Exercícios 21.7 Exercícios em Sage
1.
Construa o polinômio \(p(x)=x^5+2x^4+1\) sobre \({\mathbb Z}_3\text{.}\) Verifique que não tem nenhum fator linear na avaliação do polinômio \(p(x)\) em cada elemento de \({\mathbb Z}_3\text{,}\) e depois verifique que \(p(x)\) é irredutível.
Construa um corpo finito de ordem \(3^5\) com o comando FiniteField(), mas inclua a opção modulus atribuído ao polinômio \(p(x)\) para troca a configuração padrão.
Redefina \(p(x)\) como polinômio sobre este corpo. Verifique cada um dos \(3^5 = 243\) elementos do corpo para ver se são raízes do polinômio e liste todos os elementos que sejam raízes. Finalmente, peça que a Sage fatorize \(p(x)\) sobre o corpo, e comente sobre a relação entre sua lista de raízes e sua fatoração.
2.
Este problema continua o anterior. Construa o anel de polinômios sobre \({\mathbb Z}_3\) e neste anel use \(p(x)\) para gerar um ideal principal. Finalmente construa o quociente do anel de polinômios por este ideal. Como o polinômio é irredutível, este quociente é um corpo, e pela Proposição 21.1.12 este quociente é isomorfo com relação ao corpo de números do exercício anterior.
Usando seus resultados do exercício anterior, construa cinco raízes do polinômio \(p(x)\) neste anel quociente, mas agora como expressões no gerador do anel quociente (que tecnicamente é uma classe lateral). Use Sage para verificar que de fato são raízes. Isso ilustra o uso de um anel quociente para criar um corpo de decomposição para um polinômio irredutível sobre um corpo finito.
3.
A subseção Elementos Algébricos se baseia em álgebra linear e contém o Teorema 21.1.15: toda extensão finita é uma extensão algébrica. Este exercício te ajudará a entender essa demonstração.
O polinômio \(r(x)=x^4+2x+2\) é irredutível sobre os racionais (Critério de Eisenstein com primo \(p=2\)). Construa un cuerpo de números que contenga una raíz de \(r(x)\text{.}\) Por el Teorema 21.1.15, e a observação que se segue, todo elemento desta extensão finita é um número algébrico, e por isso satisfaz algum polinômio sobre o corpo base (é o polinômio que Sage produz com o método .minpoly()). Este exercício te mostrará como podemos usar álgebra linear para determinar este polinômio minimal.
Suponha que a é o gerador do corpo de números que acabamos de criar com \(r(x)\text{.}\) Determinaremos o polinômio minimal de t = 3a + 1 usando somente álgebra linear. De acordo com a demonstração, as primeiras cinco potências de t (comece contando do zero) serão linearmente dependentes. (Porque?) Desta maneira uma relação de dependência linear destas potências entregará os coeficientes de um polinômio com t como raiz. Calcule estas cinco potências, logo construa o sistema linear apropiado para determinar os coeficientes do polinômio minimal, resolva o sistema, e interprete suas soluções.
Ajudas: Os comandos vector() e matrix() criarão vetores e matrizes e o método .solve_right() para matrizes pode ser usado para encontrar soluções. Dado um elemento do corpo de números, que necessariamente corresponderá a um polinômio no gerador a, o método .vector() do elemento, entregará os coeficientes deste polinômio em uma lista.
4.
Construa o corpo de decomposição de \(s(x)=x^4+x^2+1\) e encontre uma fatoração de \(s(x)\) sobre este corpo como produto de fatores lineares.
5.
Forme o corpo de números, \(K\text{,}\) que contenha uma raiz do polinômio irredutível \(q(x)=x^3+3x^2+3x-2\text{.}\) Ponha um nome em sua raiz a. Verifique que \(q(x)\) pode ser fatorado, mas não se decompõe, sobre \(K\text{.}\) Com \(K\) como corpo base, forme uma extensão de \(K\) donde o fator quadrático de \(q(x)\) tem uma raiz. Ponha um nome nesta raiz b, e chame de \(L\) esta segunda extensão da torre.
Use M.<c> = L.absolute_field() para formar uma versão plana da torre que será o corpo de números absolutos M. Encontre o polinômio que define M usando o método .polynomial(). A partir deste polinômio, que deve ter o gerador c como raiz, você deve ser capaz de usar álgebra elemental para escrever o gerador como una expressão relativamente simples.
\(M\) deveria ser o corpo de decomposição de \(q(x)\text{.}\) Para ver isto, volte ao começo e construa um novo corpo de números, \(P\text{,}\) usando a expressão simples para c que acaba de encontrar. Use d como o nome da raiz usada para construir P. Como d é uma raiz do polinômio minimal de c, deveria ser capaz de escrever uma expressão para d que um aluno de pré-calculo possa reconhecer.
Agora fatorize o polinômio original \(q(x)\) (com coeficientes racionais) sobre \(P\text{,}\) para verificar que se decompõe completamente (como era de se esperar). Usando esta fatoração e sua expressão simples para d escreva expressões simplificadas para as três raízes de \(q(x)\text{.}\) Determine se é capaz de converter entre as duas versões das raízes “a mão”, sem usar os isomorfismos providos pelo método .structure() em M.