Capítulo 17 Polinômios
A maioria das pessoas está razoavelmente familiarizada com os polinômios quando começa a estudar álgebra abstrata. Quando examinamos expressões polinomiais como
\begin{align*}
p(x) & = x^3 -3x +2\\
q(x) & = 3x^2 -6x +5,
\end{align*}
temos uma ideia bastante clara do que significam \(p(x) + q(x)\) e \(p(x) q(x)\text{.}\) Simplesmente somamos e multiplicamos polinômios como funções; isto é,
\begin{align*}
(p +q)(x) & = p(x) + q(x)\\
& = ( x^3 - 3 x + 2 ) + ( 3 x^2 - 6 x + 5 )\\
& = x^3 + 3 x^2 - 9 x + 7
\end{align*}
e
\begin{align*}
(p q)(x) & = p(x) q(x)\\
& = ( x^3 - 3 x + 2 ) ( 3 x^2 - 6 x + 5 )\\
& = 3 x^5 - 6 x^4 - 4 x^3 + 24 x^2 - 27 x + 10.
\end{align*}
Provavelmente não é uma surpresa que os polinômios formem um anel. Neste capítulo enfatizaremos a estrutura algébrica dos polinômios estudando anéis de polinômios. Podemos demonstrar muitos resultados para anéis de polinômios que são similares aos teoremas que demonstramos para os inteiros. Existem análogos dos números primos, o algoritmo de divisão e o algoritmo de Euclides para polinômios.