Álgebra Abstrata: Teoria e Aplicações

Las raíces de \(x^n - a\) son \(\sqrt[n]{a}, \omega \sqrt[n]{a}, \ldots, \omega^{n-1} \sqrt[n]{a}\text{,}\) con \(\omega\) una raíz \(n\)-ésima primitiva de la unidad. Supongamos que \(F\) contiene todas las raíces \(n\)-ésimas de la unidad. Si \(\zeta\) es una de las raíces de \(x^n - a\text{,}\) entonces las diferentes raíces de \(x^n - a\) son \(\zeta, \omega \zeta, \ldots, \omega^{n - 1} \zeta\text{,}\) y \(E = F(\zeta)\text{.}\) Como \(G(E/F)\) permuta las raíces de \(x^n - a\text{,}\) los elemento en \(G(E/F)\) deben estar determinados por su acción en estas raíces. Sean \(\sigma\) y \(\tau\) en \(G(E/F)\) y supongamos que \(\sigma( \zeta ) = \omega^i \zeta\) y \(\tau( \zeta ) = \omega^j \zeta\text{.}\) Si \(F\) contiene las raíces de la unidad, entonces

Por lo tanto, \(\sigma \tau = \tau \sigma\) y \(G(E/F)\) es abeliano, en particular es soluble.

Ahora supongamos que \(F\) no contiene raíces \(n\)-ésimass primitivas de la unidad. Sea \(\omega\) un generador del grupo cíclico de las raíces \(n\)-ésimas de la unidad. Sea \(\alpha\) un cero de \(x^n - a\text{.}\) Como \(\alpha\) y \(\omega \alpha\) están ambos en el cuerpo de descomposición de \(x^n - a\text{,}\) \(\omega = (\omega \alpha)/ \alpha\) también está en \(E\text{.}\) Sea \(K = F( \omega)\text{.}\) Entonces \(F \subset K \subset E\text{.}\) Como \(K\) es el cuerpo de descomposición de \(x^n - 1\text{,}\) \(K\) es una extensión normal de \(F\text{.}\) Por lo tanto, cualquier automorfismo \(\sigma\) en \(G(F( \omega)/ F)\) está determinado por \(\sigma( \omega)\text{.}\) Se debe tener que \(\sigma( \omega ) = \omega^i\) para algún entero \(i\) pues todos los ceros de \(x^n - 1\) son potencias de \(\omega\text{.}\) Si \(\tau( \omega ) = \omega^j\) está en \(G(F(\omega)/F)\text{,}\) entonces

Por lo tanto, \(G(F( \omega ) / F)\) es abeliano. Por el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois, la serie

es una serie normal. Por el argumento anterior, \(G(E/F(\omega))\) es abeliano. Como

también es abeliano, \(G(E/F)\) es soluble.

Como \(E\) es una extensión radical de \(F\text{,}\) existe una cadena de subcuerpos

tal que para \(i = 1, 2, \ldots, r\text{,}\) tenemos \(F_i = F_{i - 1}(\alpha_i)\) y \(\alpha_i^{n_i} \in F_{i-1}\) para ciertos enteros positivos \(n_i\text{.}\) Construiremos una extensión radical normal de \(F\text{,}\)

tal que \(K \supseteq E\text{.}\) Defina \(K_1\) como el cuerpo de descomposición de \(x^{n_1} - \alpha_1^{n_1}\text{.}\) Las ríces de este polinomio son \(\alpha_1, \alpha_1 \omega, \alpha_1 \omega^2, \ldots, \alpha_1 \omega^{n_1 - 1}\text{,}\) donde \(\omega\) es una raíz \(n_1\)-ésima primitiva de la unidad. Si \(F\) contiene las \(n_1\) raíces de la unidad, entonces \(K_1 = F(\alpha_1)\text{.}\) Por otra parte, supongamos que \(F\) no contiene raíces \(n_1\)-ésimas primitivas de la unidad. Si \(\beta\) es una raíz de \(x^{n_1} - \alpha_1^{n_1}\text{,}\) entonces todas las raíces de \(x^{n_1} - \alpha_1^{n_1}\) son \(\beta, \omega \beta, \ldots, \omega^{n_1-1}\text{,}\) con \(\omega\) una raíz \(n_1\)-ésima primitiva de la unidad. En este caso, \(K_1 = F(\omega \beta)\text{.}\) Luego, \(K_1\) es una extensión radical normal de \(F\) que contiene a \(F_1\text{.}\) Continuando de esta manera, obtenemos

tal que \(K_i\) es una extensión normal de \(K_{i-1}\) y \(K_i \supseteq F_i\) para \(i = 1, 2, \ldots, r\text{.}\)

Como \(f(x)\) es soluble por radicales existe una extensión \(E\) de \(F\) por radicales \(F = F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_n = E\text{.}\) Por el Lema 23.3.3, podemos suponer que \(E\) es un cuerpo de descomposición de \(f(x)\) y \(F_i\) es normal sobre \(F_{i - 1}\text{.}\) Por el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois, \(G(E/F_i)\) es un subgrupo normal de \(G(E/F_{i - 1})\text{.}\) Por lo tanto, tenemos una serie subnormal de subgrupos de \(G(E/F)\text{:}\)

Nuevamente por el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois, sabemos que

Por el Lema 23.3.2, \(G(F_i/F_{i - 1})\) es soluble; luego, \(G(E/F)\) también es soluble.

Sea \(G\) un subgrupo de \(S_p\) que contenga una transposición \(\sigma\) y \(\tau\) un ciclo de largo \(p\text{.}\) Podemos suponer que \(\sigma = (1 2)\text{.}\) El orden de \(\tau\) es \(p\) y \(\tau^n\) es un ciclo de largo \(p\) para \(1 \leq n \lt p\text{.}\) Por lo tanto, podemos suponer que \(\mu = \tau^n = (1 2 i_3 \ldots i_p)\) para algún \(n\text{,}\) donde \(1 \leq n \lt p\) (vea el Ejercicio 5.3.13 en el Capítulo 5). Observando que \((1 2)(12 i_3\ldots i_p) = (2 i_3\ldots i_p)\) y \((2i_3 \ldots i_p)^k(12)(2i_3 \ldots i_p)^{-k} = (1i_k)\text{,}\) podemos obtener todas las transposiciones de la forma \((1n)\) para \(1 \leq n \lt p\text{.}\) Pero, estas transposiciones generan todas las transposiciones en \(S_p\text{,}\) pues \((1j)(1 i)(1 j) = (i j)\text{.}\) Las transposiciones generan \(S_p\text{.}\)

Supongamos que \(E\) es una extensión propia finita de los números complejos. Como toda extensión finita de un cuerpo de característica cero es una extensión simple, existe \(\alpha \in E\) tal que \(E = {\mathbb C}( \alpha )\) con \(\alpha\) la raíz de un polinomio irreducible \(f(x)\) en \({\mathbb C}[x]\text{.}\) El cuerpo de descomposición \(L\) de \(f(x)\) es una extensión normal finita y separable de \({\mathbb C}\) que contiene a \(E\text{.}\) Debemos mostrar que es imposible que \(L\) sea una extensión propia de \({\mathbb C}\text{.}\)

Supongamos que \(L\) es una extensión propia de \({\mathbb C}\text{.}\) Como \(L\) es el cuerpo de descomposición de \(f(x)(x^2 + 1)\) sobre \({\mathbb R}\text{,}\) \(L\) es una extensión normal finita y separable de \({\mathbb R}\text{.}\) Sea \(K\) el cuerpo fijo de un 2-subgrupo de Sylow \(G\) de \(G(L/{\mathbb R})\text{.}\) Entonces \(L \supset K \supset {\mathbb R}\) y \(|G( L / K )| =[L:K]\text{.}\) Como \([L : {\mathbb R}] = [L:K][K:{\mathbb R}]\text{,}\) sabemos que \([K:{\mathbb R}]\) debe ser impar. Así, \(K = {\mathbb R}(\beta)\) con \(\beta\) un elemento cuyo polinomio minimal \(f(x)\) es de grado impar. Por lo tanto, \(K = {\mathbb R}\text{.}\)

Sabemos ahora que \(G(L/{\mathbb R})\) debe ser un 2-grupo. Por lo tanto \(G(L / {\mathbb C})\) es un 2-grupo. Hemos supuesto que \(L \neq {\mathbb C}\text{;}\) por lo tanto, \(|G(L / {\mathbb C})| \geq 2\text{.}\) Por el primer Teorema de Sylow y el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois, existe un subgrupo \(G\) de \(G(L/{\mathbb C})\) de índice 2 y un cuerpo \(E\) fijo por \(G\text{.}\) Entonces \([E:{\mathbb C}] = 2\) y existe un elemento \(\gamma \in E\) con polinomio minimal \(x^2 + b x + c\) en \({\mathbb C}[x]\text{.}\) Este polinomio tiene raíces \(( - b \pm \sqrt{b^2 - 4c}\, ) / 2\) que están en \({\mathbb C}\text{,}\) pues \(b^2 - 4 c\) está en \({\mathbb C}\text{.}\) Esto es imposible; luego, \(L = {\mathbb C}\text{.}\)