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Capítulo 21 Corpos

É natural se perguntar se certo corpo \(F\) está contido em um corpo maior. Pensemos nos números racionais, que estão contidos dentro dos números reais, que por sua vez estão contidos dentro dos números complexos. Também podemos estudar os corpos que se encontram entre \({\mathbb Q}\) e \({\mathbb R}\) e nos perguntamos sobre a natureza destes corpos.

Mais especificamente, se nos dão um corpo \(F\) e um polinômio \(p(x) \in F[x]\text{,}\) podemos perguntar se é possível, ou não, encontrar um corpo \(E\) que contenha \(F\) tal que \(p(x)\) é fatorado em fatores lineares sobre \(E[x]\text{.}\) Por exemplo, se consideramos o polinômio

\begin{equation*} p(x) = x^4 -5 x^2 + 6 \end{equation*}

em \({\mathbb Q}[x]\text{,}\) então \(p(x)\) é fatorado como \((x^2 - 2)(x^2 - 3)\text{.}\) No entanto, ambos fatores são irredutíveis em \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Se queremos encontrar um zero de \(p(x)\text{,}\) devemos ir a um corpo maior. Certamente serve o corpo dos números reais, pois

\begin{equation*} p(x) = (x - \sqrt{2} ) (x + \sqrt{2} )( x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}). \end{equation*}

É possível encontrar um corpo menor tal que \(p(x)\) tenha um zero, por exemplo

\begin{equation*} {\mathbb Q }( \sqrt{2} ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}. \end{equation*}

Queremos ser capazes de calcular e estudar tais corpos para polinômios arbitrários sobre um corpo \(F\text{.}\)