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Seção 19.3 El Álgebra de los Circuitos Eléctricos

La utilidad de las álgebras Booleanas se ha vuelto cada vez más clara en las últimas décadas con el desarrollo del computador moderno. El diseño de circuitos integrados se puede expresar en términos de álgebras Booleanas. En esta sección desarrollaremos el álgebra Booleana de los circuitos eléctricos y de los conmutadores; pero, estos resultados se generalizan fácilmente al diseños de circuitos integrados para computadores.

Un conmutador es un artefacto, ubicado en algún punto de un circuito eléctrico, que controla el flujo de la corriente a través del circuito. Cada conmutador tiene dos estados posibles: puede estar abierto, y no permitir el paso de la corriente a través del circuito, o puede estar cerrado, y permitir el paso de corriente. Estos estados son mutuamente excluyentes. Requerimos que todo conmutador esté en un estado o en el otro—un conmutador no puede estar abierto y cerrado simultáneamente. Además, si un conmutador está siempre en el mismo estado que otro, los denotaremos a ambos por la misma letra; es decir, dos circuitos que etiquetados con la misma letra \(a\) estarán abiertos a la vez y cerrados a la vez.

Dados dos conmutadores, podemos construir dos tipos fundamentales de circuitos. Dos conmutadores \(a\) y \(b\) están en serie si forman un circuito del tipo ilustrado en la Figura 19.3.1. La corriente puede pasar entre los terminales \(A\) y \(B\) de un circuito en serie si y solo si ambos conmutadores \(a\) y \(b\) están cerrados. Denotaremos esta combinación de conmutadores por \(a \wedge b\text{.}\) Dos conmutadores \(a\) y \(b\) están en paralelo si forman un circuito del tipo que aparece en la Figura 19.3.2. En el caso de un circuito paralelo, la corriente puede pasar entre \(A\) y \(B\) si alguno de los dos conmutadores está cerrado. Denotaremos una combinación paralela de circuitos \(a\) y \(b\) por \(a \vee b\text{.}\)

\begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw (0.3,0) -- (1.7,0); \draw (2.3,0) -- (3.7,0); \draw (4.3,0) -- (5.7,0); \node at (0,0) {$A$}; \node at (2,0) {$a$}; \node at (4,0) {$b$}; \node at (6,0) {$B$}; \end{tikzpicture}
Figura 19.3.1. \(a \wedge b\)
\begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw (0.3,0) -- (1.7,0) -- (1.7,1) -- (2.7,1); \draw (1.7,0) -- (1.7,-1) -- (2.7,-1); \draw (3.3,1) -- (4.3,1) -- (4.3,0); \draw (3.3,-1) -- (4.3,-1) -- (4.3,0); \draw (4.3,0) -- (5.7,0); \node at (0,0) {$A$}; \node at (3,1) {$a$}; \node at (3,-1) {$b$}; \node at (6,0) {$B$}; \end{tikzpicture}
Figura 19.3.2. \(a \vee b\)

Podemos construir circuitos eléctrico más complicados a partir de circuitos en serie o en paralelo reemplazando cualquiera de los conmutadores por uno de estos tipos fundamentales de circuitos. Los circuitos construido de esta manera se llaman circuitos paralelo-seriales.

Consideramos que dos circuitos son equivalentes si actúan igual. Es decir, si ponemos los conmutadores en circuitos equivalentes en exactamente los mismos estados, entonces obtendremos el mismo resultado. Por ejemplo, un circuito serial \(a \wedge b\) es exactamente el mismo que \(b \wedge a\text{.}\) Notemos que esta es exactamente la ley conmutativa para álgebras Booleanas. De hecho, el conjunto de todos los circuitos paralelo-seriales forma un álgebra Booleana bajo las operaciones \(\vee\) y \(\wedge\text{.}\) Podemos usar diagramas para verificar los distintos axiomas de un álgebra Booleana. La ley distributiva, \(a \wedge ( b \vee c ) = (a \wedge b ) \vee ( a \wedge c )\text{,}\) está ilustrada en la Figura 19.3.3. Si \(a\) es un conmutador, entonces \(a'\) es el conmutador que siempre está abierto cuando \(a\) está cerrado y siempre está cerrado cuando \(a\) está abierto. Un circuito que siempre está cerrado es \(I\) en nuestra álgebra; un circuito que siempre está abierto es \(O\text{.}\) Las leyes de \(a \wedge a' = O\) y \(a \vee a' = I\) se muestran en la Figura 19.3.4.

\begin{tikzpicture}[scale=0.8,node distance=5mm, text height=1.5ex,text depth=.25ex] \draw (0,0) -- (0.65,0) (1.15,0) -- (1.7,0) -- (1.7,1) -- (2.7,1); \draw (1.7,0) -- (1.7,-1) -- (2.7,-1); \draw (3.3,1) -- (4.3,1) -- (4.3,0); \draw (3.3,-1) -- (4.3,-1) -- (4.3,0); \draw (4.3,0) -- (5,0); \node at (0.9,0) {$a$}; \node at (3,1) {$b$}; \node at (3,-1) {$c$}; \draw (6.3,0) -- (7,0); \draw (7,0) -- (7,1) -- (7.7,1) (8.3,1) -- (8.7,1) (9.3,1) -- (10,1) -- (10,0) -- (10.7,0); \draw (7,0) -- (7,-1) -- (7.7,-1) (8.3,-1) -- (8.7,-1) (9.3,-1) -- (10,-1) -- (10,0); \node at (8,1) {$a$}; \node at (9,1) {$b$}; \node at (8,-1) {$a$}; \node at (9,-1) {$c$}; \end{tikzpicture}
Figura 19.3.3. \(a \wedge ( b \vee c ) = (a \wedge b ) \vee ( a \wedge c )\)
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,node distance=5mm, text height=1.5ex,text depth=.25ex] \node at (1,0) {$a$}; \node at (2.5,0) {$a'$}; \draw (0,0) -- (0.7,0) (1.3,0) -- (2.2,0) (2.8,0) --(3.5,0); \draw (5,0) -- (5.7,0); \draw (5.7,0) -- (5.7,1) -- (6.4,1) (7,1) -- (7.7,1) -- (7.7, 0); \draw (5.7,0) -- (5.7,-1) -- (6.4,-1) (7,-1) -- (7.7,-1) -- (7.7, 0); \draw (7.7, 0) -- (8.1, 0); \node at (6.7,1) {$a$}; \node at (6.7,-1) {$a'$}; \end{tikzpicture}
Figura 19.3.4. \(a \wedge a' = O\) y \(a \vee a' = I\)

Toda expresión Booleana representa un circuito de conmutadores. Por ejemplo, dada la expresión \((a \vee b) \wedge (a \vee b') \wedge (a \vee b)\text{,}\) podemos construir el circuito en la Figura 19.3.8.

Dejamos como ejercicio la demostración de este teorema para los axiomas de álgebra Booleana aún no verificados. Podemos ahora aplicar las técnicas de álgebras Booleanas a la teoría de conmutadores.

Dado un circuito complejo, podemos aplicar las técnicas de álgebra Booleana para reducirlo a un más simple. Consideremos el circuito en la Figura 19.3.8. Como

\begin{align*} (a \vee b) \wedge (a \vee b') \wedge (a \vee b) & = (a \vee b) \wedge (a \vee b) \wedge (a \vee b')\\ & = (a \vee b) \wedge (a \vee b')\\ & = a \vee ( b \wedge b')\\ & = a \vee O\\ & = a, \end{align*}

podemos reemplazar el circuito más complicado por un circuito que contenga solo el conmutador \(a\) y lograr la misma función.

\begin{tikzpicture}[scale=0.8,node distance=5mm, text height=1.5ex,text depth=.25ex] \draw (0,0) -- (1,0) (3,0) -- (4,0) (6,0) -- (7,0) (9,0) -- (10,0); \draw (1,0) -- (1,1) -- (1.7,1) (2.3,1)-- (3,1) -- (3,0); \draw (1,0) -- (1,-1) -- (1.7,-1) (2.3,-1)-- (3,-1) -- (3,0); \draw (4,0) -- (4,1) -- (4.7,1) (5.3,1)-- (6,1) -- (6,0); \draw (4,0) -- (4,-1) -- (4.7,-1) (5.3,-1)-- (6,-1) -- (6,0); \draw (7,0) -- (7,1) -- (7.7,1) (8.3,1)-- (9,1) -- (9,0); \draw (7,0) -- (7,-1) -- (7.7,-1) (8.3,-1)-- (9,-1) -- (9,0); \node at (2,1) {$a$}; \node at (2,-1) {$b$}; \node at (5,1) {$a$}; \node at (5,-1) {$b'$}; \node at (8,1) {$a$}; \node at (8,-1) {$b$}; \end{tikzpicture}
Figura 19.3.8. \((a \vee b) \wedge (a \vee b') \wedge (a \vee b)\)

Sage.

Sage tiene una buena implementación de funciones para trabajar con conjuntos parcialmente ordenados y con reticulados, todo como parte de una gran batería de funciones de combinatoria. No hay mucho en este capítulo que no pueda ser investigado usando Sage.

Subseção 19.3.1 Nota Histórica

George Boole (1815–1864) fue la primera persona en estudiar reticulados. En 1847, publicó The Investigation of the Laws of Thought, un libro en el que usó reticulados para formalizar la lógica y el cálculo de proposiciones. Boole pensaba que las matemáticas eran el estudio de forma más que de contenido; es decir, no estaba tan preocupado en qué estaba calculando sino en cómo lo estaba calculando. El trabajo de Boole fue contiuado por su amigo Augustus De Morgan (1806–1871). De Morgan observó que el Principio de Dualidad se cumplía en la Teoría de Conjuntos, como se ilustra por las leyes de De Morgan. Pensaba, como Boole, que las matemáticas eran el estudio de símbolos y operaciones abstractas.

La teoría de conjuntos y la lógica fueron avanzados postriormente por matemáticos tales como Alfred North Whitehead (1861–1947), Bertrand Russell (1872–1970), y David Hilbert (1862–1943). En Principia Mathematica, Whitehead y Russell intentaron mostrar la conexión entre matemáticas y lógica mediante la deducción del sistema de números naturales a partir de las reglas de la lógica formal. Si los números naturales podían ser determinados a partir de la lógica misma, entonces también podría serlo buena parte del resto de las matemáticas. Sus planes sufrieron un golpe mortal por parte de Kurt Gödel (1906–1978), quien demostró que siempre existirán problemas “indecidibles” en cualquier sistema axiomático lo suficientemente rico; es decir, en cualquier sistema matemático de alguna importancia, siempre habrá enunciados que no puedan ser demostrados ni refutados.

Como ocurre con frecuencia, esta investigación básica en matemáticas puras posteriormente se volvió indispensable en una amplia gama de aplicaciones. El álgebra Booleana y la lógica se volvieron esenciales en el diseño de circuitos integrados a gra escala que se encuentran en los chips de computadores hoy. Los sociólogos han usado reticulados y álgebras Booleanas para modelar jerarquías sociales; los biólogos las han usado para dscribir sistemas biológicos.