Seção 6.3 Teoremas de Fermat e Euler
A função \(\phi\) de Euler é a função \(\phi : {\mathbb N } \rightarrow {\mathbb N}\) definida por \(\phi(n) = 1\) para \(n=1\text{,}\) e, para \(n \gt 1\text{,}\) \(\phi(n)\) é o número de inteiros positivos \(m\) com \(1 \leq m \lt n\) e \(\gcd(m,n) = 1\text{.}\)
Da Proposição 3.1.4, sabemos que a ordem de \(U(n)\text{,}\) o grupo de unidades em \({\mathbb Z}_n\text{,}\) é \(\phi(n)\text{.}\) Por exemplo, \(|U(12)| = \phi(12) = 4\) como os números que são relativamente primos com 12 são 1, 5, 7, e 11. Para qualquer primo \(p\text{,}\) \(\phi(p) = p-1\text{.}\) Enunciamos estes resultados no seguinte teorema.
Teorema 6.3.1.
Seja \(U(n)\) o grupo de unidades em \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Então \(|U(n)| = \phi(n)\text{.}\)
O seguinte teorema de Leonhard Euler é um resultado importante em teoria dos números.
Teorema 6.3.2. Teorema de Euler.
Sejam \(a\) e \(n\) inteiros tais que \(n \gt 0\) e \(\gcd(a, n) = 1\text{.}\) Então \(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\text{.}\)
Demonstração.
Pelo Teorema 6.3.1 a ordem de \(U(n)\) é \(\phi(n)\text{.}\) Assim, \(a^{\phi(n)} = 1\) para todo \(a \in U(n)\text{;}\) e \(a^{\phi(n)} - 1\) é divisível por \(n\text{.}\) Portanto, \(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\text{.}\)
Se consideramos o caso especial do Teorema de Euler em que \(n = p\) é primo e lembramos que \(\phi(p) = p - 1\text{,}\) obtemos o seguinte resultado de Pierre de Fermat.
Teorema 6.3.3. Pequeno Teorema de Fermat.
Seja \(p\) um primo qualquer e suponha que \(p \notdivide a\text{.}\) Então
Além disso, para qualquer inteiro \(b\text{,}\) \(b^p \equiv b \pmod{ p}\text{.}\)
Sage.
Sage pode criar todos os subgrupos de um grupo, desde que o grupo não seja muito grande. Também pode criar as classes laterais de um subgrupo.
Subseção 6.3.1 Nota Histórica
Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), nasceu em Turim, Itália, tinha origem franco-italiano. Seu talento na matemática se tornou evidente desde muito jovem. Leonhard Euler reconheceu suas habilidades quando Lagrange, que tinha somente 19 anos, mostrou a Euler um trabalho que havia realizado em cálculo variacional. Nesse ano foi nomeado professor da Escola Real de Artilharia em Turim. Aos 23 chegou a Academia de Berlim. Frederico o Grande havia escrito a Lagrange proclamando que o “melhor rei da Europa” devia ter o “melhor matemático da Europa” em sua corte. Durante 20 anos Lagrange ocupou a posição deixada por seu mentor, Euler. Seus trabalhos incluem contribuições a teoria dos números, teoria dos grupos, física e mecânica, o cálculo variacional, a teoria das equações e as equações diferenciais. Junto com Laplace e Lavoisier, Lagrange foi uma das pessoas responsáveis por criar o sistema métrico. Lagrange teve uma grande influência no desenvolvimento da matemática, deixando muito para as próximas gerações no que se diz respeito a exemplos e novos problemas a resolver.