Álgebra Abstrata: Teoria e Aplicações

1.

Mostre que cada um dos seguintes números é algébrico sobre $\mathbb{Q}$ encontrando seu polinômio minimal sobre $\mathbb{Q}\text{.}$

1. ${\displaystyle \sqrt{1/3+\sqrt{7}}}$

2. ${\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt[3]{5}}$

3. ${\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{2}i}$

4. $\cos \theta +i\sin \theta$ para $\theta =2\pi /n$ com $n\in \mathbb{N}$

5. ${\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{2}-i}}$

2.

Encontre uma base para cada uma das seguintes extensões de corpos. Qual é o grau desta extensão?

1. $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{6})$ sobre $\mathbb{Q}$

2. $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{3})$ sobre $\mathbb{Q}$

3. $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ sobre $\mathbb{Q}$

4. $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7})$ sobre $\mathbb{Q}$

5. $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{2})$ sobre $\mathbb{Q}$

6. $\mathbb{Q}(\sqrt{8})$ sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$

7. $\mathbb{Q}(i,\sqrt{2}+i,\sqrt{3}+i)$ sobre $\mathbb{Q}$

8. $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{5})$ sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$

9. $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{6}+\sqrt{10})$ sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5})$

3.

Encontre o corpo de decomposição de cada um dos seguintes polinômios.

1. $x^4-10x^2+21$ sobre $\mathbb{Q}$

2. $x^4+1$ sobre $\mathbb{Q}$

3. $x^3+2x+2$ sobre ${\mathbb{Z}}_3$

4. $x^3-3$ sobre $\mathbb{Q}$

4.

Considere o corpo de extensão $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3},i)$ sobre $\mathbb{Q}\text{.}$

1. Encontre uma base para o corpo de extensão $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3},i)$ sobre $\mathbb{Q}\text{.}$ Concluya que $[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3},i):\mathbb{Q}]=8\text{.}$

2. Encontre todos os subcorpos $F$ de $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3},i)$ tal que $[F:\mathbb{Q}]=2\text{.}$

3. Encontre todos os subcorpos $F$ de $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3},i)$ tal que $[F:\mathbb{Q}]=4\text{.}$

5.

Demonstre que ${\mathbb{Z}}_2[x]/⟨x^3+x+1⟩$ é um corpo com 8 elementos. Construa uma tabela de multiplicação para o grupo multiplicativo do corpo.

6.

Demonstre que o polígono regular de 9 lados não é construtível com régua e compasso, mas o de 20 lados é construtível.

7.

Demonstre que o cosseno de um grau ($\cos 1^{\circ }$) é algébrico sobre $\mathbb{Q}$ mas não é construtível.

8.

Podemos construir um cubo com três vezes o volume de um cubo dado?

9.

Demuestre que $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt[4]{3},\sqrt[8]{3},\dots )$ es una extensión algebraica de $\mathbb{Q}$ pero no es una extensión finita.

10.

Demonstre ou dê um contraexemplo: $\pi$ é algébrico sobre $\mathbb{Q}({\pi }^3)\text{.}$

11.

Seja $p(x)$ um polinômio não constante de grau $n$ en $F[x]\text{.}$ Demonstre que existe um corpo de decomposição $E$ para $p(x)$ tal que $[E:F]\le n!\text{.}$

12.

Demonstre ou dê um contraexemplo: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})\cong \mathbb{Q}(\sqrt{3})\text{.}$

13.

Demonstre que os corpos $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})$ e $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3}i)$ são isomorfos mas não são iguais.

14.

Seja $K$ uma extensão algébrica de $E$ e $E$ uma extensão algébrica de $F\text{.}$ Demonstre que $K$ é algébrico sobre $F\text{.}$ [Cuidado: Não suponha que as extensões são finitas.]

15.

Demonstre ou dê um contraexemplo: $\mathbb{Z}[x]/⟨x^3-2⟩$ é um corpo.

16.

Seja $F$ um corpo de característica $p\text{.}$ Demonstre que $p(x)=x^p-a$ É irredutível ou se decompõe completamente em $F\text{.}$

17.

Seja $E$ o fechamento algébrica de um corpo $F\text{.}$ Demonstre que todo polinômio $p(x)$ em $F[x]$ se decompõe completamente em $E\text{.}$

18.

Se todo polinômio irredutível $p(x)$ em $F[x]$ é linear, demonstre que $F$ é um corpo algebricamente fechado.

19.

Demuestre que si $\alpha$ y $\beta$ son números constructibles tales que $\beta \ne 0\text{,}$ entonces también lo es $\alpha /\beta \text{.}$

20.

Demonstre que o conjunto de todos os elementos em $\mathbb{R}$ que são algébricos sobre $\mathbb{Q}$ formam uma extensão de corpos de $\mathbb{Q}$ que não é finita.

21.

Seja $E$ uma extensão algébrica de um corpo $F$ e seja $\sigma$ um automorfismo de $E$ que fixe $F\text{.}$ Seja $\alpha \in E\text{.}$ Demonstre que $\sigma$ induz uma permutação do conjunto de zeros do polinômio minimal de $\alpha$ que estão em $E\text{.}$

22.

Mostre que $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{7})=\mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{7})\text{.}$ Estenda sua demonstração para demonstrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{a},\sqrt{b})=\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\text{,}$ donde $\mathrm{mdc}(a,b)=1\text{.}$

23.

Seja $E$ uma extensão finita de um corpo $F\text{.}$ Si $[E:F]=2\text{,}$ demonstre que $E$ é um corpo de decomposição sobre $F$ para algum polinômio $f(x)\in F[x]\text{.}$

24.

Demonstre ou dê um contraexemplo: Dado um polinômio $p(x)$ em ${\mathbb{Z}}_6[x]\text{,}$ é possível construir um anel $R$ tal que $p(x)$ tem uma raiz en $R\text{.}$

25.

Seja $E$ uma extensão de $F$ e $\alpha \in E\text{.}$ Determine $[F(\alpha ):F({\alpha }^3)]\text{.}$

26.

Sejam $\alpha ,\beta$ trascendente sobre $\mathbb{Q}\text{.}$ Prove que ao menos um $\alpha \beta$ , $\alpha +\beta$ é trascendental.

27.

Seja $E$ uma extensão de corpos de $F$ e seja $\alpha \in E$ trascendente sobre $F\text{.}$ Demonstre que cada elemento em $F(\alpha )$ que não está em $F$ também é trascendente sobre $F\text{.}$

28.

Seja $\alpha$ uma raiz de um polinômio irredutível $p(x)\in F[x]\text{,}$ com $\mathrm{gr}p=n\text{.}$ Demonstre que $[F(\alpha ):F]=n\text{.}$