.
O retorno � Geometria a partir das
�lgebras A(X) atrav�s
de um espectro sugere considerarmos espectros
S(A) de �lgebras mais gerais A. Tais
espectros s�o
objetos que possuem ainda uma Geometria reminescente,
quase sempre muito interessante.
4.
Esta separa��o b�sica,
por um lado a �lgebra
em A, e por outro a Geometria (ou Topologia)
em X ou em S(A), � uma situa��o
ideal: os objetos que vemos na realidade
matem�tica nos chegam frequentemente
misturados. São,
por exemplo, grupos topol�gicos,
ou espa�os vetoriais topol�gicos, objetos
que tem simultaneamente estruturas alg�bricas
e geom�tricas de alguma forma
compat�veis. A aplica��o
dos funtores usuais A de algebriza��o
em um objeto X assim
fornece estruturas alg�bricas adicionais
sobre os objetos j� alg�bricos A(X), que
passam ent�o a admitir, por dualidade,
co-multiplica��es.
5.
Como um exemplo-paradigma tomamos
um grupo alg�brico linear X: algebricamente,
um grupo, geometricamente uma variedade...
alg�brica (a nota��o consagrada n�o
pode evitar armadilhas); al�m disso, as
opera��es de grupo s�o morfismos
de variedades alg�bricas. O exemplo
que nos ser� mais caro � o
grupo alg�brico Sl2(k). Como para toda
variedade alg�brica, podemos considerar
um funtor de algebriza��o que associa
a cada variedade X seu anel de fun��es
regulares R(X). A estrutura adicional de
grupo em X doa, por dualidade � la Yoneda,
uma estrutura de co-algebra em R(X)
(defini��es precisas mais tarde).
Como segundo exemplo-paradigma tomemos
X um grupo de Lie, isto �: geometricamente
uma variedade, algebricamente um grupo, com
a compatibilidade fundamental de
serem diferenci�veis as opera��es
alg�bricas. Tamb�m aqui se manifesta
o ub�quo Sl2. Um funtor
de algebriza��o b�sico para uma variedade
� a considera��o de seu fibrado tangente;
no caso do grupo de Lie X, este funtor fornece
a �lgebra de Lie
,
o espa�o
tangente na identidade. Um funtor intra-alg�brico
agora asocia a cada �lgebra de Lie 
a �lgebra (associativa)
envolvente
de forma
universal (este funtor, que deve ser chamado de
funtor de Poincar�-Birkhoff-Witt, � o
adjunto � esquerda do funtor que a cada �lgebra
associativa A associa a �lgebra de Lie
com o colchete dado da forma ``usual'':
[a,b]=ab-ba).
Estes exemplos ser�o nossos guias.
6.
Se o objeto inicial X for um objeto assim misto,
dotado de estruturas alg�bricas e geom�tricas
simultaneamente, as deforma��es que procuramos
operam nas �lgebras A(X),
enriquecidas por co-multiplica��es, para gerar
objetos Aq(X) da mesma natureza
igualmente enriquecida.
O par�metro q de deforma��o intervem
nas defini��es das �lgebras A(X)
(ou mais simplesmente A) de uma forma
que a primeira vista
pode parecer arbitr�ria: confiamos
ent�o na relev�ncia destas defini��es
distorcidas que uma quantidade de aplica��es
f�sicas, muitas vezes n�o relacionadas
entre si, indica.
Poder�amos pensar em aplicar espectros e obter
alguma Geometria em
Índice do Capítulo 5
I. Bons Antecedentes Algébricos
I.1 Grupos Clássicos: Definições
I.2 A Geometria dos Grupos Clássicos
I.3 A Álgebra dos Grupos Clássicos
I.4 Álgebras de Lie e Álgebras Envolventes
I.5 Representações II. Grupos Quânticos
II.1 O Plano Quântico, as Matrizes Quânticas e os Grupos Quânticos
II.2 A Álgebra Envolvente
II.3 Módulos