Álgebra Abstrata: Teoria e Aplicações

1.

Construa um par de chaves para Alice usando os primeros dois primos maiores a \(10^{12}\text{.}\) Para sua escolha de \(E\text{,}\) use um primo e escolha o menor possível.

Obtenha os valores de \(n\text{,}\) \(E\text{,}\) e \(D\) para Alice. Logo use comandos de Sage para verificar que as chaves de encriptação e decriptação de Alice são inversos multiplicativos.

2.

Construa um par de chaves para Bob usando os primeiros dos primos maiores que \(2\cdot 10^{12}\text{.}\) Para sua escolha de \(E\text{,}\) use um primo e use o menor possível. Obtenha os valores de \(n\text{,}\) \(E\) e \(D\) para Alice.

Codifique a palavra Math usando valores ASCII da forma descrita nesta seção (mantenha as maiúsculas como é mostrado). Crie uma mensagem assinada desta palavra para uma comunicação de Alice para Bob. Obtenha os três inteiros: a mensagem, a mensagem assinada e a assinatura, e a mensagem encriptada.

3.

Mostre como Bob transformaria a mensagem recibida de Alice de volta a palavra Math. Obtenha tanto os valores intermediário como o resultado final.

4.

Crie uma nova mensagem assinada de Alice para Bob. Simule uma adulteração da mensagem somando \(1\) ao inteiro recebido por Bob, antes que ele o decripte. Que resultado Bob obtém para as letras da mensagem quando decripta e abre a assinatura da mensagem adulterada?

5. Exercício para a Sala de Aula.

Organize a turma em grupos pequenos. Faça que cada grupo construa um par de chaves com algum tamanho mínimo (dígitos em \(n\)). Cada grupo deve guardar sua chave privada em segredo, mas deixar disponível para todo o curso sua chave pública. Poderia ser escrita no quadro ou colocado em um site público como pastebin.com¹. Logo cada grupo pode enviar uma mensagem a outro grupo, donde os grupos poderiam estar organizados logicamente em um círculo para este propósito. Por exemplo, as mensagens devem ser transmitidas publicamente também. Espere uma taxa de êxito entre 50% e 100%.

Se não fizer isso em sala, consiga um companheiro de estudos e troque mensagens da mesma forma.