Exercícios 21.4 Exercícios
1.
Mostre que cada um dos seguintes números é algébrico sobre \({\mathbb Q}\) encontrando seu polinômio minimal sobre \({\mathbb Q}\text{.}\)
\(\displaystyle \sqrt{ 1/3 + \sqrt{7} }\)
\(\displaystyle \sqrt{ 3} + \sqrt[3]{5}\)
\(\displaystyle \sqrt{3} + \sqrt{2}\, i\)
\(\cos \theta + i \sin \theta\) para \(\theta = 2 \pi /n\) com \(n \in {\mathbb N}\)
\(\displaystyle \sqrt{ \sqrt[3]{2} - i }\)
(a) \(x^4 - (2/3) x^2 - 62/9\text{;}\) (c) \(x^4 - 2 x^2 + 25\text{.}\)
2.
Encontre uma base para cada uma das seguintes extensões de corpos. Qual é o grau desta extensão?
\({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{6}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\)
\({\mathbb Q}( \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\)
\({\mathbb Q}( \sqrt{2}, i)\) sobre \({\mathbb Q}\)
\({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\)
\({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \root 3 \of{2}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\)
\({\mathbb Q}( \sqrt{8}\, )\) sobre \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\)
\({\mathbb Q}(i, \sqrt{2} +i, \sqrt{3} + i )\) sobre \({\mathbb Q}\)
\({\mathbb Q}( \sqrt{2} + \sqrt{5}\, )\) sobre \({\mathbb Q} ( \sqrt{5}\, )\)
\({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \sqrt{6} + \sqrt{10}\, )\) sobre \({\mathbb Q} ( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, )\)
(a) \(\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\, \}\text{;}\) (c) \(\{ 1, i, \sqrt{2}, \sqrt{2}\, i \}\text{;}\) (e) \(\{1, 2^{1/6}, 2^{1/3}, 2^{1/2}, 2^{2/3}, 2^{5/6} \}\text{.}\)
3.
Encontre o corpo de decomposição de cada um dos seguintes polinômios.
\(x^4 - 10 x^2 + 21\) sobre \({\mathbb Q}\)
\(x^4 + 1\) sobre \({\mathbb Q}\)
\(x^3 + 2x + 2\) sobre \({\mathbb Z}_3\)
\(x^3 - 3\) sobre \({\mathbb Q}\)
(a) \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\text{.}\)
4.
Considere o corpo de extensão \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) sobre \(\mathbb Q\text{.}\)
Encontre uma base para o corpo de extensão \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) sobre \(\mathbb Q\text{.}\) Concluya que \([{\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i ): \mathbb Q] = 8\text{.}\)
Encontre todos os subcorpos \(F\) de \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) tal que \([F:\mathbb Q] = 2\text{.}\)
Encontre todos os subcorpos \(F\) de \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) tal que \([F:\mathbb Q] = 4\text{.}\)
5.
Demonstre que \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle\) é um corpo com 8 elementos. Construa uma tabela de multiplicação para o grupo multiplicativo do corpo.
Use o fato de que os elementos de \({\mathbb Z}_2[x]/ \langle x^3 + x + 1 \rangle\) são 0, 1, \(\alpha\text{,}\) \(1 + \alpha\text{,}\) \(\alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha^2\text{,}\) \(\alpha + \alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha + \alpha^2\) e o fato de que \(\alpha^3 + \alpha + 1 = 0\text{.}\)
6.
Demonstre que o polígono regular de 9 lados não é construtível com régua e compasso, mas o de 20 lados é construtível.
7.
Demonstre que o cosseno de um grau (\(\cos 1^\circ\)) é algébrico sobre \({\mathbb Q}\) mas não é construtível.
8.
Podemos construir um cubo com três vezes o volume de um cubo dado?
Falso.
9.
Demuestre que \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt[4]{3}, \sqrt[8]{3}, \ldots )\) es una extensión algebraica de \({\mathbb Q}\) pero no es una extensión finita.
10.
Demonstre ou dê um contraexemplo: \(\pi\) é algébrico sobre \({\mathbb Q}(\pi^3)\text{.}\)
11.
Seja \(p(x)\) um polinômio não constante de grau \(n\) en \(F[x]\text{.}\) Demonstre que existe um corpo de decomposição \(E\) para \(p(x)\) tal que \([E : F] \leq n!\text{.}\)
12.
Demonstre ou dê um contraexemplo: \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) \cong {\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}\)
13.
Demonstre que os corpos \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, )\) e \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, i)\) são isomorfos mas não são iguais.
14.
Seja \(K\) uma extensão algébrica de \(E\) e \(E\) uma extensão algébrica de \(F\text{.}\) Demonstre que \(K\) é algébrico sobre \(F\text{.}\) [Cuidado: Não suponha que as extensões são finitas.]
Suponha que \(E\) é algébrico sobre \(F\) e \(K\) é algébrico sobre \(E\text{.}\) Seja \(\alpha \in K\text{.}\) Basta demonstrar que \(\alpha\) é algébrico sobre alguma extensão finita de \(F\text{.}\) Como \(\alpha\) é algébrico sobre \(E\text{,}\) deve ser zero de algum polinômio \(p(x) = \beta_0 + \beta_1 x + \cdots + \beta_n x^n\) em \(E[x]\text{.}\) Portanto \(\alpha\) é algébrico sobre \(F(\beta_0, \ldots, \beta_n)\text{.}\)
15.
Demonstre ou dê um contraexemplo: \({\mathbb Z}[x] / \langle x^3 -2 \rangle\) é um corpo.
16.
Seja \(F\) um corpo de característica \(p\text{.}\) Demonstre que \(p(x) = x^p - a\) É irredutível ou se decompõe completamente em \(F\text{.}\)
17.
Seja \(E\) o fechamento algébrica de um corpo \(F\text{.}\) Demonstre que todo polinômio \(p(x)\) em \(F[x]\) se decompõe completamente em \(E\text{.}\)
18.
Se todo polinômio irredutível \(p(x)\) em \(F[x]\) é linear, demonstre que \(F\) é um corpo algebricamente fechado.
19.
Demuestre que si \(\alpha\) y \(\beta\) son números constructibles tales que \(\beta \neq 0\text{,}\) entonces también lo es \(\alpha / \beta\text{.}\)
20.
Demonstre que o conjunto de todos os elementos em \({\mathbb R}\) que são algébricos sobre \({\mathbb Q}\) formam uma extensão de corpos de \({\mathbb Q}\) que não é finita.
21.
Seja \(E\) uma extensão algébrica de um corpo \(F\) e seja \(\sigma\) um automorfismo de \(E\) que fixe \(F\text{.}\) Seja \(\alpha \in E\text{.}\) Demonstre que \(\sigma\) induz uma permutação do conjunto de zeros do polinômio minimal de \(\alpha\) que estão em \(E\text{.}\)
22.
Mostre que \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, )\text{.}\) Estenda sua demonstração para demonstrar que \({\mathbb Q}( \sqrt{a}, \sqrt{b}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{a} + \sqrt{b}\, )\text{,}\) donde \(\gcd(a, b) = 1\text{.}\)
Como \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{7}, \sqrt{21}\, \}\) é uma base para \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\text{,}\) \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) \supset {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\) Como \([{\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 4\text{,}\) \([{\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 2\) ou 4. Como o grau do polinômio minimal de \(\sqrt{3} +\sqrt{7}\) é 4, \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\)
23.
Seja \(E\) uma extensão finita de um corpo \(F\text{.}\) Si \([E:F] = 2\text{,}\) demonstre que \(E\) é um corpo de decomposição sobre \(F\) para algum polinômio \(f(x) \in F[x]\text{.}\)
24.
Demonstre ou dê um contraexemplo: Dado um polinômio \(p(x)\) em \({\mathbb Z}_6[x]\text{,}\) é possível construir um anel \(R\) tal que \(p(x)\) tem uma raiz en \(R\text{.}\)
25.
Seja \(E\) uma extensão de \(F\) e \(\alpha \in E\text{.}\) Determine \([F(\alpha): F(\alpha^3)]\text{.}\)
26.
Sejam \(\alpha, \beta\) trascendente sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) Prove que ao menos um \(\alpha \beta\) , \(\alpha + \beta\) é trascendental.
27.
Seja \(E\) uma extensão de corpos de \(F\) e seja \(\alpha \in E\) trascendente sobre \(F\text{.}\) Demonstre que cada elemento em \(F(\alpha)\) que não está em \(F\) também é trascendente sobre \(F\text{.}\)
Seja \(\beta \in F(\alpha)\text{,}\) mas não em \(F\text{.}\) Então \(\beta = p(\alpha)/q(\alpha)\text{,}\) donde \(p\) e \(q\) são polinômios em \(\alpha\) com \(q(\alpha) \neq 0\) e coeficientes em \(F\text{.}\) Se \(\beta\) é algébrico sobre \(F\text{,}\) então existe um polinômio \(f(x) \in F[x]\) tal que \(f(\beta) = 0\text{.}\) Seja \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\text{.}\) Então
Agora multiplique ambos os lados por \(q(\alpha)^n\) para demonstrar que existe um polinômio em \(F[x]\) que se anula em \(\alpha\text{.}\)
28.
Seja \(\alpha\) uma raiz de um polinômio irredutível \(p(x) \in F[x]\text{,}\) com \(\deg p = n\text{.}\) Demonstre que \([F(\alpha) : F] = n\text{.}\)