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Seção 17.2 O Algoritmo de Divisão

Recorde que o algoritmo de divisão para inteiros (Teorema 2.2.1) diz que se \(a\) e \(b\) são inteiros com \(b \gt 0\text{,}\) então existem únicos inteiros \(q\) e \(r\) tais que \(a = bq+r\text{,}\) com \(0 \leq r \lt b\text{.}\) Um teorema similar existe para polinômios. O algoritmo de divisão para polinômios tem várias consequências importantes. Como sua demonstração é muito similar a demonstração correspondente para os inteiros, fica conveniente revisar o Teorema 2.2.1 antes de continuar.

Primeiro demonstraremos a existência de \(q(x)\) e \(r(x)\text{.}\) Se \(f(x)\) é o polinômio zero, então

\begin{equation*} 0 = 0 \cdot g(x) + 0; \end{equation*}

logo, tanto \(q\) como \(r\) também são o polinômio zero. Agora suponha que \(f(x)\) não é polinômio zero é o polinômio zero e que \(\deg f(x) = n\) e \(\deg g(x) = m\text{.}\) Se \(m \gt n\text{,}\) então \(q(x) = 0\) e \(r(x) = f(x)\text{.}\) Podemos agora supor que \(m \leq n\) e continuar por indução em \(n\text{.}\) Se

\begin{align*} f(x) & = a_n x^n + a_{n-1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0\\ g(x) & = b_m x^m + b_{m-1} x^{m - 1} + \cdots + b_1 x + b_0 \end{align*}

então o polinômio

\begin{equation*} f'(x) = f(x) - \frac{a_n}{b_m} x^{n - m} g(x) \end{equation*}

tem grau menor que \(n\) ou é o polinômio zero. Pela hipótese de indução, existem polinômios \(q'(x)\) e \(r(x)\) tais que

\begin{equation*} f'(x) = q'(x) g(x) + r(x), \end{equation*}

donde \(r(x) = 0\) ou o grau de \(r(x)\) é o menor grau de \(g(x)\text{.}\) Agora, seja

\begin{equation*} q(x) = q'(x) + \frac{a_n}{b_m} x^{n - m}. \end{equation*}

Então

\begin{equation*} f(x) = g(x) q(x) + r(x), \end{equation*}

com \(r(x)\) o polinômio zero ou \(\deg r(x) \lt \deg g(x)\text{.}\)

Para mostrar que \(q(x)\) e \(r(x)\) são únicos, suponha que além disso existem \(q_1(x)\) e \(r_1(x)\) tais que \(f(x) = g(x) q_1(x) + r_1(x)\) com \(\deg r_1(x) \lt \deg g(x)\) ou \(r_1(x) = 0\text{,}\) de maneira que

\begin{equation*} f(x) = g(x) q(x) + r(x) = g(x) q_1(x) + r_1(x), \end{equation*}

e

\begin{equation*} g(x) [q(x) - q_1(x) ] = r_1(x) - r(x). \end{equation*}

Se \(g(x)\) não é o polinômio zero, então

\begin{equation*} \deg( g(x) [q(x) - q_1(x) ] )= \deg( r_1(x) - r(x) ) \geq \deg g(x). \end{equation*}

Mas, os graus tanto de \(r(x)\) como de \(r_1(x)\) são estritamente menores que o grau de \(g(x)\text{;}\) portanto, \(r(x) = r_1(x)\) e \(q(x) = q_1(x)\text{.}\)

O algoritmo de divisão meramente formaliza a divisão extensa de polinômios, uma tarefa com a que provavelmente estamos familiarizados desde o colégio. Por exemplo, suponha que queiramos dividir \(x^3 - x^2 + 2 x - 3\) por \(x - 2\text{.}\)

\(x^2\) \(+\) \(x\) \(+\) \(4\)
\(x\) \(-\) \(2\) \(x^3\) \(-\) \(x^2\) \(+\) \(2x\) \(-\) \(3\)
\(x^3\) \(-\) \(2x^2\)
\(x^2\) \(+\) \(2x\) \(-\) \(3\)
\(x^2\) \(-\) \(2x\)
\(4x\) \(-\) \(3\)
\(4x\) \(-\) \(8\)
\(5\)

Logo, \(x^3 - x^2 + 2 x - 3 = (x - 2) (x^2 + x + 4 ) + 5\text{.}\)

Seja \(p(x)\) um polinômio em \(F[x]\) e \(\alpha \in F\text{.}\) Dizemos que \(\alpha\) é um zero ou raiz de \(p(x)\) se \(p(x)\) está no núcleo do homomorfismo de avaliação \(\phi_{\alpha}\text{.}\)Só estamos dizendo que \(\alpha\) é um zero de \(p(x)\) se \(p(\alpha) = 0\text{.}\)

Suponha que \(\alpha \in F\) e \(p( \alpha ) = 0\text{.}\) Pelo algoritmo de divisão, existem polinômios \(q(x)\) e \(r(x)\) tais que

\begin{equation*} p(x) = (x -\alpha) q(x) + r(x) \end{equation*}

e o grau de \(r(x)\) é menor que o grau de \(x -\alpha\text{.}\) Como o grau de \(r(x)\) é menor que 1, \(r(x) = a\) para algum \(a \in F\text{;}\) portanto,

\begin{equation*} p(x) = (x -\alpha) q(x) + a. \end{equation*}

Mas

\begin{equation*} 0 = p(\alpha) = 0 \cdot q(\alpha) + a = a; \end{equation*}

consequentemente, \(p(x) = (x - \alpha) q(x)\text{,}\) e \(x - \alpha\) é um fato de \(p(x)\text{.}\)

Reciprocamente, suponha que \(x - \alpha\) é um fato de \(p(x)\text{;}\) digamos \(p(x) = (x - \alpha) q(x)\text{.}\) Então \(p( \alpha ) = 0 \cdot q(\alpha) = 0\text{.}\)

Procederemos por indução sobre o grau de \(p(x)\text{.}\) Se \(\deg p(x) = 0\text{,}\) então \(p(x)\) é um polinômio constante e não tem zeros. Se \(\deg p(x) = 1\text{,}\) então \(p(x) = ax +b\) para certos \(a\) e \(b\) em \(F\text{.}\) Se \(\alpha_1\) e \(\alpha_2\) são zeros de \(p(x)\text{,}\) então \(a\alpha_1 + b = a\alpha_2 +b\) e \(\alpha_1 = \alpha_2\text{.}\)

Agora suponha que \(\deg p(x) \gt 1\text{.}\) Se \(p(x)\) não tem zeros em \(F\text{,}\) estamos prontos. Por outro lado, se \(\alpha\) é um zero de \(p(x)\text{,}\) então \(p(x) = (x - \alpha ) q(x)\) para certo \(q(x) \in F[x]\) pelo Corolário 17.2.3. O grau de \(q(x)\) é \(n-1\) pela Proposição 17.1.4. Seja \(\beta\) algum outro zero de \(p(x)\) distinto de \(\alpha\text{.}\) Então \(p(\beta) = (\beta - \alpha) q(\beta) = 0\text{.}\) Como \(\alpha \neq \beta\) e \(F\) é um corpo, \(q(\beta ) = 0\text{.}\) Pela hipótese de indução, \(q(x)\) pode ter no total \(n -1\) zeros distintos em \(F\text{.}\) Portanto, \(p(x)\) tem ao todo \(n\) zeros distintos em \(F\text{.}\)

Seja \(F\) um corpo. Um polinômio mônico \(d(x)\) é um máximo divisor comum dos polinômios \(p(x), q(x) \in F[x]\) se \(d(x)\) divide tanto \(p(x)\) como \(q(x)\text{;}\) e, se para qualquer outro polinômio \(d'(x)\) que divida tanto \(p(x)\) como \(q(x)\text{,}\) \(d'(x) \mid d(x)\text{.}\) Escreveremos \(d(x) = \gcd( p(x), q( x))\text{.}\) Dois polinômios \(p(x)\) e \(q(x)\) são relativamente primos se \(\gcd(p(x), q(x) ) = 1\text{.}\)

Seja \(d(x)\) o polinômio mônico dde menor grua no conjunto

\begin{equation*} S = \{ f(x) p(x) + g(x) q(x) : f(x), g(x) \in F[x] \}. \end{equation*}

Podemos escrever \(d(x) = r(x) p(x) + s(x) q(x)\) para dois polinômios \(r(x)\) e \(s(x)\) em \(F[x]\text{.}\) Devemos demonstrar que \(d(x)\) divide \(p(x)\) e \(q(x)\text{.}\) Primeiro mostraremos que \(d(x)\) divide \(p(x)\text{.}\) Pelo algoritmo de divisão, existem polinômios \(a(x)\) e \(b(x)\) tais que \(p(x) = a(x) d(x) + b(x)\text{,}\) donde \(b(x)\) é o polinômio zero ou \(\deg b(x) \lt \deg d(x)\text{.}\) Portanto,

\begin{align*} b(x) & = p(x) - a(x) d(x)\\ & = p(x) - a(x)( r(x) p(x) + s(x) q(x)) \\ & = p(x) - a(x) r(x) p(x) - a(x) s(x) q(x)\\ & = p(x)( 1 - a(x) r(x) ) + q(x) ( - a(x) s(x) ) \end{align*}

é uma combinação linear de \(p(x)\) e \(q(x)\) e portanto está em \(S\text{.}\) Então, \(b(x)\) deve ser o polinômio zero pois \(d(x)\) foi escolhido de grau minimal; Concluímos que \(d(x)\) divide \(p(x)\text{.}\) Um argumento simétrico mostra que \(d(x)\) também divide \(q(x)\text{;}\) logo, \(d(x)\) é um divisor comum de \(p(x)\) e \(q(x)\text{.}\)

Para mostrar que \(d(x)\) é um máximo divisor comum de \(p(x)\) e \(q(x)\text{,}\) suponha que \(d'(x)\) é outro divisor comum de \(p(x)\) e \(q(x)\text{.}\) Mostraremos que \(d'(x) \mid d(x)\text{.}\) Como \(d'(x)\) é um divisor comum de \(p(x)\) e \(q(x)\text{,}\) existem polinômios \(u(x)\) e \(v(x)\) tais que \(p(x) = u(x) d'(x)\) e \(q(x) = v(x) d'(x)\text{.}\) Portanto,

\begin{align*} d(x) & = r(x) p(x) + s(x) q(x)\\ & = r(x) u(x) d'(x) + s(x) v(x) d'(x)\\ & = d'(x) [r(x) u(x) + s(x) v(x)]. \end{align*}

Como \(d'(x) \mid d(x)\text{,}\) \(d(x)\) é um máximo divisor comum de \(p(x)\) e \(q(x)\text{.}\)

Finalmente, devemos mostrar que o máximo divisor comum de \(p(x)\) e \(q(x)\) é único. Suponha que \(d'(x)\) também é um máximo comum divisor de \(p(x)\) e \(q(x)\text{.}\) Acabamos de mostrar que existem polinômios \(u(x)\) e \(v(x)\) em \(F[x]\) tais que \(d(x) = d'(x)[r(x) u(x) + s(x) v(x)]\text{.}\) Como

\begin{equation*} \deg d(x) = \deg d'(x) + \deg[r(x) u(x) + s(x) v(x)] \end{equation*}

e \(d(x)\) e \(d'(x)\) são ambos máximo divisor comum, \(\deg d(x) = \deg d'(x)\text{.}\) Como \(d(x)\) e \(d'(x)\) são ambos polinômios mônicos do mesmo grau, deve ser o caso que \(d(x) =~d'(x)\text{.}\)

Note a similaridade entra a demonstração da Proposição 17.2.5 e a demonstração do Teorema 2.2.2.