Álgebra Abstrata: Teoria e Aplicações

1.

En el análisis del Ejemplo 23.2.12 con Sage, hubo dos subgrupos de orden $2$ y un subgrupo de orden $4$ que no fueron analizados. Determine los cuerpos fijos de estos tres subgrupos.

2.

Construya el cuerpo de descomposición de $p(x)=x^3-6x^2+12x-10$ y determine el grupo de Galois de $p(x)$ como un grupo concreto de permutaciones explícitas. Construya el reticulado de subgrupos del grupo de Galois, nuevamente usando las mismas permutacione explícitas. Use el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois, construya los subcuerpos del cuerpo de descomposición. Incluya la documentación de respaldo necesaria en su entrega. Además, entregue una componente escrita de esta tarea que contenga un despliegue completo de los subgrupos y subcuerpos, escritos enteramente con notación matemática y sin comando Sage, diseñado para ilustrar la correspondencia entre los dos. Todo lo que necesita acá es el despliegue gráfico, apropiadamente etiquetado — el trabajo hecho en Sage constituye el respaldo de su trabajo.

3.

El polinomio $x^5-x-1$ tiene todo el grupo simétrico $S_5$ como su grupo de Galois. Como $S_5$ es no soluble, sabemos que este polinomio es un ejemplo de un polinomio quíntico que no es soluble por radicales. Desafortunadamente, pedirle a Sage que calcule este grupo de Galois toma demasiado tiempo. Así este ejercicio simulará esa experiencia con un ejemplo ligeramente más pequeño.

Considere el polinomio $p(x)=x^4+x+1\text{.}$

1. Construya el cuerpo de descomposición de $p(x)$ una raíz a la vez. Cree una extensión, factorice allí, descarte factores lineales, use los restantes factores irreducibles para extender una vez más. Repita hasta que $p(x)$ se factorice completamente. Asegúrese de hacer una extensión final usando solo un factor lineal. Esto es un poco tonto, y Sage parecerá ignorar el último generador (de manera que querrá determinar a qué equivale en términos de los generadores previos). Las direcciones que siguen dependen de tomar este paso adicional.

2. Factorice el polinomio original sobre la extensión final en la torre. ¿Qué es aburrido de esta factorización en relación a otros ejemplos que hemos hecho?

3. Construya la torre completa como un cuerpo de números absoluto sobre $\mathbb{Q}\text{.}$ Del grado de esta extensión y del grado del polinomio original, infiera el grupo de Galois de este polinomio.

4. Usando las funciones que permiten traducir entre la torre y el cuerpo de números absoluto (obtenido del método .structure()), elija una de las raíces (cualquiera) y exprésela en términos del único generador del cuerpo absoluto. Después invierta el procedimiento y exprese el generador del cuerpo absoluto en términos de las raíces en la torre.

5. Calcule el grupo de automorfismos del cuerpo absoluto (sin mostrar el grupo en lo que entregue). Tome las cuatro raíces (incluyendo la tonta del último paso de la construcción de la torre) y aplique cada automorfismo de cuerpos a las cuatro raíces (formando la permutaciones garantizadas de las raíces). Comente sobre lo que observa.

6. Hay un automorfismo no trivial que tiene una forma especialmente simple (es el segundo para mí) cuando es aplicado al generador del cuerpo absoluto. ¿Qué le hace este automorfismo a las raíces de $p(x)\text{?}$

7. Considere la extensión de $\mathbb{Q}$ formada al adjuntar una sola de las raíces. Este es un subcuerpo del cuerpo de descomposición del polinomio, de manera que es el cuerpo fijo por un subgrupo del grupo de Galois. Dé una descripción simple del subgrupo correspondientesusando el lenguaje que típicamente solo aplicamos a grupos de permutaciones.

4.

Vuelva al cuerpo de descomposición de la quíntica discutida en la introcucción al problema anterior ($x^5-x-1$). Cree los primeros dos cuerpos intermedios adjuntando dos raíces (de a una). Pero en lugar de factorizar en cada paso para obtener un nuevo polinomio irreducible, divida por el factor lineal que sabe que es un factor. En general, el cociente puede que se siga factorizando, pero en este ejercicio presuponga que no es así. En otras palabras, haga como si el cociente por el factor lineal fuera irreducible. Si no lo fuera, el comando NumberField() debiera reclamar (lo que no hará).

Después de adjuntar las dos raíces, cree una extensión produciendo una tercera raíz, y haga la división. Ahora debiera tener un factor cuadrático. Suponiendo que este polinomio cuadrático es irreducible (lo es) argumente que tiene suficiente evidencia para determinar el orden del grupo de Galois, y por ende puede determinar exactamente qué grupo es.

Puede intentar usar este factor cuadrático para crear un paso más en las extensiones, y llegará al cuerpo de descomposición, como se ver por lógica o por división. Sin embargo, esto puede tomarle un tiempo largo a Sage (¡guarde su trabajo antes!). Puede intentar con el argumento opcional check=False en el comando NumberField()— esto evitará la verificación de irreducibilidad.

5.

Cree el cuerpo finito de orden $3^6\text{,}$ dejando que Sage entregue el polinomio por defecto para su construcción. El polinomio $x^6+x^2+2x+1$ es irreducible sobre el cuerpo de 3 elementos. Verifique que este polinomio se descompone en el cuerpo finito construido, y use el método .roots() para recolectar sus raíces. Obtenga el grupo de automorfismos del cuerpo con el comando End().

Con esto tiene todas las piezas para asociar a cada automorfismo de cuerpos con una permutación de las raíces. De esto, identifique el grupo de Galois y todos sus subgrupos. Para cada subgrupo, determine el cuerpo que queda fijo. Puede encontrar que es más fácil trabajar con las raíces si usa el método .log() para identificarlas como potencias del generador multiplicativo del cuerpo.

Su grupo de Galois en este ejemplo será abeliano. Por ello todo subgrupo es normal, y por lo tanto toda extensión también es normal. ¿Puede extender este ejemplo escogiendo un cuerpo intermedio con un polinomio no trivial irreducible que tenga todas sus raíces en el cuerpo intermedio y con un polinomio no trivial irreducible que no tenga raíces en el cuerpo intermedio?

Sus resultados acá son “típicos” en el sentido de que el cuerpo o el polinomio irreducible particular no hacen gran diferencia en la naturaleza cualitativa de los resultados.

6.

El cuerpo de descomposición del polinomio irreducible $p(x)=x^7-7x+3$ tiene grado 168 (de manera que este es el orden de su grupo de Galois). Este polinomio se deriva de una “curva trinomial de Elkies,” una curva hiperelíptica (abajo) que produce polinomios con grupos de Galois interesantes:

Para $p(x)$ el grupo de Galois resultante es $PSL(2,7)\text{,}$ un grupo simple. Si $SL(2,7)$ consiste de todas las matrices de $2\times 2$ sobre ${\mathbb{Z}}_7$ con determinante 1, entonces $PSL(2,7)$ es el cociente por el subgrupo $\{I_2,-I_2\}\text{.}$ Es el segundo grupo simple no abeliano (después de $A_5$).

Vea qué tan lejos puede llegar con Sage construyendo este cuerpo de descomposición. Una extensión de grado $7$ entregará un factor lineal, y una extensión siguiente de grado $6$ entregará dos factores lineales más, dejando un factor de grado cuatro. Es en este punto donde los cálculo empiezan a hacerse lentos. Si aceptamos que el cuerpo de descomposición tiene grado $168\text{,}$ entonces sabemos que agregando una raíz de este factor de grado cuatro nos llevará hasta el cuerpo de descomposición. Crear esta extensión puede que sea posible computacionalmente, pero verificar que el polinomio cuártico se descompone en factores lineales acá, parace ser impracticable.

7.

Volvamos al Ejemplo 23.2.12, y la lista completa de subcuerpos obtenible del método .subfields() aplicado a la torre aplanada. Como mencionamos, estos no son técnicamente subcuerpos, pero tienen incrustaciones a la torre. Dados dos subcuerpos, sus respectivos elementos primitivos son incrustados en la torre, con una imagen que es combinación lineal de potencias del elemento primitivo para la torre.

Si uno de lus subcuerpos está contenido en otro, entonces la imagen del elemento primitivo para el cuerpo menor debería ser combinación lineal de potencias (apropiadas) de la imagen del elemento primitivo para el cuepo mayor. Este es un cálculo de álgebra lineal que debiese ser posible en la torre, relativo a la base de potencias de la torre completa.

Escriba un procedimiento para determinar si dos subcuerpos están relacionados por inclusión, es decir si uno es subconjunto del otro. Use este procedimiento para crear el reticulado de subcuerpos. El objetivo final sería una imagen gráfica del reticulado, usando los procedimientos gráficos disponibles para reticulados, similar a la mitad superior de la Figura 23.2.13. Este es un ejercicio “desafiante”, lo que quiere decir que “es especulativo y no ha sido probado.”