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Seção 17.1 Anéis de Polinômios

Em todo este capítulo iremos supor que \(R\) é um anel comutativo com unidade. Uma expressão da forma

\begin{equation*} f(x) = \sum^{n}_{i=0} a_i x^i = a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n, \end{equation*}

donde \(a_i \in R\) e \(a_n \neq 0\text{,}\) se chama polinômio sobre \(R\) com indeterminada \(x\text{.}\) Os elementos \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) se chamam coeficientes de \(f\text{.}\) O coeficiente \(a_n\) se chama coeficiente líder. Um polinômio se chama mônico se seu coeficiente líder é 1. Se \(n\) é o maior inteiro não negativo para o qual \(a_n \neq 0\text{,}\) dizemos que o grau de \(f\) é \(n\) e escrevemos \(\deg f(x) = n\text{.}\) Se não existe tal \(n\)—isto é, se \(f=0\) é o polinômio zero—então o grau de \(f\) se define como \(-\infty\text{.}\) Denotaremos por \(R[x]\) ao conjunto de todos os polinômios com coeficientes em um anel \(R\text{.}\) Dois polinômios são iguais exatamente quando seus coeficientes correspondentes são iguais; isto é, se

\begin{align*} p(x) & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\\ q(x) & = b_0 + b_1 x + \cdots + b_m x^m, \end{align*}

então \(p(x) = q(x)\) se e somente se \(a_i = b_i\) para todo \(i \geq 0\text{.}\)

Para mostrar que o conjunto de todos os polinômios formam um anel, devemos primeiro definir a adição e a multiplicação. Definimos a soma de dois polinômios como segue. Sejam

\begin{align*} p(x) & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\\ q(x) & = b_0 + b_1 x + \cdots + b_m x^m. \end{align*}

Então a soma de \(p(x)\) e \(q(x)\) é

\begin{equation*} p(x) + q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_k x^k, \end{equation*}

donde \(c_i = a_i + b_i\) para cada \(i\text{.}\) Definimos o produto de \(p(x)\) e \(q(x)\) como

\begin{equation*} p(x) q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{m + n} x^{m + n}, \end{equation*}

donde

\begin{equation*} c_i = \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} = a_0 b_i + a_1 b_{i -1} + \cdots + a_{i -1} b _1 + a_i b_0 \end{equation*}

para cada \(i\text{.}\) Notemos que em cada caso alguns dos coeficientes podem ser zero.

Suponha que

\begin{equation*} p(x) = 3 + 0 x + 0 x^2 + 2 x^3 + 0 x^4 \end{equation*}

e

\begin{equation*} q(x) = 2 + 0 x - x^2 + 0 x^3 + 4 x^4 \end{equation*}

são polinômios em \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Se o coeficiente de algum termo em um polinômio é zero, então simplesmente omitiremos esse termo. Neste caso escreveremos \(p(x) = 3 + 2 x^3\) e \(q(x) = 2 - x^2 + 4 x^4\text{.}\) A soma desses dois polinômios é

\begin{equation*} p(x) + q(x)= 5 - x^2 + 2 x^3 + 4 x^4. \end{equation*}

O produto,

\begin{equation*} p(x) q(x) = (3 + 2 x^3)( 2 - x^2 + 4 x^4 ) = 6 - 3x^2 + 4 x^3 + 12 x^4 - 2 x^5 + 8 x^7, \end{equation*}

pode ser calculado ou determinando os \(c_i\) na definição ou simplesmente multiplicando os polinômios da mesma forma como sempre fizemos.

Sejam

\begin{equation*} p(x) = 3 + 3 x^3 \qquad \text{y} \qquad q(x) = 4 + 4 x^2 + 4 x^4 \end{equation*}

polinômios em \({\mathbb Z}_{12}[x]\text{.}\) A soma de \(p(x)\) e \(q(x)\) é \(7 + 4 x^2 + 3 x^3 + 4 x^4\text{.}\) O produto dos dois polinômios é o polinômio zero. Este exemplo nos mostra que não podemos esperar que \(R[x]\) seja um domínio integral se \(R\) não é um domínio integral.

Nossa primeira tarefa é mostrar que \(R[x]\) é um grupo abeliano com a operação de soma de polinômios. O polinômio zero, \(f(x) = 0\text{,}\) é o neutro aditivo. Dado um polinômio \(p(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{,}\) o inverso aditivo de \(p(x)\) é \(-p(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-a_i) x^i = -\sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{.}\) A comutatividade e a associatividade são consequência imediata da definição da soma de polinômios e do fato que a adição em \(R\) é tanto comutativa como associativa.

Para mostrar que a multiplicação de polinômios é associativa, sejam

\begin{align*} p(x) & = \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i,\\ q(x) & = \sum_{i = 0}^{n} b_i x^i,\\ r(x) & = \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i. \end{align*}

Então

\begin{align*} [p(x) q(x)] r(x) & = \left[ \left( \sum_{i=0}^{m} a_i x^i \right) \left( \sum_{i=0}^{n} b_i x^i \right) \right] \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right)\\ & = \left[ \sum_{i = 0}^{m+n} \left( \sum_{j = 0}^{i} a_j b_{i - j} \right) x^i \right] \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right)\\ & = \sum_{i = 0}^{m + n + p} \left[ \sum_{j = 0}^{i} \left( \sum_{k=0}^j a_k b_{j-k} \right) c_{i-j} \right] x^i\\ & = \sum_{i = 0}^{m + n + p} \left(\sum_{j + k + l = i} a_j b_k c_l \right) x^i\\ & = \sum_{i = 0}^{m+n+p} \left[ \sum_{j = 0}^{i} a_j \left( \sum_{k = 0}^{i - j} b_k c_{i - j - k} \right) \right] x^i\\ & = \left( \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i \right) \left[ \sum_{i = 0}^{n + p} \left( \sum_{j = 0}^{i} b_j c_{i - j} \right) x^i \right]\\ & = \left( \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i \right) \left[ \left( \sum_{i = 0}^{n} b_i x^i \right) \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right) \right]\\ & = p(x) [ q(x) r(x) ] \end{align*}

A comutatividade e a distributividade são demonstradas de forma similiar Deixaremos estas demonstrações como exercícios.

Suponha que temos dois polinômios distintos de zero

\begin{equation*} p(x) = a_m x^m + \cdots + a_1 x + a_0 \end{equation*}

e

\begin{equation*} q(x) = b_n x^n + \cdots + b_1 x + b_0 \end{equation*}

com \(a_m \neq 0\) e \(b_n \neq 0\text{.}\) Os graus de \(p(x)\) e \(q(x)\) são \(m\) e \(n\text{,}\) respectivamente. O termo líder de \(p(x) q(x)\) é \(a_m b_n x^{m + n}\text{,}\) que não pode ser zero pois \(R\) é um domínio integral; Vemos que o grau de \(p(x) q(x)\) é \(m + n\text{,}\) e \(p(x)q(x) \neq 0\text{.}\) Como \(p(x) \neq 0\) e \(q(x) \neq 0\) implica que \(p(x)q(x) \neq 0\text{,}\) concluímos que \(R[x]\) também é um domínio integral.

Também queremos considerar polinômios em duas ou mais variáveis, tais como \(x^2 - 3 x y + 2 y^3\text{.}\) Seja \(R\) um anel e suponha que temos duas variáveis \(x\) e \(y\text{.}\) Certamente podemos formar o anel \((R[x])[y]\text{.}\) É direto, por mais que seja tedioso, demonstrar que \((R[x])[y] \cong R([y])[x]\text{.}\) Identificaremos esses dois anéis por meio deste isomorfismo e simplesmente escreveremos \(R[x,y]\text{.}\) O anel \(R[x, y]\) se chama anel de polinômio em duas variáveis \(x\) e \(y\) com coeficientes em \(R\text{.}\) Podemos definir similarmente o anel de polinômios em \(n\) variáveis com coeficientes em \(R\text{.}\) Denotaremos este anel por \(R[x_1, x_2, \ldots, x_n]\text{.}\)

Sejam \(p(x) = \sum_{i = 0}^n a_i x^i\) e \(q(x) = \sum_{i = 0}^m b_i x^i\text{.}\) É fácil mostrar que \(\phi_{\alpha}(p(x) + q(x)) = \phi_{\alpha}(p(x)) + \phi_{\alpha}(q(x))\text{.}\) Para mostrar que a multiplicação é preservada pela função \(\phi_{\alpha}\text{,}\) observemos que

\begin{align*} \phi_{\alpha} (p(x) ) \phi_{\alpha} (q(x)) & = p( \alpha ) q(\alpha)\\ & = \left( \sum_{i = 0}^n a_i \alpha^i \right) \left( \sum_{i = 0}^m b_i \alpha^i \right)\\ & = \sum_{i = 0}^{m + n} \left( \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} \right) \alpha^i\\ & = \phi_{\alpha} (p(x) q(x)). \end{align*}

A função \(\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R\) se chama homomorfismo de avaliação em \(\alpha\text{.}\)