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Seção 6.1 Classes Laterais

Seja \(G\) um grupo e \(H\) um subgrupo de \(G\text{.}\) Defina uma classe lateral esquerda de \(H\) com representante \(g \in G\) como o conjunto

\begin{equation*} gH = \{ gh : h \in H \}. \end{equation*}

As classes laterais direitas podem ser definidas similarmente como

\begin{equation*} Hg = \{ hg : h \in H \}. \end{equation*}

Se as classes laterais esquerda e direita coincidem ou se é claro do contexto que tipo de classes laterais estamos nos referindo, diremos classe lateral sem especificar esquerda ou direita.

Seja \(H\) o subgrupo de \({\mathbb Z}_6\) que consiste dos elementos 0 e 3. As classes laterais são

\begin{gather*} 0 + H = 3 + H = \{ 0, 3 \}\\ 1 + H = 4 + H = \{ 1, 4 \}\\ 2 + H = 5 + H = \{ 2, 5 \}. \end{gather*}

As classes laterais dos subgrupos de \({\mathbb Z}\) e \({\mathbb Z}_n\) sempre serão escritas com a notação aditiva que usamos até agora. Em um grupo comutativo, as classes laterais esquerdas e direitas são sempre idênticas.

Seja \(H\) o subgrupo de \(S_3\) definido pelas permutações \(\{(1), (123), (132) \}\text{.}\) As classes laterais esquerdas de \(H\) são

\begin{gather*} (1)H = (1 2 3)H = (132)H = \{(1), (1 23), (132) \}\\ (1 2)H = (1 3)H = (2 3)H = \{ (1 2), (1 3), (2 3) \}. \end{gather*}

As classes laterais direitas de \(H\) são exatamente as mesmas que as classes laterais esquerdas:

\begin{gather*} H(1) = H(1 2 3) = H(132) = \{(1), (1 23), (132) \}\\ H(1 2) = H(1 3) = H(2 3) = \{ (1 2), (1 3), (2 3) \}. \end{gather*}

Nem sempre acontece das classes laterais esquerdas e direitas serem iguais. Seja \(K\) o subgrupo de \(S_3\) definido pelas permutações \(\{(1), (1 2)\}\text{.}\) Então as classes laterais esquerdas de \(K\) são

\begin{gather*} (1)K = (1 2)K = \{(1), (1 2)\}\\ (1 3)K = (1 2 3)K = \{(1 3), (1 2 3)\}\\ (2 3)K = (1 3 2)K = \{(2 3), (1 3 2)\}; \end{gather*}

mas, as classes laterais direitas de \(K\) são

\begin{gather*} K(1) = K(1 2) = \{(1), (1 2)\}\\ K(1 3) = K(1 3 2) = \{(1 3), (1 3 2)\}\\ K(2 3) = K(1 2 3) = \{(2 3), (1 2 3)\}. \end{gather*}

O seguinte lema é bastante útil quando tratamos com classes laterais. (Deixamos sua demonstração como exercício.)

Em todos os exemplos que vimos, as classes laterais de um subgrupo \(H\) particionam o grupo maior \(G\text{.}\) O seguinte teorema diz que isto sempre será o caso.

Sejam \(g_1 H\) e \(g_2 H\) duas classes laterais de \(H\) em \(G\text{.}\) Devemos mostrar que ou \(g_1 H \cap g_2 H = \emptyset\) ou \(g_1 H = g_2 H\text{.}\) Suponha que \(g_1 H \cap g_2 H \neq \emptyset\) e \(a \in g_1 H \cap g_2 H\text{.}\) Então pela definição de classe lateral esquerda, \(a = g_1 h_1 = g_2 h_2\) para certos elementos \(h_1\) e \(h_2\) em \(H\text{.}\) Logo, \(g_1 = g_2 h_2 h_1^{-1}\) e \(g_1 \in g_2 H\text{.}\) Pelo Lema 6.1.3, \(g_1 H = g_2 H\text{.}\)

Nota 6.1.5.

Não há nada de especial neste teorema que diz respeito a classes laterais esquerdas. As classes laterais direitas também particionam \(G\text{;}\) a demonstração deste fato é exatamente a mesma que para classes laterais esquerdas com exceção que todas as multiplicações devem ser feitas no lado oposto de \(H\text{.}\)

Seja \(G\) um grupo e \(H\) um subgrupo de \(G\text{.}\) Definimos o índice índice de \(H\) em \(G\) como o número de classes laterais esquerdas de \(H\) em \(G\text{.}\) Denotaremos este índice por \([G:H]\text{.}\)

Seja \(G= {\mathbb Z}_6\) e seja \(H = \{ 0, 3 \}\text{.}\) Então \([G:H] = 3\text{.}\)

Suponha que \(G= S_3\text{,}\) \(H = \{ (1),(123), (132) \}\text{,}\) e \(K= \{ (1), (12) \}\text{.}\) Então \([G:H] = 2\) e \([G:K] = 3\text{.}\)

Sejam \({\mathcal L}_H\) e \({\mathcal R}_H\) os conjuntos de classes laterais esquerdas e direitas respetivamente de \(H\) em \(G\text{.}\) Se podemos definir uma função bijetiva \(\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H\text{,}\) então teremos demonstrado o teorema. Se \(gH \in {\mathcal L}_H\text{,}\) seja \(\phi( gH ) = Hg^{-1}\text{.}\) Pelo Lema 6.1.3, a função \(\phi\) está bem definida; isto é, se \(g_1 H = g_2 H\text{,}\) então \(H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\text{.}\) Para demonstrar que \(\phi\) é 1-1, suponha que

\begin{equation*} H g_1^{-1} = \phi( g_1 H ) = \phi( g_2 H ) = H g_2^{-1}. \end{equation*}

Novamente pelo Lema 6.1.3, \(g_1 H = g_2 H\text{.}\) A função \(\phi\) é sobrejetiva pois \(\phi(g^{-1} H ) = H g\text{.}\)