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Exercícios 5.3 Exercícios

1.

Escreva as seguintes permutações em notação cíclica.

  1. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \end{equation*}
  2. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{equation*}
  3. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \end{equation*}
  4. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \end{equation*}
Dica.

(a) \((12453)\text{;}\) (c) \((13)(25)\text{.}\)

2.

Escreva cada uma das seguintes como produto de ciclos disjuntos.

  1. \(\displaystyle (1345)(234)\)

  2. \(\displaystyle (12)(1253)\)

  3. \(\displaystyle (143)(23)(24)\)

  4. \(\displaystyle (1423)(34)(56)(1324)\)

  5. \(\displaystyle (1254)(13)(25)\)

  6. \(\displaystyle (1254) (13)(25)^2\)

  7. \(\displaystyle (1254)^{-1} (123)(45) (1254)\)

  8. \(\displaystyle (1254)^2 (123)(45)\)

  9. \(\displaystyle (123)(45) (1254)^{-2}\)

  10. \(\displaystyle (1254)^{100}\)

  11. \(\displaystyle |(1254)|\)

  12. \(\displaystyle |(1254)^2|\)

  13. \(\displaystyle (12)^{-1}\)

  14. \(\displaystyle (12537)^{-1}\)

  15. \(\displaystyle [(12)(34)(12)(47)]^{-1}\)

  16. \(\displaystyle [(1235)(467)]^{-1}\)

Dica.

(a) \((135)(24)\text{;}\) (c) \((14)(23)\text{;}\) (e) \((1324)\text{;}\) (g) \((134)(25)\text{;}\) (n) \((17352)\text{.}\)

3.

Expresse as seguintes permutações como produto de transposições e identifique-as como pares ou ímpares.

  1. \(\displaystyle (14356)\)

  2. \(\displaystyle (156)(234)\)

  3. \(\displaystyle (1426)(142)\)

  4. \(\displaystyle (17254)(1423)(154632)\)

  5. \(\displaystyle (142637)\)

Dica.

(a) \((16)(15)(13)(14)\text{;}\) (c) \((16)(14)(12)\text{.}\)

4.

Encontre \((a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1}\text{.}\)

Dica.

\((a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1} = (a_1, a_{n}, a_{n-1}, \ldots, a_2)\)

5.

Liste todos os subgrupos de \(S_4\text{.}\) Encontre cada um dos seguintes conjuntos.

  1. \(\displaystyle \{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3 \}\)

  2. \(\displaystyle \{ \sigma \in S_4 : \sigma(2) = 2 \}\)

  3. \(\{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3\) y \(\sigma(2) = 2 \}\)

Algum destes conjuntos é um subgrupo de \(S_4\text{?}\)

Dica.

(a) \(\{ (13), (13)(24), (132), (134), (1324), (1342) \}\) não é um subgrupo.

6.

Encontre todos os subgrupos de \(A_4\text{.}\) Qual é a ordem de cada um deles?

7.

Encontre todas as possíveis ordens de elementos em \(S_7\) e em \(A_7\text{.}\)

8.

Mostre que \(A_{10}\) contém um elemento de ordem 15.

Dica.

\((12345)(678)\text{.}\)

9.

\(A_8\) contém um elemento de ordem 26?

10.

Encontre um elemento de ordem maximal em \(S_n\) para \(n = 3, \ldots, 10\text{.}\)

11.

Quais são as possíveis estruturas de ciclos dos elementos de \(A_5\text{?}\) E de \(A_6\text{?}\)

Dica.

Permutações da forma

\begin{equation*} (1), (a_1, a_2)(a_3, a_4), (a_1, a_2, a_3), (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \end{equation*}

são possíveis em \(A_5\text{.}\)

12.

Seja \(\sigma \in S_n\) um elemento de ordem \(n\text{.}\) Mostre que para todos os inteiros \(i\) e \(j\text{,}\) \(\sigma^i = \sigma^j\) se e só se \(i \equiv j \pmod{n}\text{.}\)

13.

Seja \(\sigma = \sigma_1 \cdots \sigma_m \in S_n\) o produto disjunto de ciclos. Demonstre que a ordem de \(\sigma\) é o mínimo múltiplo comum dos tamanhos dos ciclos \(\sigma_1, \ldots, \sigma_m\text{.}\)

14.

Usando notação cíclica, liste os elementos em \(D_5\text{.}\) Quais são \(r\) e \(s\text{?}\) Escreva todo elemento como produto de \(r\) e \(s\text{.}\)

15.

Se as diagonais de um cubo estão numeradas como na Figura 5.2.8, a que movimento do cubo corresponde a permutação \((12)(34)\text{?}\) E as outras permutações das diagonais?

16.

Encontre o grupo de movimentos rígidos de um tetraedro. Mostre que este é o mesmo grupo que \(A_4\text{.}\)

17.

Demonstre que \(S_n\) é não abeliano para \(n \geq 3\text{.}\)

Dica.

Calcule \((123)(12)\) e \((12)(123)\text{.}\)

18.

Mostre que \(A_n\) é não abeliano para \(n \geq 4\text{.}\)

19.

Demonstre que \(D_n\) é não abeliano para \(n \geq 3\text{.}\)

20.

Seja \(\sigma \in S_n\) um ciclo. Demonstre que \(\sigma\) pode ser escrito como o produto de, no máximo, \(n-1\) transposições.

21.

Seja \(\sigma \in S_n\text{.}\) Se \(\sigma\) não é um ciclo, demonstre que \(\sigma\) pode ser escrita como o produto de, no máximo, \(n-2\) transposições.

22.

Se \(\sigma\) pode ser expressa como um produto de um número ímpar de transposições, mostre que qualquer outro produto de transposições que seja igual a \(\sigma\) também deve conter um número ímpar destas.

23.

Se \(\sigma\) é um ciclo de tamanho ímpar, demonstre que \(\sigma^2\) também é um ciclo.

24.

Mostre que um 3-ciclo é uma permutação par.

25.

Demonstre que em \(A_n\) com \(n \geq 3\text{,}\) qualquer permutação é um produto de ciclos de tamanho 3.

Dica.

Considere os casos \((ab)(bc)\) e \((ab)(cd)\text{.}\)

26.

Demonstre que todo elemento em \(S_n\) pode ser escrito como um produto finito das seguintes permutações.

  1. \(\displaystyle (1 2), (13), \ldots, (1n)\)

  2. \(\displaystyle (1 2), (23), \ldots, (n- 1,n)\)

  3. \(\displaystyle (12), (1 2 \ldots n )\)

27.

Seja \(G\) um grupo e seja \(\lambda_g : G \rightarrow G\) uma função definida por \(\lambda_g(a) = g a\text{.}\) Demonstre que \(\lambda_g\) é uma permutação de \(G\text{.}\)

28.

Demonstre que existem \(n!\) permutações de um conjunto com \(n\) elementos.

29.

Recorde que o centro de um grupo \(G\) é

\begin{equation*} Z(G) = \{ g \in G : gx = xg \text{ para todo } x \in G \}. \end{equation*}

Encontre o centro de \(D_8\text{.}\) E o centro de \(D_{10}\text{?}\) Qual é o centro de \(D_n\text{?}\)

30.

Seja \(\tau = (a_1, a_2, \ldots, a_k)\) um ciclo de tamanho \(k\text{.}\)

  1. Demonstre que se \(\sigma\) é qualquer permutação, então

    \begin{equation*} \sigma \tau \sigma^{-1 } = ( \sigma(a_1), \sigma(a_2), \ldots, \sigma(a_k)) \end{equation*}

    é um ciclo de tamanho \(k\text{.}\)

  2. Seja \(\mu\) um ciclo de tamanho \(k\text{.}\) Demonstre que existe uma permutação \(\sigma\) tal que \(\sigma \tau \sigma^{-1 } = \mu\text{.}\)

Dica.

Para a parte (a), mostre que \(\sigma \tau \sigma^{-1 }(\sigma(a_i)) = \sigma(a_{i + 1})\text{.}\)

31.

Para \(\alpha\) e \(\beta\) em \(S_n\text{,}\) defina \(\alpha \sim \beta\) se existe \(\sigma \in S_n\) tal que \(\sigma \alpha \sigma^{-1} = \beta\text{.}\) Mostre que \(\sim\) é uma relação de equivalência em \(S_n\text{.}\)

32.

Seja \(\sigma \in S_X\text{.}\) Se \(\sigma^n(x) = y\text{,}\) diremos que \(x \sim y\text{.}\)

  1. Mostre que \(\sim\) é uma relação de equivalência em \(X\text{.}\)

  2. Se \(\sigma \in A_n\) e \(\tau \in S_n\text{,}\) mostre que \(\tau^{-1} \sigma \tau \in A_n\text{.}\)

  3. Defina a órbita de \(x \in X\) baixo \(\sigma \in S_X\) como o conjunto

    \begin{equation*} {\mathcal O}_{x, \sigma} = \{ y : x \sim y \}. \end{equation*}

    Calcule as órbitas de cada um dos seguintes elementos em \(S_5\text{:}\)

    \begin{align*} \alpha & = (1254)\\ \beta & = (123)(45)\\ \gamma & = (13)(25). \end{align*}

  4. Se \({\mathcal O}_{x, \sigma} \cap {\mathcal O}_{y, \sigma} \neq \emptyset\text{,}\) demonstre que \({\mathcal O}_{x, \sigma} = {\mathcal O}_{y, \sigma}\text{.}\) As órbitas baixo uma permutação \(\sigma\) são as classes de equivalência correspondentes à relação \(\sim\text{.}\)

  5. Um subgrupo \(H\) de \(S_X\) é transitivo se para cada \(x, y \in X\text{,}\) existe um \(\sigma \in H\) tal que \(\sigma(x) = y\text{.}\) Demonstre que \(\langle \sigma \rangle\) é transitivo se y só se \({\mathcal O}_{x, \sigma} = X\) para algum \(x \in X\text{.}\)

33.

Seja \(\alpha \in S_n\) com \(n \geq 3\text{.}\) Se \(\alpha \beta = \beta \alpha\) para todo \(\beta \in S_n\text{,}\) demonstre que \(\alpha\) deve ser a permutação identidade; logo, o centro de \(S_n\) é o subgrupo trivial.

34.

Se \(\alpha\) é par, demonstre que \(\alpha^{-1}\) também é par. Existe um resultado análogo se \(\alpha\) é ímpar?

35.

Mostre que \(\alpha^{-1} \beta^{-1} \alpha \beta\) é par para todo \(\alpha, \beta \in S_n\text{.}\)

36.

Sejam \(r\) e \(s\) os elementos em \(D_n\) descritos no Teorema 5.2.5.

  1. Mostre que \(srs = r^{-1}\text{.}\)

  2. Mostre que \(r^k s = s r^{-k}\) em \(D_n\text{.}\)

  3. Demonstre que a ordem de \(r^k \in D_n\) es \(n / \gcd(k,n)\text{.}\)