Álgebra Abstrata: Teoria e Aplicações

Sean ${\sigma }_i(a)=a$ y ${\sigma }_i(b)=b\text{.}$ Entonces

y

Si $a\ne 0\text{,}$ entonces ${\sigma }_i(a^{-1})=[{\sigma }_i(a){]}^{-1}=a^{-1}\text{.}$ Finalmente, ${\sigma }_i(0)=0$ y ${\sigma }_i(1)=1$ como ${\sigma }_i$ es un automorfismo.

Sea $G=G(E/F)\text{.}$ Claramente, $F\subset E_G\subset E\text{.}$ Además, $E$ debe ser un cuerpo de descomposición de $E_G$ y $G(E/F)=G(E/E_G)\text{.}$ Por el Teorema 23.1.7,

Por lo tanto, $[E_G:F]=1\text{.}$ Concluimos que $E_G=F\text{.}$

Sea $|G|=n\text{.}$ Debemos mostrar que cualquier conjunto de $n+1$ elementos ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{n+1}$ en $E$ es linealmente dependiente sobre $F\text{;}$ es decir, debemos encontrar elementos $a_i\in F\text{,}$ no todos cero, tales que

Supongamos que ${\sigma }_1=\mathrm{id},{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_n$ son los automorfismos en $G\text{.}$ El sistema de ecuaciones lineales homogéneo

tiene más incógnita que ecuaciones. De álgebra lineal sabemos que este sistema tiene una solución no trivial, digamos $x_i=a_i$ para $i=1,2,\dots ,n+1\text{.}$ Como ${\sigma }_1$ es la identidad, la primera ecuación se traduce a

El problema es que algunos de los $a_i$ podrían estar en $E$ pero no en $F\text{.}$ Debemos mostrar que esto es imposible.

Supongamos que al menos uno de los $a_i$ está en $E$ pero no en $F\text{.}$ Reordenando los ${\alpha }_i$ podemos suponer que $a_1$ es distinto de cero. Como cualquier múltiplo de una solución también es una solución, podemos suponer además que $a_1=1\text{.}$ De todas las posibles soluciones que satisfacen esta descripción, elegimos la que tenga el menor número de términos distintos de cero. Nuevamente, reordenando ${\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{n+1}$ si fuera necesario, podemos suponer que $a_2$ está en $E$ pero no en $F\text{.}$ Como $F$ es el subcuerpo de $E$ cuyos elementos quedan fijos por $G\text{,}$ existe ${\sigma }_i$ en $G$ tal que ${\sigma }_i(a_2)\ne a_2\text{.}$ Aplicando ${\sigma }_i$ a cada ecuación en el sistema, obtenemos el mismo sistema homogéneo, pues $G$ es un grupo. Por lo tanto, $x_1={\sigma }_i(a_1)=1\text{,}$ $x_2={\sigma }_i(a_2)\text{,}$ $\dots \text{,}$ $x_{n+1}={\sigma }_i(a_{n+1})$ también es solución del sistema original. Sabemos que una combinación lineal de dos soluciones de un sistema homogéneo es nuevamente una solución; concluimos que

debe ser otra solución del sistema. Esta es una solución no trivial pues ${\sigma }_i(a_2)\ne a_2\text{,}$ y tiene menos términos distintos de cero que nuestra solución original. Esto es una contradicción, pues el número de términos distintos de cero de nuestra solución original se había supuesto minimal. Podemos concluir que $a_1,\dots ,a_{n+1}\in F\text{.}$

(1) $\Rightarrow$ (2). Sea $E$ una extensión finita, normal y separable de $F\text{.}$ Por el Teorema del Elemento Primitivo, podemos encontrar $\alpha$ en $E$ tal que $E=F(\alpha )\text{.}$ Sea $f(x)$ el polinomio minimal de $\alpha$ sobre $F\text{.}$ El cuerpo $E$ debe contener todas las raíces de $f(x)$ pues es una extensión normal de $F\text{;}$ luego, $E$ es un cuerpo de descomposición para $f(x)\text{.}$

(2) $\Rightarrow$ (3). Sea $E$ el cuerpo de descomposición sobre $F$ de un polinomio separable. Por la Proposición 23.2.4, $E_{G(E/F)}=F\text{.}$ Como $|G(E/F)|=[E:F]\text{,}$ este grupo es finito.

(3) $\Rightarrow$ (1). Sea $F=E_G$ para cierto grupo finito de automorfismos $G$ de $E\text{.}$ Como $[E:F]\le |G|\text{,}$ $E$ es una extensión finita de $F\text{.}$ Para mostrar que $E$ es una extensión finita y normal de $F\text{,}$ sea $f(x)\in F[x]$ un polinomio irreducible mónico que tenga una raíz $\alpha$ en $E\text{.}$ Debemos mostrar que $f(x)$ es el producto de factores lineales distintos en $E[x]\text{.}$ Por la Proposición 23.1.5, los automorfismos en $G$ permutan las raíces de $f(x)$ que están en $E\text{.}$ Por lo tanto, si hacemos actuar $G$ en $\alpha \text{,}$ podemos obtener raíces distintas ${\alpha }_1=\alpha ,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ en $E\text{.}$ Sea $g(x)=\prod _{i=1}^n(x-{\alpha }_i)\text{.}$ Entonces $g(x)$ es separable sobre $F$ y $g(\alpha )=0\text{.}$ Cualquier automorfismo $\sigma$ en $G$ permuta los factores de $g(x)$ pues permuta estas raíces; luego, cuando $\sigma$ actúa en $g(x)\text{,}$ debe fijar los coeficientes de $g(x)\text{.}$ Por lo tanto, los coeficientes de $g(x)$ están en $F\text{.}$ Como $\mathrm{gr}g(x)\le \mathrm{gr}f(x)$ y $f(x)$ es el polinomio minimal de $\alpha \text{,}$ $f(x)=g(x)\text{.}$

Como $F=K_G\text{,}$ $G$ es un subgrupo de $G(K/F)\text{.}$ Luego,

Se sigue que $G=G(K/F)\text{,}$ tienen el mismo orden.

(1) Supongamos que $G(E/K)=G(E/L)=G\text{.}$ Tanto $K$ como $L$ son cuerpos fijos de $G\text{;}$ luego, $K=L$ y la función definida por $K\mapsto G(E/K)$ es 1-1. PAra mostrar que la función es sobreyectiva, sea $G$ un subgrupo de $G(E/F)$ y sea $K$ el cuerpo fijo por $G\text{.}$ Entonces $F\subset K\subset E\text{;}$ Así, $E$ es una extensión normal de $K\text{.}$ Luego, $G(E/K)=G$ y la función $K\mapsto G(E/K)$ es una biyección.

(2) Por el Teorema23.1.7, $|G(E/K)|=[E:K]\text{;}$ por lo tanto,

Luego, $[K:F]=[G(E/F):G(E/K)]\text{.}$

(3) La proposición se ilustra en la Figura 23.2.11. Dejamos su demostración como un ejercicio.

(4) Esto requiere un poco más de trabajo. Sea $K$ una extensión normal de $F\text{.}$ Si $\sigma$ está en $G(E/F)$ y $\tau$ está en $G(E/K)\text{,}$ debemos demostrar que ${\sigma }^{-1}\tau \sigma$ está en $G(E/K)\text{;}$ es decir, debemos mostrar que ${\sigma }^{-1}\tau \sigma (\alpha )=\alpha$ para todo $\alpha \in K\text{.}$ Supongamos que $f(x)$ es el polinomio minimal de $\alpha$ sobre $F\text{.}$ Entonces $\sigma (\alpha )$ también es una raíz de $f(x)$ que está en $K\text{,}$ pues $K$ es una extensión normal de $F\text{.}$ Luego, $\tau (\sigma (\alpha ))=\sigma (\alpha )$ y ${\sigma }^{-1}\tau \sigma (\alpha )=\alpha \text{.}$

Recíprocamente, sea $G(E/K)$ un subgrupo normal de $G(E/F)\text{.}$ Debemos demostrar que $F=K_{G(K/F)}\text{.}$ Sea $\tau \in G(E/K)\text{.}$ Para todo $\sigma \in G(E/F)$ existe $\bar{\tau }\in G(E/K)$ tal que $\tau \sigma =\sigma \bar{\tau }\text{.}$ De esta manera, para todo $\alpha \in K$

luego, $\sigma (\alpha )$ es el cuerpo fijo de $G(E/K)\text{.}$ Sea $\bar{\sigma }$ la restricción de $\sigma$ a $K\text{.}$ Entonces $\bar{\sigma }$ es un automorfismo de $K$ que fija $F\text{,}$ pues $\sigma (\alpha )\in K$ para todo $\alpha \in K\text{;}$ luego, $\bar{\sigma }\in G(K/F)\text{.}$ A continuación, mostraremos que el cuerpo fijo de $G(K/F)$ es $F\text{.}$ Sea $\beta$ un elemento en $K$ que queda fijo por todos los automorfismos en $G(K/F)\text{.}$ En particular, $\bar{\sigma }(\beta )=\beta$ para todo $\sigma \in G(E/F)\text{.}$ Por lo tanto, $\beta$ pertenece al cuerpo fijo $F$ de $G(E/F)\text{.}$

Finalmente, debemos mostrar que si $K$ es una extensión normal de $F\text{,}$ entonces

Sea $\sigma \in G(E/F)\text{,}$ y sea ${\sigma }_K$ el automorfismo de $K$ obtenido restringiendo $\sigma$ a $K\text{.}$ Como $K$ es una extensión normal, el argumento del párrafo precedente muestra que ${\sigma }_K\in G(K/F)\text{.}$ Tenemos así una función $\varphi :G(E/F)\to G(K/F)$ definida por $\sigma \mapsto {\sigma }_K\text{.}$ Esta función es un homomorfismo de grupos pues

El núcleo de $\varphi$ es $G(E/K)\text{.}$ Por (2),

Luego, la imagen de $\varphi$ es $G(K/F)$ y $\varphi$ es sobreyectiva. Por el Primer Teorema de Isomorfía, tenemos