Álgebra Abstrata: Teoria e Aplicações

1.

Crie o grupo simétrico completo \(S_{10}\) com o comando G = SymmetricGroup(10).

2.

Crie elementos de G com os seguintes métodos. Preste atenção às virgulas, aspas, colchetes, parênteses. Os primeiros dois usam cadeias de caracteres (texto) como entrada, imitando a forma em que escrevemos as permutações (mas com vírgulas). As seguintes duas usam listas de tuplas.

• a = G("(5,7,2,9,3,1,8)")

• b = G("(1,3)(4,5)")

• c = G([(1,2),(3,4)])

• d = G([(1,3),(2,5,8),(4,6,7,9,10)])

1. Calcule \(a^3\text{,}\) \(bc\text{,}\) \(ad^{-1}b\text{.}\)

2. Calcule as ordens de cada um dos elementos individuais (a até d) usando um só método dos elementos do grupo de permutações.

3. Use o método .sign() para determinar se \(a,b,c,d\) são pares ou ímpares.

4. Crie dois subgrupos cíclicos de \(G\) com os comandos:

   • H = G.subgroup([a])

   • K = G.subgroup([d])

   Liste, e estude, os elementos de cada subgrupo. Sem usar Sage, indique a ordem de cada subgrupo de \(K\text{.}\) Logo use Sage para construir um subgrupo de \(K\) de ordem 10.

5. Subgrupos mais complicados podem se formar usando dois ou mais geradores. Construa um subgrupo \(L\) de \(G\) com o comando L = G.subgroup([b,c]). Calcule a ordem de \(L\) e liste todos seus elementos.

3.

Construa o grupo de simetrias do tetraedro (também é o grupo alternante em 4 símbolos, \(A_4\)) com o comando A=AlternatingGroup(4). Usando ferramentas tais como ordens de elementos, e geradores de subgrupos, veja se pode encontrar todos os subgrupos de \(A_4\) (cada um exatamente uma vez). Faça isto sem usar o método .subgroups() para justificar que sua resposta é correta (ainda que possa ser uma forma conveniente de verificar seu resultado).

Escreva um resumo ordenado de sua resposta—não simplesmente uma lista larga esculpida por Sage. A ideia es usar Sage como uma ferramenta, na medida em que seja necessário, mas basicamente sua resposta deve ser um parágrafo conciso e/ou uma tabela. Esta é a única parte desta tarefa sem instruções precisas e claras, assim é que dedique o tempo suficiente a esta parte para que entenda bem. Ajuda: nenhum subgrupo de \(A_4\) requer mais de dois geradores.

4.

A subseção Grupo de Movimentos de um Cubo descreve as \(24\) simetrias de um cubo como um subgrupo do grupo simétrico \(S_8\) gerado por três rotações. Conteste as seguintes perguntas sobre este grupo de simetrias.

1. Da lista de elementos do grupo, você consegue localizar as 10 rotações em torno dos eixos? (Ajuda: a identidade é fácil, as outras nove nunca enviam um símbolo a si mesmo.)

2. Você consegue identificar as seis simetrias que são transposição de diagonais? (Ajuda: [g for g in cube if g.order() == 2] é um bom filtro inicial.)

3. Verifique que quaisquer duas rotações (above, front, right) são suficientes para gerar o grupo completo. Como sabe que cada par gera o grupo completo?

4. Você consegue expressar uma das transposições diagonais como produtos de rotações? Este pode ser um problema notavelmente difícil, especialmente para um software. É conhecido como o “problema das palavras.”

5. Numere as seis faces do cubo com os números de \(1\) a \(6\) (de qualquer forma que deseje). Agora considere as mesmas três simetrias usadas antes (rotações em quarto de volta em torno dos eixos), mas agora vistas como permutações das seis faces. Desta maneira, podemos construir cada simetria como um elemento de \(S_6\text{.}\) Verifique que o subgrupo gerado por estas simetrias é o grupo completo de simetrias do cubo. Novamente, no lugar de usar três geradores, tente usando apenas dois.

5.

Salve seu trabalho, e veja se consegue finalizar sua sessão Sage construindo o subgrupo de \(S_{10}\) gerado pelos elementos b e d de ordem \(2\) e \(30\) de antes. Não entregue a lista de elementos de N como parte de seu trabalho.

Qual é a ordem de \(N\text{?}\)