrias de um triângulo equilátero descritas na Secção 3.1 formam um grupo abeliano. Como observamos, não é necessariamente verdade que $\alpha \beta =\beta \alpha$ para duas simetrias $alfa$ e $beta\text{.}$ Usando a Tabela 3.1.7, que é uma tabela de Cayley para este grupo, podemos facilmente verificar que as simetrias de um triângulo equilátero formam de fato um grupo. Denotaremos este grupo como $S_3$ ou $D_3\text{,}$ por razões que explicaremos mais adiante.

Usaremos ${\mathbb{M}}_2(\mathbb{R})$ para denotar o conjunto de todas as matrizes de $2\times 2\text{.}$ Seja $G{L}_2(\mathbb{R})$ o subconjunto de ${\mathbb{M}}_2(\mathbb{R})$ que consiste das matrizes invertíveis; isto é, uma matriz

está em $G{L}_2(\mathbb{R})$ se existe uma matriz $A^{-1}$ tal que $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I\text{,}$ onde $I$ é a matriz identidade de $2\times 2\text{.}$ Que $A$ tenha una inversa é equivalente a que o determinante de $A$ no seja zero; isto é, $detA=ad-bc\ne 0\text{.}$ O conjunto das matrizes invertíveis formam um grupo chamado o grupo linear general. A identidade do grupo é a matriz identidade.

A inversa de $A\in G{L}_2(\mathbb{R})$ é

O produto de duas matrizes invertíveis é novamente invertível. A multiplicação de matrizes é associativa, satisfazendo assim o outro axioma de grupos. Para as matrizes em geral, não se cumpre que $AB=BA\text{;}$ Portanto, $G{L}_2(\mathbb{R})$ é outro exemplo de um grupo não abeliano.

Sean

com $i^2=-1\text{.}$ Então as relações $I^2=J^2=K^2=-1\text{,}$ $IJ=K\text{,}$ $JK=I\text{,}$ $KI=J\text{,}$ $JI=-K\text{,}$ $KJ=-I\text{,}$ y $IK=-J$ se satisfazem. O conjunto $Q_8=\{\pm 1,\pm I,\pm J,\pm K\}$ é um grupo chaamado grupo de quatérnions. Note que $Q_8$ é não comutativo.

Seja ${\mathbb{C}}^{\ast }$o conjunto dos números complexos não nulos. ${\mathbb{C}}^{\ast }$ forma um grupo com a operação de multiplicação. A identidade é 1. Se $z=a+bi$ é um número complexo não nulo, então

é o inverso de $z\text{.}$ É fácil verificar que se cumprem os demais axiomas de grupo.