Álgebra Abstrata: Teoria e Aplicações

1.

Liste todos os polinômios de grau menor ou igual a 3 em ${\mathbb{Z}}_2[x]\text{.}$

2.

Calcule cada um dos seguintes.

1. $(5x^2+3x-4)+(4x^2-x+9)$ in ${\mathbb{Z}}_{12}$

2. $(5x^2+3x-4)(4x^2-x+9)$ in ${\mathbb{Z}}_{12}$

3. $(7x^3+3x^2-x)+(6x^2-8x+4)$ in ${\mathbb{Z}}_9$

4. $(3x^2+2x-4)+(4x^2+2)$ in ${\mathbb{Z}}_5$

5. $(3x^2+2x-4)(4x^2+2)$ in ${\mathbb{Z}}_5$

6. $(5x^2+3x-2{)}^2$ in ${\mathbb{Z}}_{12}$

3.

Use o algoritmo da divisão para encontrar $q(x)$ e $r(x)$ tais que $a(x)=q(x)b(x)+r(x)$ com $\mathrm{gr}r(x)<\mathrm{gr}b(x)$ para cada um dos seguintes pares de polinômios.

1. $a(x)=5x^3+6x^2-3x+4$ e $b(x)=x-2$ in ${\mathbb{Z}}_7[x]$

2. $a(x)=6x^4-2x^3+x^2-3x+1$ e $b(x)=x^2+x-2$ in ${\mathbb{Z}}_7[x]$

3. $a(x)=4x^5-x^3+x^2+4$ e $b(x)=x^3-2$ in ${\mathbb{Z}}_5[x]$

4. $a(x)=x^5+x^3-x^2-x$ e $b(x)=x^3+x$ in ${\mathbb{Z}}_2[x]$

4.

Encontre o máximo divisor comum para cada um dos seguintes pares $p(x)$ e $q(x)$ de polinômios. Se $d(x)=\mathrm{mdc}(p(x),q(x))\text{,}$ encontre dois polinômios $a(x)$ e $b(x)$ tais que $a(x)p(x)+b(x)q(x)=d(x)\text{.}$

1. $p(x)=x^3-6x^2+14x-15$ e $q(x)=x^3-8x^2+21x-18\text{,}$ donde $p(x),q(x)\in \mathbb{Q}[x]$

2. $p(x)=x^3+x^2-x+1$ e $q(x)=x^3+x-1\text{,}$ donde $p(x),q(x)\in {\mathbb{Z}}_2[x]$

3. $p(x)=x^3+x^2-4x+4$ e $q(x)=x^3+3x-2\text{,}$ donde $p(x),q(x)\in {\mathbb{Z}}_5[x]$

4. $p(x)=x^3-2x+4$ e $q(x)=4x^3+x+3\text{,}$ donde $p(x),q(x)\in \mathbb{Q}[x]$

5.

Encontre todos os zeros de cada um dos seguintes polinômios.

1. $5x^3+4x^2-x+9$ em ${\mathbb{Z}}_{12}$

2. $3x^3-4x^2-x+4$ em ${\mathbb{Z}}_5$

3. $5x^4+2x^2-3$ em ${\mathbb{Z}}_7$

4. $x^3+x+1$ em ${\mathbb{Z}}_2$

6.

Encontre todas as unidades em $\mathbb{Z}[x]\text{.}$

7.

Encontre uma unidade $p(x)$ em ${\mathbb{Z}}_4[x]$ tal que $\mathrm{gr}p(x)>1\text{.}$

8.

Quais dos seguintes polinômios são irredutíveis sobre $\mathbb{Q}[x]\text{?}$

1. ${\displaystyle x^4-2x^3+2x^2+x+4}$

2. ${\displaystyle x^4-5x^3+3x-2}$

3. ${\displaystyle 3x^5-4x^3-6x^2+6}$

4. ${\displaystyle 5x^5-6x^4-3x^2+9x-15}$

9.

Encontre todos os polinômios irredutíveis de grau 2 e 3 em ${\mathbb{Z}}_2[x]\text{.}$

10.

Dê duas fatorações diferentes de $x^2+x+8$ em ${\mathbb{Z}}_{10}[x]\text{.}$

11.

Demonstre ou refute: Existe um polinômio $p(x)$ em ${\mathbb{Z}}_6[x]$ de grau $n$ com mais de $n$ zeros distintos.

12.

Se $F$ é um corpo, mostre que $F[x_1,\dots ,x_n]$ é um domínio integral.

13.

Mostre que o algoritmo de divisão não é respeitado em $\mathbb{Z}[x]\text{.}$ Porque isso acontece?

14.

Demonstre ou refute: $x^p+a$ é irredutível para qualquer $a\in {\mathbb{Z}}_p\text{,}$ donde $p$ é primo.

15.

Seja $f(x)$ irredutível em $F[x]\text{,}$ donde $F$ é um corpo. Se $f(x)\mid p(x)q(x)\text{,}$ demonstre que ou $f(x)\mid p(x)$ ou $f(x)\mid q(x)\text{.}$

16.

Suponha que $R$ e $S$ são anéis isomorfos. Demonstre que $R[x]\cong S[x]\text{.}$

17.

Seja $F$ um corpo e $a\in F\text{.}$ Se $p(x)\in F[x]\text{,}$ mostre que $p(a)$ é o resto obtido ao dividir $p(x)$ por $x-a\text{.}$

18. Teorema da Raiz Racional.

Seja

donde $a_n\ne 0\text{.}$ Demonstre que se $p(r/s)=0\text{,}$ donde $\mathrm{mdc}(r,s)=1\text{,}$ então $r\mid a_0$ e $s\mid a_n\text{.}$

19.

Seja ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ o grupo multiplicativo dos números racionais positivos. Demonstre que ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ é isomorfo a $(\mathbb{Z}[x],+)\text{.}$

20. Polinômios Ciclotômicos.

O polinômio

se chama polinômio ciclotômico. Mostre que ${\mathrm{\Phi }}_p(x)$ é irredutível sobre $\mathbb{Q}$ para qualquer primo $p\text{.}$

21.

Se $F$ é um corpo, mostre que existem infinitos polinômios irredutíveis em $F[x]\text{.}$

22.

Seja $R$ um anel comutativo com identidade. Demonstre que a multiplicação em $R[x]$ é comutativa.

23.

Seja $R$ um anel comutativo com unidade. Demonstre que a multiplicação em $R[x]$ é distributiva.

24.

Demonstre que $x^p-x$ tem $p$ zeros distintos em ${\mathbb{Z}}_p\text{,}$ para qualquer primo $p\text{.}$ Conclua que

25.

Seja $F$ um corpo e seja $f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$ em $F[x]\text{.}$ Defina $f^{\prime }(x)=a_1+2a_{2}x+\cdots +n{a}_n{x}^{n-1}$ como a derivada de $f(x)\text{.}$

1. Demonstre que

   $$(f+g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x).$$

   Conclua que podemos definir um homomorfismo de grupos abelianos $D:F[x]\to F[x]$ como $D(f(x))=f^{\prime }(x)\text{.}$

2. Calcule o núcleo de $D$ se $\mathrm{car}F=0\text{.}$

3. Calcule o núcleo de $D$ se $\mathrm{car}F=p\text{.}$

4. Demonstre que

   $$(fg{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).$$

5. Suponha que é possível fatorar um polinômio $f(x)\in F[x]$ em fatores lineares, digamos

   $$f(x)=a(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n).$$

   Demonstre que $f(x)$ não tem fatores se e somente se $f(x)$ e $f^{\prime }(x)$ são relativamente primos.

26.

Seja $F$ um corpo. Mostre que $F[x]$ nunca é um corpo.

27.

Seja $R$ um domínio integral. Demonstre que $R[x_1,\dots ,x_n]$ é um domínio integral.

28.

Seja $R$ um anel comutativo com unidade. Mostre que $R[x]$ tem um subanel $R^{\prime }$ isomorfo a $R\text{.}$

29.

Sejam $p(x)$ e $q(x)$ polinômios em $R[x]\text{,}$ donde $R$ é um anel comutativo com unidade. Demonstre que $\mathrm{gr}(p(x)+q(x))\le max(\mathrm{gr}p(x),\mathrm{gr}q(x))\text{.}$