Como es conmutativo, luego, es refleja en Ahora supongamos que Entonces y Por lo tanto, y la relación es simétrica. Finalmente, para mostrar que la relación es transitiva, sean y En este caso y Multiplicando ambos lados de por resulta
Como es un dominio integral, podemos deducir que y
Demostraremos que la operación de adición está bien-definida. La demostración de que la multiplicación está bien-definida la dejaremos como ejercicio. Sean y Debemos mostrar que
o, equivalentemente, que
Como and sabemos que y Por lo tanto,
Las identidades aditiva y multiplicativa son y respectivamente. Para mostrar que es la identidad aditiva (o neutro aditivo), observemos que
Es fácil mostrar que es la identidad multiplicativa. Sea tal que Entonces también está en y luego, es el inverso multiplicativo para Similarmente, es el inverso aditivo de Dejamos como ejercicios la verificación de la asociatividad y la conmutatividad en También dejamos al lector la demostración de que es un grupo abeliano con la operación de adición.
Falta demostrar que se cumple la propiedad distributiva en pero,
y el lema está demostrado.
Primero demostraremos que puede ser incrustado en el cuerpo Definamos una función como Entonces para y en
y
es decir, es un homomorfismo. Para mostrar que es 1-1, supongamos que Entonces y Finalmente, cualquier elemento de puede ser expresado como el cociente de dos elementos en pues
Ahora sea un cuerpo que contenga a y definamos una función por Para mostrar que está bien-definida, sean Entonces Por lo tanto, y
Si y están en entonces
y
Por lo tanto, es un homomorfismo.
Para completar la demostración, debemos mostrar que es 1-1. Supongamos que Entonces y Por lo tanto, el núcleo de contiene solo el elemento cero en y es inyectiva.
Como es un cuerpo, es un dominio integral. El cuerpo de fracciones de es el conjunto de todas las expresiones racionales donde y son polinomios sobre los racionales y no es el polinomio cero. Denotaremos este cuerpo por