Seção 3.1 Classes de Equivalência dos Inteiros e Simetrias
Vamos agora investigar certas estruturas matemáticas que podem ser vistas como conjuntos com uma única operação.
Subseção 3.1.1 Os Inteiros Módulo \(n\)
Os inteiros do modulo \(n\) tornaram-se indispensáveis na teoria e aplicações da álgebra. Em matemática são utilizados em criptografia, teoria de códigos e detecção de erros em códigos de identificação.
Já vimos que dois inteiros \(a\) e \(b\) são equivalentes mod \(n\) se \(n\) divide a \(a - b\text{.}\) Os inteiros mod \(n\) também particionam \({\mathbb Z}\) em \(n\) distintas classes de equivalência; denotaremos o conjunto dessas classes de equivalência por \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Considere os inteiros módulo 12 e a partição correspondente dos inteiros:
Quando não houver possibilidade de confusão, usaremos \(0, 1, \ldots, 11\) para indicar as classes de equivalência \({[0]}, {[1]}, {[11]}\) respectivamente. Podemos fazer aritmética em \({mathbb Z}_n\text{.}\) Para dois inteiros \(a\) e \(b\text{,}\) definimos a adição módulo \(n\) como \((a + b) \pmod{n}\text{;}\) ou seja, o resto da divisão de \(a + b\) por \(n\text{.}\) Do mesmo modo, a multiplicação módulo \(n\) é definido como \((a b) \pmod{ n}\text{,}\) o resto da divisão de \(a b\) por \(n\text{.}\)
Exemplo 3.1.1.
Os exemplos seguintes ilustram a aritmética dos inteiros módulo \(n\text{:}\)
Em particular, notemos que é possível que o produto de dois números não equivalentes a \(0 \) modulo \(n\) seja equivalente a \(0 \) modulo \(n\text{.}\)
Exemplo 3.1.2.
A maioria, mas não todas, das regras usuais da aritmética se cumprem para a adição e a multiplicação em \({mathbb Z}_n\text{.}\) Por exemplo, não é necessariamente verdade que exista um inverso multiplicativo. Considerar a tabela de multiplicação para \({\mathbb Z}_8\) na Tabela 3.1.3>. Note-se que 2, 4, e 6 não têm inversos multiplicativos; isto é, para \(n = 2\text{,}\) 4, ou 6, não há um inteiro \(k\) tal que \(k n \equiv 1 \pmod{ 8}\text{.}\)
Proposição 3.1.4.
Seja \({\mathbb Z}_n\) o conjunto de classes de equivalência de inteiros do módulo \(n\) e sejam \(a, b, c \in {\mathbb Z}_n\text{.}\)
-
A adição e multiplicação são comutativas:
\begin{align*} a + b & \equiv b + a \pmod{ n}\\ a b & \equiv b a \pmod{ n}. \end{align*} -
A adição e multiplicação são associativas:
\begin{align*} (a + b) + c & \equiv a + (b + c)\pmod{ n}\\ (a b) c & \equiv a (b c) \pmod{ n}. \end{align*} -
Há neutros para ambas as operações:
\begin{align*} a + 0 & \equiv a \pmod{ n}\\ a \cdot 1 & \equiv a \pmod{ n}. \end{align*} -
A multiplicação distribui-se por adição:
\begin{equation*} a (b + c) \equiv a b + a c \pmod{ n}. \end{equation*} -
Para cada número inteiro \(a\) há um inverso aditivo \(-a\text{:}\)
\begin{equation*} a + (-a) \equiv 0 \pmod{ n}. \end{equation*} -
Seja \(a\) um inteiro não-nulo. Então \(\gcd(a,n) = 1\) se e só se houver um inverso multiplicativo \(b\) para \(a \pmod{n}\text{;}\) isto é, um inteiro não-nulo \(b\) tal que
\begin{equation*} a b \equiv 1 \pmod{ n}. \end{equation*}
Demonstração.
Demostraremos (1) e (6) e deixaremos as demais propriedades para serem demonstradas nos exercícios.
(1) Adição e multiplicação são comutativas módulo \(n\) porque o resto obtivo ao dividir \(a + b\) por \(n\) é o mesmo que o resto obtido por dividir \(b + a\) por \(n\text{.}\)
(6) Suponhamos que \(\gcd(a, n) = 1\text{.}\) Então existem inteiros \(r\) e \(s\) tais que \(ar + ns = 1\text{.}\) Como \(ns = 1 - ar\text{,}\) se cumpre que \(ar \equiv 1 \pmod{n}\text{.}\) Se \(b\) é a classe de equivalência de \(r\text{,}\) \(a b \equiv 1\pmod{n}\text{.}\)
Reciprocamente, suponhamos que há um inteiro \(b\) tal que \(ab \equiv 1 \pmod{ n}\text{.}\) Então \(n\) divide \(ab -1\text{,}\) de maneira que há um inteiro \(k\) tal que \(ab - nk = 1\text{.}\) Seja \(d = \gcd(a,n)\text{.}\) Como \(d\) divide \(ab - nk\text{,}\) \(d\) também divide 1; logo, \(d = 1\text{.}\)
Subseção 3.1.2 Simetrias
Uma simetria de uma figura geométrica é um reposicionamento da figura que preserva as relações entre seus lados e vértices tal como as distâncias e os ângulos. Uma função do plano em si mesmo que preserva a simetria de um objeto se chama movimento rígido. Por exemplo, se olhamos para o retângulo da Figura 3.1.5, é fácil ver que uma rotação de \(180^{\circ}\) ou \(360^{\circ}\) nos dá um retángulo no plano com a mesma orientação do retângulo original e a mesma relação entre seus vértices. Uma reflexão do retângulo pelo seu eixo vertical ou seu eixo horizontal também pode ser reconhecida como simetria deste. Não obstante, uma rotação por \(90^{\circ}\) em qualquer direção não pode ser uma simetria do retângulo a menos que seja um quadrado.
Encontremos las simetrías de un triángulo equilátero \(\bigtriangleup ABC\text{.}\) Para encontrar las simetrías de \(\bigtriangleup ABC\text{,}\) debemos primero examinar las permutaciones de los vértices \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) y \(C\) para luego preguntarnos si una permutación se extiende a una simetría del triángulo. Recuerde que una permutación de un conjunto \(S\) es una función biyectiva \(\pi :S \rightarrow S\text{.}\) Los tres vértices tienen \(3! = 6\) permutaciones, de manera que el triángulo tiene a lo más seis simetrías. Para ver que hay seis permutaciones, observe que hay tres diferentes elecciones para el primer vértice, y dos para el segundo, y que el vértice restante está determinado por la posición de los primeros dos. Así tenemos \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6\) arreglos diferentes. Para describir una permutación de los vértices de un triángulo equilátero que envía \(A\) en \(B\text{,}\) \(B\) en \(C\text{,}\) y \(C\) en \(A\text{,}\) escribiremos el arreglo
Note que esta permutación en particular corresponde al movimiento rígido de rotar el triángulo en \(120^{\circ}\) en dirección horaria. De hecho, cada permutación produce una simetría del triángulo. Todas estas simetría se muestran en la Figura 3.1.6.
Es natural preguntarse qué pasa si un movimiento del triángulo \(\bigtriangleup ABC\) es seguido por otro. ¿Qué simetría es \(\mu_1 \rho_1\text{;}\) es decir, si realizamos la permutación \(\rho_1\) y luego la permutación \(\mu_1\text{?}\) Recuerde que acá estamos componiendo funciones. A pesar de que usualmente multiplicamos de izquierda a derecha, componemos funciones de derecha a izquierda. Tenemos
Esta es la misma simetría que \(\mu_2\text{.}\) Supongamos que hacemos estas mismas operaciones en el orden opuesto, \(\rho_1 \mu_1\text{.}\) Es fácil determinar que esto es lo mismo que la simetría \(\mu_3\text{;}\) luego, \(\rho_1 \mu_1 \neq \mu_1 \rho_1\text{.}\) Una tabla de multiplicación de simetrías de un triángulo equilátero \(\bigtriangleup ABC\) se encuentra en el Cuadro 3.1.7.
Note que en la tabla de multiplicación para las simetrías de un triángulo equilátero, para cada movimiento \(\alpha\) del triángulo, hay otro movimiento \(\beta\) tal que \(\alpha \beta = \identity\text{;}\) es decir, para cada movimiento hay otro movimiento que devuelve al triángulo a su orientación original.