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Seção 18.1 Cuerpos de Fracciones

Todo cuerpo es un dominio integral; pero existen muchos dominios integrales que no son cuerpos. Por ejemplo, los enteros Z forman un dominio integral pero no un cuerpo. Una pregunta que surge naturalmente es como asociar un dominio integral con un cuerpo. Existe una forma natural de construir los racionales Q a partir de los enteros: los racionales pueden ser representados como cocientes de dos enteros. Los números racionales por cierto forman un cuerpo. De hecho, se puede demostrar que los racionales forman el cuerpo más pequeño que contiene a los enteros. Dado un dominio integral D, nuestra pregunta ahora es cómo construir un menor cuerpo F que contenga a D. Haremos esto de la misma forma en que construimos los racionales a partir de los enteros.

Un elemento p/qQ es el cociente de dos enteros p y q; sin embargo, diferentes pares de enteros pueden representar el mismo número racional. Por ejemplo, 1/2=2/4=3/6. Sabemos que

ab=cd

si y solo si ad=bc. Una manera más formal de considerar este problema es examinando las fracciones en términos de relaciones de equivalencia. Podemos pensar los elementos en Q como pares ordenados en Z×Z. Un cociente p/q puede ser escrito como (p,q). Por ejemplo, (3,7) representaría la fracción 3/7. Pero, surgen problemas si consideramos todos los pares posibles en Z×Z. No existe la fracción 5/0 que corresponda al par (5,0). Además, los pares (3,6) y (2,4) ambos representan la fracción 1/2. El primer problema lo resolvemos de forma sencilla si exigimos que la segunda coordenada sea dstinta de cero. El segundo problema se resuelve considerando dos pares (a,b) y (c,d) como equivalentes si y solo si ad=bc.

Si usamos la idea de pares ordenados en lugar de fracciones, entonces podemos estudiar dominios integrales en general. Sea D un dominio integral cualquiera y sea

S={(a,b):a,bD y b0}.

Definimos una relación en S por (a,b)(c,d) si y solo si ad=bc.

Como D es conmutativo, ab=ba; luego, es refleja en D. Ahora supongamos que (a,b)(c,d). Entonces ad=bc y cb=da. Por lo tanto, (c,d)(a,b) y la relación es simétrica. Finalmente, para mostrar que la relación es transitiva, sean (a,b)(c,d) y (c,d)(e,f). En este caso ad=bc y cf=de. Multiplicando ambos lados de ad=bc por f resulta

afd=adf=bcf=bde=bed.

Como D es un dominio integral, podemos deducir que af=be y (a,b)(e,f).

Denotaremos el conjunto de clases de equivalencia en S por FD. Ahora debemos definir las operaciones de adición y multiplicación en FD. Recuerde cómo se suman y multiplican las fracciones en Q:

ab+cd=ad+bcbd;abcd=acbd.

Parece razonable definir las operaciones de adición y multiplicación en FD de manera similar. Si denotamos la clase de equivalencia de (a,b)S por [a,b], esto nos lleva a definir las operaciones de adición y multiplicación en FD como

[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd]

y

[a,b][c,d]=[ac,bd],

respectivamente. El próximos lema demuestra que estas operaciones son independientes de la elección de representantes para cada clase de equivalencia.

Demostraremos que la operación de adición está bien-definida. La demostración de que la multiplicación está bien-definida la dejaremos como ejercicio. Sean [a1,b1]=[a2,b2] y [c1,d1]=[c2,d2]. Debemos mostrar que

[a1d1+b1c1,b1d1]=[a2d2+b2c2,b2d2]

o, equivalentemente, que

(a1d1+b1c1)(b2d2)=(b1d1)(a2d2+b2c2).

Como [a1,b1]=[a2,b2] and [c1,d1]=[c2,d2], sabemos que a1b2=b1a2 y c1d2=d1c2. Por lo tanto,

(a1d1+b1c1)(b2d2)=a1d1b2d2+b1c1b2d2=a1b2d1d2+b1b2c1d2=b1a2d1d2+b1b2d1c2=(b1d1)(a2d2+b2c2).

Las identidades aditiva y multiplicativa son [0,1] y [1,1], respectivamente. Para mostrar que [0,1] es la identidad aditiva (o neutro aditivo), observemos que

[a,b]+[0,1]=[a1+b0,b1]=[a,b].

Es fácil mostrar que [1,1] es la identidad multiplicativa. Sea [a,b]FD tal que a0. Entonces [b,a] también está en FD y [a,b][b,a]=[1,1]; luego, [b,a] es el inverso multiplicativo para [a,b]. Similarmente, [a,b] es el inverso aditivo de [a,b]. Dejamos como ejercicios la verificación de la asociatividad y la conmutatividad en FD. También dejamos al lector la demostración de que FD es un grupo abeliano con la operación de adición.

Falta demostrar que se cumple la propiedad distributiva en FD; pero,

[a,b][e,f]+[c,d][e,f]=[ae,bf]+[ce,df]=[aedf+bfce,bdf2]=[aed+bce,bdf]=[ade+bce,bdf]=([a,b]+[c,d])[e,f]

y el lema está demostrado.

El cuerpo FD en el Lema 18.1.3 se llama cuerpo de fracciones o cuerpo de cocientes del dominio integral D.

Primero demostraremos que D puede ser incrustado en el cuerpo FD. Definamos una función ϕ:DFD como ϕ(a)=[a,1]. Entonces para a y b en D,

ϕ(a+b)=[a+b,1]=[a,1]+[b,1]=ϕ(a)+ϕ(b)

y

ϕ(ab)=[ab,1]=[a,1][b,1]=ϕ(a)ϕ(b);

es decir, ϕ es un homomorfismo. Para mostrar que ϕ es 1-1, supongamos que ϕ(a)=ϕ(b). Entonces [a,1]=[b,1], y a=a1=1b=b. Finalmente, cualquier elemento de FD puede ser expresado como el cociente de dos elementos en D, pues

ϕ(a)[ϕ(b)]1=[a,1][b,1]1=[a,1][1,b]=[a,b].

Ahora sea E un cuerpo que contenga a D y definamos una función ψ:FDE por ψ([a,b])=ab1. Para mostrar que ψ está bien-definida, sean [a1,b1]=[a2,b2]. Entonces a1b2=b1a2. Por lo tanto, a1b11=a2b21 y ψ([a1,b1])=ψ([a2,b2]).

Si [a,b] y [c,d] están en FD, entonces

ψ([a,b]+[c,d])=ψ([ad+bc,bd])=(ad+bc)(bd)1=ab1+cd1=ψ([a,b])+ψ([c,d])

y

ψ([a,b][c,d])=ψ([ac,bd])=(ac)(bd)1=ab1cd1=ψ([a,b])ψ([c,d]).

Por lo tanto, ψ es un homomorfismo.

Para completar la demostración, debemos mostrar que ψ es 1-1. Supongamos que ψ([a,b])=ab1=0. Entonces a=0b=0 y [a,b]=[0,b]. Por lo tanto, el núcleo de ψ contiene solo el elemento cero [0,b] en FD, y ψ es inyectiva.

Como Q es un cuerpo, Q[x] es un dominio integral. El cuerpo de fracciones de Q[x] es el conjunto de todas las expresiones racionales p(x)/q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios sobre los racionales y q(x) no es el polinomio cero. Denotaremos este cuerpo por Q(x).

Dejaremos como ejercicios las demostraciones de los siguientes corolarios al Teorema 18.1.4.