Apêndice B: A Categoria de Variedades Diferenciáveis

Este apêndice resume brevemente os fatos necessários da categoria diferenciável, e assume do leitor alguma lembrança de Análise. Especificamente, esta categoria é definida para agregar todo conhecimento local da Análise. Assim não haverá necessidade de se lembrar de nenhuma fórmula de Cálculo, mas sim dos teoremas locais de existência: o teorema da função inversa e o teorema da função implícita.

B.1. Variedades. A Análise que será utilizada aqui é real e euclidiana, baseada nos espaços ${\bf R}^n$. Apesar disso, seguindo os passos dos mestres em [M-S], adotamos a idéia de introduzir um espaço ambiente do tipo ${\bf R}^A$ onde A é um conjunto qualquer, objeto de Conj. Este espaço ambiente nada mais é do que

$${\bf R}^A={\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R}).$$

Tomando A de cardinalidade finita n, normalizado em Conj como sendo o conjunto $A=\{ 1,\ldots ,n\}$, recupera-se o espaço euclidiano ${\bf R}^n$ identificando a função $x\in {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ com o vetor $(x_1,\ldots ,x_n)$ através de x_i:=x(i). A familiaridade com este exemplo será aproveitada no uso da notação x_a para o valor da função $x\in {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ em $a\in A$, isto é, vale x_a=x(a) em geral.

Cada elemento $a\in A$ é uma coordenada em ${\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$, definindo uma função de projeção

$$\pi_a:{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R}) \longrightarrow {\bf R}\qquad \pi_a(x)=x(a)=x_a,$$

morfismo em Conj. A topologia de R como objeto de Top é invocada para fazer desta projeção um morfismo em Top de maneira universal, isto é, ${\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ é dotado da maior topologia que torna tais projeções contínuas; isto significa: para um objeto Y em Top uma função $f:Y\rightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ é morfismo em Top se e só se para cada $a\in A$ a composta $\pi_a\circ f$ é morfismo em Top.

Os objetos da categoria diferenciável Diff serão subconjuntos M em

$${\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$$

com a topologia induzida universal, isto é, para um objeto Y em Top uma função $f:Y\rightarrow M$ é morfismo em Top se e só se a composta $\iota\circ f$ é morfismo em Top, onde $\iota :M\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ é a inclusão; pelo visto acima, isto acontece se e só se para cada $a\in A$ a composta $f_a:=\pi_a\circ \iota \circ f: Y\rightarrow {\bf R}$ é morfismo em Top.

Além de espaço topológico, uma estrutura adicional que Y tiver permite considerar a função $f:Y\rightarrow M\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ como morfismo em outras categorias. O exemplo relevante é o de um subconjunto de um espaço euclidiano no qual é possível tomar derivadas: se $U\subset {\bf R}^n$ então uma função $f:U\rightarrow M\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ é suave se para cada $a\in A$ as compostas $f_a= \pi_a\circ \iota \circ f:U \rightarrow {\bf R}$ forem infinitamente diferenciáveis. As derivadas parciais $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ são definidas como as funções

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}: U\rightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$$

que para cada $a\in A$ tem como coordenada a a função $\frac{\partial f_a}{\partial x_i}$. Seja observado que, apesar da consideração do espaço ${\bf R}^A$ de ``dimensão infinita'', a noção de diferenciabilidade só foi aplicada para funções $f_a:U \rightarrow {\bf R}$; nenhuma diferenciabilidade mais geral será jamais envolvida nestas notas. Como é necessário tomar derivadas -- um processo local --, o subconjunto U será sempre tomado aberto em ${\bf R}^n$.

Estas simples considerações permitem a postulação da categoria Diff: um subconjunto $M\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ é uma variedade diferenciável de dimensão n se para cada $x\in M$ existir uma função suave $h:U\rightarrow M\subset {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$, definida em um aberto $U\subset {\bf R}^n$, tal que h seja um homeomorfismo de U em $V \subset M$ e que para $u\in U$ com h(u)=x a matrix $( \frac{\partial f_a}{\partial x_i}(u))$ tenha posto n. Neste caso é dito que V=h(U) é uma vizinhança coordenada e (U,V,h) uma parametrização local.

Casos simples mas importantes de variedades são os próprios abertos U em ${\bf R}^n$, para qualquer ponto dos quais é possível tomar a mesma parametrização $(U,U,id:U \rightarrow U)$. Em particular o espaço euclidiano ${\bf R}^n$ é uma variedade diferenciável de dimensão n.

B.2. Mudança de parametrização. Segue do teorema da função implícita que se duas parametrizações locais (U,V,h) e (U',V',h') se encontram, isto é, são tais que $V\cap V'\not= \emptyset$ então

$$h^{-1}\circ h': (h')^{-1}(V\cap V')\rightarrow h^{-1}(V\cap V')$$

é infinitamente diferenciável. Esta função $h^{-1}\circ h'$ associa dois abertos $(h')^{-1}(V\cap V')$ e $h^{-1}(V\cap V')$ do mesmo espaço euclidiano onde U e U' são abertos. A dimensão de uma veriedade diferenciável é, assim, bem definida.

B.3. Funções suaves. Parametrizações locais são usadas na definição dos morfismos na categoria Diff de variedades diferenciáveis. Estes morfismos, ditos funções suaves, são definidos a partir do conceito de funções suaves definidas em um aberto $U\subset {\bf R}^n$ como em B.1: sejam dadas duas variedades $M\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ e $N\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(B, {\bf R})$; uma função $f:M\rightarrow N$ é suave em um ponto $m\in M$ se para uma parametrização local (U,V,h) em M tal que $m\in V$ tenhamos $f\circ h:U\rightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(B, {\bf R})$ suave. O resultado enunciado em B.2 implica que esta a definição de suavidade em um ponto $m\in M$ independe da escolha da parametrização local (U,V,h) com $m\in V$. Uma função $f:M\rightarrow N$ é suave se for suave em cada ponto $m\in M$. Variedades diferenciáveis e funções suaves entre elas definem a categoria Diff. Isomorfismos em Diff são chamados difeomorfismos.

Para um aberto $U\subset {\bf R}^n$ tomado com a estrutura natural de variedade como em B.1 o conceito de função suave como morfismo em ${\it Hom}_{\bf Diff}(U,M)$ coincide com a noção introduzida em B.1.

Pela própria postulação dos objetos como conjuntos com uma estrutura adicional (que permite tomar derivadas), há funtores de esquecimento de Diff para Conj e para Top, mas estes funtores são pouco interessantes: a estrutura adicional de variedade é excessivamente ligada aos processos da Análise para que estes funtores tenham algum adjunto. No entanto, Diff possui produtos construídos sobre o produto cartesiano.

B.4. Sobre a definição de variedades. A definição de variedade pode ser apresentada de muitas maneiras diferentes. O tratamento adotado aqui é calcado em [M-S] e sofre o defeito de exigir que a variedade $M\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ esteja definida em um espaço ambiente ${\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$, que depende do conjunto A que aparentemente pouco se manifesta na estrutura diferencial. Esta dependência, de fato, é algo irrelevante: se $g:A\rightarrow B$ é monomorfismo em Conj então

$$\begin{eqnarray*}{\it Hom}_{\bf Conj}(B, {\bf R}) &\rightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})\\ h&\mapsto \quad g\circ h \end{eqnarray*}$$

é uma injeção, e a variedade $M\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ pode ser igualmente considerada em ${\it Hom}_{\bf Conj}(B, {\bf R})$ para qualquer conjunto B que contenha A. (O problema de descrever o conjunto A mínimo, no entanto, é interessante: há variedades de dimensão n que só aparecem em ${\bf R}^{2n+1}$).

Há, no entanto, um conjunto A máximo ``canônico'': dada uma variedade $\iota :M\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$, para cada $a\in A$ temos a função $\pi_a\circ \iota:M\rightarrow {\bf R}$ que é suave, isto é, um morfismo em ${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$, e a identificação $a\leftrightarrow \pi_a\circ \iota$ injeta A como subconjunto de ${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$. Tomemos então

$$A_M:= {\it Hom}_{\bf Diff}(M, {\bf R})$$

e a injeção canônica

$$\iota_\kappa:M\rightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A_M, {\bf R})... ...t Hom}_{\bf Conj}( {\it Hom}_{\bf Diff}(M, {\bf R}), {\bf R})$$

dada por $\iota_\kappa(m)(f)=f(m)$. Esta injeção é um difeomorfismo de M sobre sua imagem $\iota_\kappa(M)$.

Agora a variedade $M\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A_M, {\bf R})= {\it Hom}_{\bf Conj}( {\it Hom}_{\bf Diff}(M, {\bf R}), {\bf R})$ é apresentada de forma intrínseca, e este processo pode ser usado para uma redefinição: dado um conjunto M em Conj e $A\subset {\it Hom}_{\bf Conj}(M, {\bf R})$ um subconjunto de funções reais em M que separa pontos, isto é, tal que a aplicação canônica $\iota_\kappa$ definida como acima seja uma injeção (esta condição esmiuçada significa: dados $m_1\not= m_2\in M$ existe $f\in A$ com $f(m_1)\not= f(m_2)$), A é chamado uma estrutura diferencial em M se $\iota_\kappa(M)\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ for uma variedade diferenciável e se $A=A_M= {\it Hom}_{\bf Diff}( \iota_\kappa(M), {\bf R})$, isto é, se A for o conjunto de morfismos em Diff (isto é, de funções suaves) desta variedade para a reta R.

B.5. O espaço tangente. Seja $M\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ uma variedade de dimensão n e $m\in M$. Um caminho passando por m é uma função suave

$$p:(-\epsilon,\epsilon)\longrightarrow M\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R}), \qquad {\rm com}\ p(0)=m,$$

onde $\epsilon > 0$. O vetor velocidade é então definido como sendo o vetor

$$\frac{\partial p}{\partial t} \vert _{t=0}=\frac{dp}{dt}\vert _{t=0} \in {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$$

tendo como coordenada a exatamente $\frac{d(\pi_a\circ p)}{dt}\vert _{t=0}$. Um elemento de ${\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ é dito um vetor tangente em m se for vetor velocidade de algum caminho passando por m. O conjunto destes vetores é chamado de espaço tangente de M em m, denotado por D(M)_m.

Se (U,V,h) for uma parametrização local com $m\in V=h(U)$, digamos m=h(x) para $x\in U\subset {\bf R}^n$, então $v\in {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ é vetor tangente em m se e só se existir uma combinação linear

$$v=\sum_{i=1}^n c_i\frac{\partial h}{ \partial x_i}(x), \qquad c_i\in {\bf R}.$$

Assim o espaço tangente D(M)_m é espaço vetorial real de dimensão n. No caso de a veriedade diferenciável ser um aberto U do espaço euclidiano ${\bf R}^n$ o espaço tangente D(U)_u em qualquer ponto u é o próprio ${\bf R}^n$.

O fibrado tangente de M é o subconjunto $D(M)\subset M\times {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ dado por

$$D(M):=\{\ (m,v)\in M\times {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R}) \ \vert\ v\in D(M)_m\ \}.$$

Tomando uma versão contravariante do Teorema de Preservação de Limites A.4 para ${\it Hom}_{\bf Conj}( \bullet , {\bf R})$ vemos que ${\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})\times {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R}) \simeq {\it Hom}_{\bf Conj}( A\amalg A,{\bf R})$, e considerando $D(M)\hookrightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}( A\amalg A,{\bf R})$, o fibrado tangente é uma variedade diferenciável de dimensão 2n.

A associação $M\rightarrow D(M)$ é (a função nos objetos de) um funtor

$$D:{\bf Diff}\longrightarrow {\bf Diff}.$$

A função nos morfismos é dada pela derivada de uma função suave $f:M\rightarrow N$, definida por

$$\begin{eqnarray*}D(f):D(M)&\longrightarrow D(N)\\ (m,v)&\mapsto (f(m), Df_m(v)), \end{eqnarray*}$$

onde $D(f)_m\in {\it Hom}_{\bf R}(D(M)_m, D(N)_{f(m)})$ é a transformação linear

$$\frac{dp}{dt}\vert _{t=0}\mapsto \frac{d(f\circ p)}{dt}\vert _{t=0}.$$

Em termos de uma parametrização local (U,V,h) com $m=h(x)\in V=h(U)$ vale

$$D(f)_m( \sum_{i=1}^n c_i\frac{\partial h}{ \partial x_i}(x))= \sum_{i=1}^n c_i\frac{\partial (f\circ h) }{\partial x_i}(x).$$

Por exemplo, para toda variedade M a associação $(m,v)\mapsto m$ define uma função suave $\pi:D(M)\rightarrow M$. A derivada $D(\pi):D^2(M)\rightarrow D(M)$ é calculada associando ao vetor velocidade do caminho
$$\begin{align}(-\epsilon,\epsilon)&\longrightarrow D(M)\hookrightarrow {\it Hom... ...mapsto\ (m(t),v(t)) \qquad {\rm onde}\ v(t) \in D(M)_{m(t)}\notag \end{align}$$
o vetor velocidade $\frac{dm(t)}{dt}\vert _{t=0}$, isto é,

$$D(\pi):((m(0),v(0),\frac{d(m(t), v(t))}{dt}\vert _{t=0})\mapsto (m(0),\frac{dm(t)}{dt}\vert _{t=0}).$$

Uma inversa à direita $\chi$ em Diff desta função suave $\pi$ é dita um campo vetorial. Um campo vetorial pode ser escrito
$$\begin{align}\chi:M&\longrightarrow D(M) \notag\\ m&\mapsto (m,\chi_0(m)),\ {\rm onde}\ \chi_0(m)\in D(M)_m; \notag \end{align}$$
em geral as referências confundem $\chi$ e $\chi_0$. As estruturas de espaços vetoriais em D(M)_m fornecem uma estrutura de espaço vetorial no conjunto de campos vetoriais

$$Vect(M)=\{ \chi\in{\it Hom}_{\bf Diff} (M,D(M))\ \vert\ \pi\circ\chi=id_M\ \},$$

definida para $\chi,\eta\in Vect(M)$ e $\alpha\in {\bf R}$ por

$$(\chi+\eta)_0=\chi_o+\eta_0,\qquad (\alpha \chi)_0=\alpha \chi_0.$$

Para uma função real suave $f\in {\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$ a derivada em um ponto $m\in M$ é uma transformação linear $D(f)_m:D(M)_m\rightarrow D({\bf R})_ {f(m)}$. Como o espaço tangente $D({\bf R})_\alpha$ de R em qualquer real $\alpha$ é simplesmente R esta derivada é um elemento do espaço vetorial dual ${\it Hom}_{\bf R}(D(M)_m,{\bf R})$. Fixando o ponto $m\in M$ a associação $f\mapsto D(f)_m$ define uma aplicação

$${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R}) \longrightarrow {\it Hom}_{\bf R}(D(M)_m,{\bf R}).$$

Domínio e contradomínio desta aplicação herdam uma estrutura de álgebra real através do produto em R (o produto de funções é o produto de valores das funções). A aplicação descrita acima não preserva este produto, antes obedece à regra de Leibniz

D(fg)_m=f(m)D(g)_m+g(m)D(F)_m.

Fixando agora $m\in M$ e $v\in D(M)_m$ o valor $D(f)_m(v)\in D({\bf R})_{f(m)}= {\bf R}$ é um número real, e a associação $f\mapsto D(f)_m(v)$ define uma aplicação
$$\begin{align}X_{(m,v)}:{\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R}) &\longrightarrow {\bf R}\notag\\ f&\mapsto D(f)_m(v).\notag \end{align}$$
A regra de Leibniz se escreve

X_(m,v)(fg)=f(m)X_(m,v)(g)+g(m) X_(m,v)(f),

ou seja, X_(m,v) é uma derivação da álgebra ${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$. A associação $(m,v)\leftrightarrow X_{(m,v)}$ identifica o fibrado tangente D(M) como a álgebra de derivações de ${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$. Alguns tratamentos definem assim o fibrado tangente (por exemplo, [H]). Dado um campo vetorial $\chi\in Vect(M)$ definimos uma transformação linear
$$\begin{align}\chi_1: {\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R}) &\longrightarrow {\it Hom... ... {\bf R}\notag\\ &\qquad \qquad m\mapsto D(f)_m(\chi_0(m)).\notag \end{align}$$
A regra de Leibniz assume então a forma

$$\chi_1(fg)=f\chi_1(g)+g\chi_1(f),$$

e $\chi_1$ está na álgebra $Der ({\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R}))$ de transformações lineares $({\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})) \rightarrow ({\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R}))$ que são derivações (isto é, obedecem à regra de Leibniz); a composta de duas destas transformações não obedece à regra de Leibniz, antes esta álgebra tem como produto a operação comutador definida por

[D₁,D₂]=D₁D₂-D₂D₁.

Esta operação não é associativa. Em vez da associatividade, é satisfeita a crucial identidade de Jacobi

[D₁,[D₂,D₃]]+[D₂,[D₃,D₁]]+[D₃, [D₁,D₂]]=0;

a regra da identidade de Jacobi é fixar uma conformação de colchetes, (a usada acima, por exemplo, é $[\bullet,[\bullet,\bullet]]$) e fazer permutações cíclicas nos índices. Uma álgebra cujo produto satisfaz a identidade de Jacobi é dita uma álgebra de Lie.

A associação
$$\begin{align}Vect(M)&\longrightarrow Der ({\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R}))\notag\\ \chi&\mapsto \chi_1\notag \end{align}$$
identifica o espaço de campos vetoriais com a álgebra de derivações de ${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$, e assim Vect(M) ganha uma estrutura de álgebra de Lie.