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Exercícios 18.3 Exercícios

1.

Seja \(z = a + b \sqrt{3}\, i\) em \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i]\text{.}\) Se \(a^2 + 3 b^2 = 1\text{,}\) mostre que \(z\) é uma unidade. Mostre que as únicas unidades de \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\) são 1 e \(-1\text{.}\)

Dica.

Note que \(z^{-1} = 1/(a + b\sqrt{3}\, i) = (a -b \sqrt{3}\, i)/(a^2 + 3b^2)\) está em \({\mathbb Z}[\sqrt{3}\, i]\) se e somente se \(a^2 + 3 b^2 = 1\text{.}\) As únicas soluções inteiras da equação são \(a = \pm 1, b = 0\text{.}\)

2.

Os inteiros Gaussianos, \({\mathbb Z}[i]\text{,}\) formam um DFU. Fatorize cada um dos seguintes elementos em \({\mathbb Z}[i]\) como produto de irredutíveis.

  1. 5

  2. \(\displaystyle 1 + 3i\)

  3. \(\displaystyle 6 + 8i\)

  4. 2

Dica.

(a) \(5 = -i(1 + 2i)(2 + i)\text{;}\) (c) \(6 + 8i = -i(1 + i)^2(2 + i)^2\text{.}\)

3.

Seja \(D\) um domínio integral.

  1. Demonstre que \(F_D\) é um grupo abeliano sob a operação de adição.

  2. Mostre que a operação de multiplicação está bem definida no corpo de frações, \(F_D\text{.}\)

  3. Verifique as propriedades associativa e comutativa em \(F_D\text{.}\)

4.

Demonstre ou refute: Qualquer subanel de um corpo \(F\) que contenha 1 é um domínio integral.

Dica.

Verdadeiro.

5.

Demonstre ou refute: Se \(D\) é um domínio integral, então todo elemento primo em \(D\) também é irredutível em \(D\text{.}\)

6.

Seja \(F\) um corpo de característica zero. Demonstre que \(F\) contém um subcorpo isomorfo a \({\mathbb Q}\text{.}\)

7.

Seja \(F\) um corpo.

  1. Demonstre que o corpo de frações de \(F[x]\text{,}\) denotado por \(F(x)\text{,}\) é isomorfo ao conjunto de todas as expressões racionais \(p(x) / q(x)\text{,}\) donde \(q(x)\) não é o polinômio zero.

  2. Sejam \(p(x_1, \ldots, x_n)\) y \(q(x_1, \ldots, x_n)\) polinômios em \(F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}\) Mostre que o conjunto de todas as expressões racionais \(p(x_1, \ldots, x_n) / q(x_1, \ldots, x_n)\) é isomorfo ao corpo de frações de \(F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}\) Denotamos o corpo de frações de \(F[x_1, \ldots, x_n]\) por \(F(x_1, \ldots, x_n)\text{.}\)

8.

Seja \(p\) um número primo e denote o corpo de frações de \({\mathbb Z}_p[x]\) por \({\mathbb Z}_p(x)\text{.}\) Demonstre que \({\mathbb Z}_p(x)\) é um corpo infinito de característica \(p\text{.}\)

9.

Demonstre que o corpo de frações dos inteiros Gaussianos, \({\mathbb Z}[i]\text{,}\) é

\begin{equation*} {\mathbb Q}(i) = \{ p + q i : p, q \in {\mathbb Q} \}. \end{equation*}
Dica.

Sejam \(z = a + bi\) e \(w = c + di \neq 0\) em \({\mathbb Z}[i]\text{.}\) Demonstre que \(z/w \in {\mathbb Q}(i)\text{.}\)

10.

Um corpo \(F\) se chama corpo primo se não tem subcorpos próprios. Se \(E\) é um subcorpo de \(F\) e \(E\) é um corpo primo, então \(E\) é um subcorpo primo de \(F\text{.}\)

  1. Demonstre que todo corpo contém um único subcorpo primo.

  2. Se \(F\) é um corpo de característica 0, demonstre que o subcorpo primo de \(F\) é isomorfo ao corpo dos números racionais, \({\mathbb Q}\text{.}\)

  3. Se \(F\) é um corpo de característica \(p\text{,}\) demonstre que o subcorpo primo de \(F\) é isomorfo a \({\mathbb Z}_p\text{.}\)

11.

Seja \({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ] = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Z} \}\text{.}\)

  1. Demonstre que \({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]\) é um domínio integral.

  2. Encontre todas as unidades em \({\mathbb Z}[\sqrt{2}\, ]\text{.}\)

  3. Determine o corpo de frações de \({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]\text{.}\)

  4. Demonstre que \({\mathbb Z}[ \sqrt{2} i ]\) é um domínio Euclidiano com a estimativa Euclidiana \(\nu( a + b \sqrt{2}\, i) = a^2 + 2b^2\text{.}\)

12.

Seja \(D\) um DFU. Um elemento \(d \in D\) é um máximo divisor comum de \(a\) e \(b\) em \(D\) se \(d \mid a\) e \(d \mid b\) e \(d\) é divisível por qualquer outro elemento que divida tanto \(a\) como \(b\text{.}\)

  1. Se \(D\) é um DIP e \(a\) e \(b\) são ambos elementos distintos de zero em \(D\text{,}\) demonstre que existe um único máximo divisor comum de \(a\) e \(b\text{,}\) com exceção dos associados. Isto é, se \(d\) e \(d'\) são ambos máximos divisores comuns de \(a\) e \(b\text{,}\) então \(d\) e \(d'\) são associados. Escrevemos \(\gcd( a, b)\) para o máximo divisor comum de \(a\) e \(b\text{.}\)

  2. Seja \(D\) um DIP e sejam \(a\) e \(b\) elementos distintos de zero em \(D\text{.}\) Demonstre que existem elementos \(s\) e \(t\) em \(D\) tais que \(\gcd(a, b) = as + bt\text{.}\)

13.

Seja \(D\) um domínio integral. Defina una relação em \(D\) como \(a \sim b\) se \(a\) e \(b\) são associados em \(D\text{.}\) Demonstre que \(\sim\) é uma relação de equivalência em \(D\text{.}\)

14.

Seja \(D\) um domínio Euclidiano com estimativa Euclidiana \(\nu\text{.}\) Se \(u\) é uma unidade em \(D\text{,}\) demonstre que \(\nu(u) = \nu(1)\text{.}\)

15.

Seja \(D\) um domínio Euclidiano com estimativa Euclidiana \(\nu\text{.}\) Se \(a\) e \(b\) são associados em \(D\text{,}\) demonstre que \(\nu(a) = \nu(b)\text{.}\)

Dica.

Seja \(a = ub\) com \(u\) uma unidade. Então \(\nu(b) \leq \nu(ub) \leq \nu(a)\text{.}\) Similarmente, \(\nu(a) \leq \nu(b)\text{.}\)

16.

Mostre que \({\mathbb Z}[\sqrt{5}\, i]\) não é um domínio de fatoração única.

Dica.

Mostre que 21 pode ser fatorizado de duas formas diferentes.

17.

Demonstre ou refute: Todo subdominio de um DFU também é um DFU.

18.

Um ideal \(I\) em um anel comutativo \(R\) é finitamente gerado se existem elementos \(a_1, \ldots, a_n\) em \(I\) de maneira que cada elemento \(r \in I\) possa ser escrito como \(a_1 r_1 + \cdots + a_n r_n\) para certos \(r_1, \ldots, r_n\) em \(R\text{.}\) Demonstre que \(R\) satisfaz a condições de sequências ascendentes se e somente se todo ideal de \(R\) é finitamente gerado.

19.

Seja \(D\) um domínio integral em que para qualquer sequência descendente de ideias \(I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots\text{.}\) Existe \(N\) tal que \(I_k = I_N\) para todo \(k \geq N\text{.}\) Quando um anel satisfaz esta condição dizemos que satisfaz a condição de sequências descendentes, ou CCD. Anéis que satisfazem a CSD se chamam anéis Artinianos, em homenagem Emil Artin. Mostre que se \(D\) satisfaz a condição de sequências descendentes, então também satisfaz a condição de sequências ascendentes.

20.

Seja \(R\) um anel comutativo com identidade. Definimos um subconjunto multiplicativo de \(R\) como um subconjunto \(S\) tal que \(1 \in S\) e \(ab \in S\) se \(a, b \in S\text{.}\)

  1. Vamos definir uma relação \(\sim\) em \(R \times S\) como \((a, s) \sim (a', s')\) se existe \(s^\ast \in S\) tal que \(s^\ast(s' a -s a') =0\text{.}\) Mostre que \(\sim\) é uma relação de equivalência em \(R \times S\text{.}\)

  2. Denotemos por \(a/s\) a classe de equivalência de \((a,s) \in R \times S\) e seja \(S^{-1}R\) o conjunto de todas as classes de equivalência com respeito a \(\sim\text{.}\) Definamos as operações de adição e multiplicação em \(S^{-1} R\) como

    \begin{align*} \frac{a}{s} + \frac{b}{t} & = \frac{at + b s}{s t}\\ \frac{a}{s} \frac{b}{t} & = \frac{a b}{s t}, \end{align*}

    respectivamente. Demonstre que estas operações estão bem definidas em \(S^{-1}R\) e que \(S^{-1}R\) é um anel com identidade sob estas operações. O anel \(S^{-1}R\) se chama anel de quocientes de \(R\) com respeito a \(S\text{.}\)

  3. Mostre que a função \(\psi : R \rightarrow S^{-1}R\) definida por \(\psi(a) = a/1\) é um homomorfismo de anéis.

  4. Se \(R\) não tem divisores de zero e \(0 \notin S\text{,}\) mostre que \(\psi\) é 1-1.

  5. Demonstre que \(P\) é um ideal primo de \(R\) se e somente se \(S = R \setminus P\) é um subconjunto multiplicativo de \(R\text{.}\)

  6. Se \(P\) é um ideal primo de \(R\) e \(S = R \setminus P\text{,}\) mostre que o anel de quocientes \(S^{-1}R\) tem um único ideal maximal. Qualquer anel que tem um único ideal maximal se chama anel local.