Apêndice A: A Linguagem Categórica

A.1 Categorias, funtores e transformações naturais. Uma categoria C é uma classe de objetos tal que:

• Para cada par ordenado (X,Y) de objetos é especificado um conjunto de morfismos denotado por ${\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$.
• Para cada objeto X é destacado um elemento ${\it id}_X$ em ${\it Hom}_{\bf C} (X,X)$.
• Para cada terno ordenado (X,Y,Z) de objetos é especificada uma função

$$\begin{eqnarray*}\circ : {\it Hom}_{\bf C} (X,Y) \times {\it Hom}_{\bf C} (Y,Z) &\rightarrow {\it Hom}_{\bf C} (X,Z)\\ (f,g)&\mapsto g\circ f. \end{eqnarray*}$$

Estes dados estão sujeitos aos seguintes axiomas:

• Para $f\in {\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$, $g\in {\it Hom}_{\bf C} (Y,Z)$ e $h\in {\it Hom}_{\bf C} (Z,W)$ temos
  
  $$(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f).$$
  
  

• Para $f\in {\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$ temos
  
  $${\it id}_Y\circ f = f = f\circ {\it id}_X.$$
  
  

Um funtor $\cal F$ entre duas categorias C e D, denotado por $\mathcal{ F}:{\bf C}\rightarrow {\bf D}$, é a especificação, para cada objeto X de C, de um objeto $\mathcal{ F}(X)$ de D e, para cada par de objetos (X,Y) de C, de uma aplicação de ${\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$ em ${\it Hom}_{\bf D} (\mathcal{ F}(X),$ $\mathcal{ F}(Y))$, denotada por $f\mapsto \mathcal{ F}(f)$. Estes dados estão sujeitos aos seguintes axiomas:

• Para cada objeto X de C temos $\mathcal{ F}({\it id}_X) = {\it id}_{\mathcal{ F}(X)}$.
• Para cada par $(f,g)\in {\it Hom}_{\bf C} (X,Y)\times {\it Hom}_{\bf C} (Y,Z)$ temos $\mathcal{ F}(g\circ f)=\mathcal{ F}(g) \circ \mathcal{ F}(f)$.

Um funtor tal como definido acima é às vezes qualificado de covariante, para distinguir da definição afim de funtor contravariante entre duas categorias C e D, que é a especificação, para cada objeto X de C, de um objeto $\mathcal{ F}(X)$ de D e, para cada par (X,Y) de objetos de C, de uma aplicação de ${\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$ em ${\it Hom}_{\bf D} (\mathcal{ F}(Y),\mathcal{ F}(X))$, denotada por $f\mapsto \mathcal{ F}(f)$. Estes dados estão sujeitos aos axiomas (A.1.3) e

• Para cada par $(f,g)\in {\it Hom}_{\bf C} (X,Y)\times {\it Hom}_{\bf C} (Y,Z)$ temos $\mathcal{ F}(g\circ f) = \mathcal{ F}(f)\circ \mathcal{ F}(g)$.

A contravariância é um artifício conveniente de notação, mas formalmente desnecessário: dada uma categoria C, denotamos por ${\bf C}^{\rm op}$ a categoria que tem os mesmos objetos de C e para a qual um morfismo de X em Y é um morfismo de C de Y para X:

$${\it Hom}_{{\bf C}^{\rm op}}(X,Y) ={\it Hom}_{\bf C}(Y,X).$$

Assim, um funtor contravariante de C para D é um funtor covariante de ${\bf C}^{\rm op}$ para D.

Dados dois funtores $\cal F$ e $\cal G$ entre as categorias C e D uma transformação natural $\kappa$ entre $\cal F$ e $\cal G$, denotada $\kappa :\mathcal{ F} \stackrel{\bullet}{\longrightarrow} \mathcal{ G}$, é a especificação, para cada objeto X de C, de um elemento $\kappa_X\in {\it Hom}_{\bf D} (\mathcal{ F}(X), \mathcal{ G}(X))$. Este dado é sujeito ao seguinte axioma

• Para cada elemento $f\in {\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$ temos $\mathcal{ G}(f)\circ \kappa_X = \kappa_Y\circ \mathcal{ F}(f)$.

Este axioma se representa graficamente pela comutatividade do quadrado de naturalidade (escrito em D):

$$\begin{matrix}\qquad \mathcal{ F}(X)& \mathop{\longrightarro... ...ngrightarrow}\limits^{\kappa_Y} &\mathcal{ G}(Y) \end{matrix}$$

Categorias, funtores e transformações naturais formam o contexto natural de trabalho do que faremos a seguir. Os objetos comumente estudados em álgebra e Topologia naturalmente se constituem em categorias: por exemplo, a categoria dos grupos, denotada por Grp, tem por objetos grupos e por morfismos homomorfismos de grupos, e analogamente para a categoria dos aneis, denotada por An, para a categoria dos módulos à esquerda sobre um anel A, denotada por $_A {\bf Mod}$, para a categoria Top que tem por objetos espaços topológicos e por morfismos funções contínuas, e assim por diante. Os objetos destas categorias são conjuntos dotados de uma estrutura adicional (de grupo, espaço topológico, etc) e os morfismos são as funções entre os objetos que preservam esta estrutura adicional. Estas categorias são chamadas categorias concretas, e se caracterizam pela existência de um funtor fiel $\mathcal{ E}:{\bf C} \rightarrow {\bf Conj}$, onde Conj é a categoria que tem por objetos, conjuntos, e por morfismos, funções, e $\cal E$ é dito funtor de esquecimento, que associa a cada objeto de C o conjunto subjacente sobre o qual é construida a estrutura adicional. (Um funtor é fiel se for injetor em cada conjunto de morfismos e é pleno se for sobrejetor nestes conjuntos).

Há também funtores de esquecimento como ${\bf An}\rightarrow {\bf Grp}$, que esquece a estrutura multiplicativa dos anéis, $_A{\bf Mod}\rightarrow {\bf Grp}$, e assim por diante.

Dadas duas transformações naturais $\kappa :\mathcal{ F} \stackrel{\bullet}{\longrightarrow} \mathcal{ G}$ e $\psi :\mathcal{ G} \stackrel{\bullet}{\longrightarrow} \mathcal{ H}$ de funtores $\mathcal{ F,G}$ e $\mathcal{ H}$ de C em D, podemos considerar as compostas a nível de cada objeto X de C: $(\psi \circ \kappa)_X=\psi_X \circ \kappa_X$. Assim, as transformações naturais entre funtores de C em D se compõem, e esta composição obedece aos axiomas (A.1.1) e (A.1.2), de maneira que transformações naturais são morfismos de uma categoria denotada por ${\bf D}^{\bf C}$ cujos objetos são funtores de C em D.

Dado um morfismo $f\in {\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$, se existir $g\in {\it Hom}_{\bf C} (Y,X)$ com $g\circ f ={\it id}_X$ (resp., $f\circ g ={\it id}_Y$) então g é dito inversa à esquerda (resp., inversa à direita) de f. Se f tiver simultaneamente inversa à esquerda e à direita então f é dito inversível, ou um isomorfismo. Os morfismos de Conj que tem inversa à esquerda são as funções injetoras, os que tem inversas à direita são as funções sobrejetoras e os inversíveis são as funções bijetoras, mas mesmo em categorias concretas, tão próximas de Conj, um morfismo pode ser dado por uma função injetora sem que tenha uma inversa à esquerda: por exemplo, a inclusão ${\bf Z}\rightarrow {\bf Q}$ em Anud, a categoria dos anéis com unidade (morfismos devem respeitar esta condição e levar unidades em unidades). Dois elementos X e Y de C para os quais existe $f\in {\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$ inversível são ditos isomorfos. Assim, dois objetos de Conj são isomorfos se e só se tiverem a mesma cardinalidade. Se C e D são categorias e $\mathcal{ F}:{\bf C}\rightarrow {\bf D}$ e $\mathcal{ G}:{\bf D}\rightarrow {\bf C}$ funtores satisfazendo $\mathcal{ F}\mathcal{ G}\simeq {\it id}_{\bf D}$ e $\mathcal{ G}\mathcal{ F}\simeq {\it id}_{\bf C}$, isomorfismos naturais em ${\bf D}^{\bf D}$ e ${\bf C}^{\bf C}$, respectivamente, então $\mathcal{ F}$ ou $\mathcal{ G}$ são chamados de equivalências de categorias. Uma equivalência de categorias $\mathcal{ F}$ como acima é necessariamente um funtor pleno e fiel, e além disso todo objeto de D é isomorfo a um objeto da forma $\mathcal{ F}(C)$.

Dado um morfismo $f\in {\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$, se para quaisquer $g,h\in {\it Hom}_{\bf C}(Z,X)$ a equação $f\circ g=f\circ h$ implicar g=h então f é um monomorfismo -- este será certamente o caso se f tiver uma inversa à esquerda. Dualmente, se para quaisquer $g,h\in {\it Hom}_{\bf C}(Y,Z)$ a equação $g\circ f=h\circ f$ implicar g=h então f é um epimorfismo -- este será certamente o caso se f tiver uma inversa à direita. Em Conj todo monomorfismo é uma injeção que tem uma inversa à esquerda; também, todo epimorfismo é uma sobrejeção que tem uma inversa à direita, mas para ver isto é necessário o uso do axioma da escolha. Na categoria de anéis An a inclusão ${\bf Z}\rightarrow {\bf Q}$ é um epimorfismo.

Dados dois monomorfismos $f:Y\rightarrow X$ e $g:Z\rightarrow X$, dizemos que $f\subset g$ quando existir $h:Y\rightarrow Z$, necessariamente um monomorfismo, tal que $f=g\circ h$. Esta relação só não é uma ordem parcial por falha da anti-simetria, mas, como é usual nestes casos, podemos passar ao quociente pela relação de equivalência que identifica $f\subset g$ e $g\subset f$ para obter uma ordem parcial no conjunto quociente, denotado por ${\rm Sub}_{\bf C}(X)$; um elemento deste conjunto quociente é dito um subobjeto.

A.2. O lema de Yoneda. Um objeto X de uma categoria C define naturalmente um funtor covariante ${\it Hom}_{\bf C} (X,\bullet )$ e um funtor contravariante ${\it Hom}_{\bf C} (\bullet ,X)$ de C para Conj da seguinte maneira. A cada objeto Y de C o funtor ${\it Hom}_{\bf C} (X,\bullet )$ associa o conjunto ${\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$ e o funtor ${\it Hom}_{\bf C} (\bullet ,X)$ associa o conjunto ${\it Hom}_{\bf C} (Y,X)$, e a cada morfismo $f\in {\it Hom}_{\bf C} (Y,Z)$ o funtor ${\it Hom}_{\bf C} (X,\bullet )$ associa a função ${\it Hom}_{\bf C} (X,f): {\it Hom}_{\bf C} (X,Y)\rightarrow {\it Hom}_{\bf C} (X,Z)$ obtida por $g\mapsto f\circ g$ e o funtor ${\it Hom}_{\bf C} (\bullet ,X)$ associa a função ${\it Hom}_{\bf C} (f,X):{\it Hom}_{\bf C} (Z,X) \rightarrow {\it Hom}_{\bf C} (Y,X)$ obtida por $g\mapsto g\circ f$. Um funtor $\mathcal{ F}:{\bf C} \rightarrow {\bf Conj}$ é representável se for essencialmente obtido assim, isto é, se existir um objeto X em C e transformações naturais $\psi :{\it Hom}_{\bf C} (X,\bullet ) \stackrel{\bullet}{\longrightarrow} \mathcal{ F}$ e $\varphi :\mathcal{ F} \stackrel{\bullet}{\longrightarrow} {\it Hom}_{\bf C} (X,\bullet )$ tais que para cada objeto Y em C as composições $\varphi_Y\circ \psi_Y$ e $\psi_Y\circ \varphi_Y$ sejam identidades. Dois funtores para os quais existe este par de transformações naturais são ditos naturalmente isomorfos. Há uma definição dual para um funtor contravariante representável.

Dados um funtor $\mathcal{ F}:{\bf C} \rightarrow {\bf Conj}$ e um objeto X em C, uma transformação natural $\psi :{\it Hom}_{\bf C} (X,\bullet ) \stackrel{\bullet}{\longrightarrow} \mathcal{ F}$ é inteiramente descrita pela ação de $\psi_X$ em ${\it id}_X$; com efeito, para todo objeto Y em C temos que para $f\in {\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$ vale a igualdade

$$\psi_Y\circ {\it Hom}_{\bf C} (X,f) = \mathcal{ F}(f)\circ \psi_X \tag{\bf A.2.1}$$ (A.2.1)

de funções $:{\it Hom}_{\bf C} (X,X)\rightarrow \mathcal{ F}(Y)$. Aplicando esta função em ${\it id}_X$ temos

$$\begin{eqnarray*}\psi_Y\circ {\it Hom}_{\bf C} (X,f)({\it id}_X) &= \psi_Y (f\... ...)\cr &= \psi_Y(f) = \mathcal{ F}(f)\circ \psi_X( {\it id}_X), \end{eqnarray*}$$

e assim para qualquer objeto Y em C descrevemos $\psi_Y$ em termos das variáveis $\cal F$ e X. A classe de transformações naturais de ${\it Hom}_{\bf C} (X,\bullet )$ em $\mathcal{ F}$ é então um conjunto que denotamos por ${\it Hom}_{{\bf Conj}^{\bf C}} ({\it Hom}_{\bf C}(X,\bullet ),\mathcal{ F})$, e temos uma bijeção (escrita em Conj)

$${\it Hom}_{{\bf Conj}^{\bf C}} ({\it Hom}_{\bf C}(X,\bullet ),\mathcal{ F}) \longrightarrow \mathcal{ F}(X),\tag{\bf A.2.2}$$ (A.2.2)

natural em $\mathcal{ F}$ e em X. Esta observação é comumente chamada de lema de Yoneda, e a equação acima se representa graficamente pela comutatividade do diagrama (escrito em Conj)

$$\begin{matrix}\qquad{\it Hom}_{\bf C} (X,X)& \mathop{\longri... ...longrightarrow}\limits^{\psi_Y} &\mathcal{ F}(Y) \end{matrix}$$

A.3. Limites. Muitas construções comuns das categorias usuais da álgebra e da Topologia são exemplos do conceito categórico de limite, ou de colimite, seu dual: dados uma categoria C, uma categoria J (a ser usada como índice) e um funtor $\mathcal{ F}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$, um limite de $\cal F$ é um objeto ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ em C e, para cada objeto i de J, um morfismo $f_i\in {\it Hom}_{\bf C} ({\rm Lim }\ \mathcal{ F},\mathcal{ F}(i))$ tal que para cada morfismo $u\in {\it Hom}_{\bf J}(i,j)$ temos $f_j = \mathcal{ F}(u)\circ f_i$. Estes dados devem obedecer a uma propriedade dita universal: para cada objeto X em C ao qual se associa uma construção ``paralela'' à que ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ possui, a saber, para cada objeto i de J, temos um morfismo $g_i\in {\it Hom}_{\bf C} (X,\mathcal{ F}(i))$ tal que para cada morfismo $u\in {\it Hom}_{\bf J}(i,j)$ tenhamos $g_j = \mathcal{ F}(u)\circ g_i$, deve existir um único morfismo $t\in {\it Hom}_{\bf C} (X, {\rm Lim }\ \mathcal{ F})$ satisfazendo $g_i=f_i\circ t$ para todo objeto i de J.

Por exemplo, se J for a categoria 2 que tem apenas dois objetos 1 e 2 e nenhum morfismo que não seja a identidade, um funtor $\mathcal{ F}:{\bf 2}\rightarrow {\bf C}$ é simplesmente a escolha de dois objetos $\mathcal{ F}(i)=X_i$ para i=1,2 em C, enquanto que um limite ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ é um objeto em C determinado por dois morfismos $p_i\in {\it Hom}_{\bf C} ({\rm Lim }\ \mathcal{ F},X_i)$ para i=1,2, tal que para todo objeto X de C dotado de morfismos $g_i\in {\it Hom}_{\bf C} (X,X_i)$ existe um único morfismo $g\in {\it Hom}_{\bf C} (X,{\rm Lim }\ \mathcal{ F})$ para o qual $g_i=p_i\circ g$. Este objeto ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ é dito produto de X₁ e X₂, e sempre existe se C for uma das categorias Conj, Top ou Grp, sendo simplesmente o produto cartesiano de conjuntos, o espaço topológico produto ou o produto de grupos, respectivamente.

Se Vaz for a categoria sem objetos nem morfismos então um funtor $\mathcal{ F}:{\bf Vaz}\rightarrow {\bf C}$ é vazio, enquanto que um limite ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ é um objeto em C tal que para cada objeto X de C existe um único morfismo $X\rightarrow {\rm Lim }\ \mathcal{ F}$. Este objeto ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ é dito objeto final em C, e existe se C for Conj (neste caso ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ é qualquer conjunto com um único elemento), Top ( ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ será então o espaço topológico construido sobre um conjunto com um único elemento com a única topologia possível) ou Grp ( ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ é o grupo trivial).

Se J for a categoria Paral que tem apenas dois objetos 1 e 2 e cujos únicos morfismos fora as identidades são descritos por $1\stackrel{\longrightarrow} {\longrightarrow} 2$, um funtor $\mathcal{ F}:{\bf Paral} \rightarrow {\bf C}$ é dado por dois morfismos $f,g\in {\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ F}(1),\mathcal{ F}(2))$, enquanto que um limite ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ é um objeto em C dado com um morfismo $p\in {\it Hom}_{\bf C} ({\rm Lim } \ \mathcal{ F},\mathcal{ F}(1))$ satisfazendo $f\circ p=g\circ p$, tal que para todo objeto X de C dotado de um morfismo $q\in {\it Hom}_{\bf C} (X,\mathcal{ F}(1))$ satisfazendo $f\circ q=g\circ q$ existe um único morfismo $u\in {\it Hom}_{\bf C} (X,{\rm Lim }\ \mathcal{ F})$ com $q=p\circ u$. Este objeto ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ é dito equalizador de f e g. Claramente se vê que p é necessariamente um monomorfismo.

Se J for a categoria Transv que tem apenas tres objetos 1, 2 e 3, e cujos únicos morfismos fora as identidades são descritos por

$$\begin{matrix}&3\\ \\ &\Big\downarrow\\ \\ 1\longrightarrow &2 \end{matrix}$$

um funtor $\mathcal{ F}:{\bf Transv}\rightarrow {\bf C}$ é dado por dois morfismos $f\in {\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ F}(1),\mathcal{ F}(2))$ e $g\in {\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ F}(3),\mathcal{ F}(2))$ enquanto que um limite ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ é um objeto em C dado com morfismos $p_1\in {\it Hom}_{\bf C} ({\rm Lim }\ \mathcal{ F},\mathcal{ F}(1))$ e $p_3\in {\it Hom}_{\bf C} ({\rm Lim }\ \mathcal{ F},\mathcal{ F}(3))$ satisfazendo $f\circ p_1=g\circ p_3$, tal que para todo objeto X de C dotado de morfismos $q_1\in {\it Hom}_{\bf C} (X,\mathcal{ F}(1))$ e $q_3\in {\it Hom}_{\bf C} (X,\mathcal{ F}(3))$ satisfazendo $f\circ q_1=g\circ q_3$ existe um único morfismo $u\in {\it Hom}_{\bf C} (X,{\rm Lim }\ \mathcal{ F})$ com $q_1=p_1\circ u$ e $q_3=p_3\circ u$. Este objeto ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ é dito produto fibrado de f e g, e denotado por $\mathcal{ F}(1)\times_{\mathcal{ F}(2)} \mathcal{ F}(3)$. Se f for um monomorfismo representando um subobjeto (ver (A.1)), então p₃ será também um monomorfismo, representando um subobjeto de $\mathcal{ F}(3)$ denotado por ${\rm Sub}_{\bf C}(g)$. Como ${\rm Sub}_{\bf C}(g\circ h)={\rm Sub}_{\bf C} (h)\circ {\rm Sub}_{\bf C}(g)$, temos que ${\rm Sub}_{\bf C}$ é um funtor contravariante de C em Conj. Quando este funtor é representável de modo a termos ${\rm Sub}_{\bf C}(X) \simeq {\it Hom}_{\bf C}(X,\Omega)$ então chamamos este objeto $\Omega$ que o representa de classificador de subobjetos . Por exemplo, ${\rm Sub}_{\bf Conj}$ é representado pelo objeto classificador de subobjetos dado por qualquer conjunto com dois elementos, já que um subconjunto Y em ${\rm Sub}_{\bf Conj}(X)$ é caracterizado por sua função característica $\chi_Y:X \rightarrow \{ 0,1\}$, definida por $\chi_Y(x)= 1$ se e só se $x\in Y$.

Limites nem sempre existem: a categoria Cor de corpos não tem produtos (um ``produto'' de corpos é um anel apenas, não é um corpo). Quando existem não são únicos: qualquer conjunto com um único elemento é um objeto final em Conj; mas dois limites $\mathcal{ L}$ e $\mathcal{ L}'$ de $\mathcal{ F}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$ são sempre isomorfos. Com efeito, $\mathcal{ L}$ e $\mathcal{ L}'$ devem satisfazer as propriedades universais apropriadas; por definição da propriedade universal para $\mathcal{ L}$ deve existir $f'\in {\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ L}', \mathcal{ L})$ satisfazendo as propriedades de comutação e analogamente para $f\in {\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ L},\mathcal{ L}')$. Estas composições também irão satisfazer as propriedades de comutação, assim como obviamente as satisfazem as identidades $id_\mathcal{ L}$ e $id_{\mathcal{ L}'}$. Agora invocamos a unicidade na propriedade universal para concluir que estas composições são isomorfismos.

O conceito dual de limite é o do colimite: dados uma categoria C, uma categoria J (a ser usada como índice) e um funtor $\mathcal{ F}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$, um colimite de $\cal F$ é um objeto ${\rm Colim }\ \mathcal{ F}$ em C e para cada objeto i de J um morfismo $f_i\in {\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ F}(i), {\rm Colim }\ \mathcal{ F})$ tal que para cada morfismo $u\in {\it Hom}_{\bf J}(i,j)$ temos $f_i = f_j\circ \mathcal{ F}(u)$. Estes dados devem obedecer à seguinte propriedade universal: para cada objeto X em C ao qual se associa, para cada objeto i de J, um morfismo $g_i\in {\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ F}(i),X)$ tal que para cada morfismo $u\in {\it Hom}_{\bf J}(i,j)$ tenhamos $g_i = g_j\circ \mathcal{ F}(u)$ deve existir um único morfismo $t\in {\it Hom}_{\bf C} ({\rm Colim }\ \mathcal{ F},X)$ satisfazendo $g_i=t\circ f_i$ para todo objeto i de J. Colimites para funtores tendo como domínios as categorias 2, Vaz, Paral e Transv são chamados coprodutos, objetos iniciais, coequalizadores e somas fibradas, respectivamente. Coprodutos existem em Top, sendo a construção da soma topológica de dois espaços, em Conj, sendo a união disjunta de dois conjuntos, em $_A {\bf Mod}$, sendo a soma externa $M\oplus N$ de dois modulos sobre um anel A, e em AnCom, a categoria de aneis comutativos com unidade, sendo o produto tensorial. O conjunto vazio é objeto inicial de Conj e de Top, o anel dos inteiros é objeto inicial de Anud. Somas fibradas e coequalizadores existem em Conj e em Top. Como no caso de limites, os colimites, quando existem, são únicos a menos de isomorfismos.

Os limites que existirem em uma categoria D existirão em qualquer categoria de funtores ${\bf D}^{\bf C}$, e são calculados ``ponto a ponto'' da seguinte forma: se ${\bf J}$ é uma categoria índice para a qual limites de funtores ${\bf J}\rightarrow {\bf D}$ existem então, para todo objeto X de C, a avaliação em X preserva este limite, de tal modo que um funtor $\mathcal{ F}: {\bf J}\rightarrow {\bf D}^{\bf C}$ fornece por avaliação em X um funtor $\mathcal{ F}_X:{\bf J}\rightarrow {\bf D}$ tal que $\mathcal{ F}_X(j)=\mathcal{ F}(j)(X)$, cujo limite existe por hipótese. Estes limites se juntam em um limite para $\mathcal{ F}$ para o qual temos a equação escrita em D

$${\rm Lim}\ \mathcal{ F}(X)={\rm Lim}\ \mathcal{ F}_X,$$

onde o limite à direita é calculado em D e o limite à esquerda em ${\bf D}^{\bf C}$.

Uma categoria é dita completa (resp., cocompleta) se tiver todos os limites (resp., todos os colimites). A este respeito temos o

Teorema sobre a Existência de Limites. A categoria C é completa se e só se tiver produtos e equalizadores.

A prova mostra como construir o limite de um funtor arbitrário $\mathcal{ F}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$ a partir de produtos e de equalizadores. Para isso em C consideramos o produto P dos objetos $\mathcal{ F}(i)$ para cada objeto i de J, e o produto Q dos objetos $\mathcal{ F}(j)$ para cada morfismo $u:i\rightarrow j$ em J. Assim, para cada objeto i de J temos uma projeção $p_i:P\rightarrow \mathcal{ F}(i)$ e para cada morfismo $u:i\rightarrow j$ de J temos uma projeção $q_u:Q\rightarrow \mathcal{ F}(j)$. Pela universalidade do produto Q existe um único morfismo $f:P\rightarrow Q$ com $\mathcal{ F}(u)\circ p_i=q_u\circ f$ e um único morfismo $g:P\rightarrow Q$ com $p_j=q_u\circ g$ para cada objeto i e cada morfismo $u:i\rightarrow j$ de J. O limite Lim $\mathcal{ F}$ então pode ser construido como o equalizador de f e g.

Um esquema mnemônico para esta prova é o seguinte: para $\mathcal{ F}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$ o ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ é o equalizador de $f,g:\prod_j \mathcal{ F}(j)\stackrel{\rightarrow}{\rightarrow} \prod_{u:j\rightarrow j'} \mathcal{ F}(j')$, onde o primeiro produto é tomado sobre os objetos j de J e o segundo sobre os morfismos $u:j\rightarrow j'$ de J e, se $\pi_u:\prod_u \mathcal{ F}(j')\rightarrow \mathcal{ F}(j')$ denota a projeção canônica, então $\pi_u\circ f=\pi_u\circ g$.

Vale um enunciado dual para colimites, que podem ser construidos através de coprodutos e coequalizadores. Em Conj, por exemplo,

$${\rm Colim}\ \mathcal{ F}=\amalg_j \mathcal{ F}(j)/E\tag{\bf A.3.1}$$ (A.3.1)

onde E é a relação de equivalência no coproduto (isto é, a reunião disjunta) dada colocando $x\in \mathcal{ F}(j)$ equivalente a $x'\in \mathcal{ F}(j')$ exatamente quando existirem $u:j\rightarrow k$ e $u':j'\rightarrow k$, morfismos em J, com $\mathcal{ F}(u)(x)=\mathcal{ F}(u')(x')$.

A categoria Conj é completa, e, pelo visto acima, também as categorias ${\bf Conj}^{\bf C}$.

A.4. Funtores adjuntos. Dado um funtor $\mathcal{ F}$ entre duas categorias C e D, diz-se que $\mathcal{ F}$ preserva limites se para cada limite ${\rm Lim}\ \mathcal{ L}$ em C tivermos $\mathcal{ F}({\rm Lim}\ \mathcal{ L}) = {\rm Lim}(\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L})$. O estudo sobre a preservação de limites em funtores nos leva ao conceito mais importante da teoria de categorias: Um funtor $\mathcal{ F}:{\bf C}\rightarrow {\bf D}$ é adjunto à esquerda de um funtor $\mathcal{ G}:{\bf D}\rightarrow {\bf C}$ se para cada par de objetos C em C e D em D existir uma bijeção (escrita em Conj)

$$\varphi_{C,D} : {\it Hom}_{\bf D}(\mathcal{ F}(C),D) \stack... ...tarrow} {\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ G}(D)),\tag{\bf A.4.1}$$ (A.4.1)

natural em C e D. Para designar a adjunção descrita acima usaremos a notação

$$\mathcal{ F}:{\bf C} \longleftrightarrow {\bf D}:\mathcal{ G},$$

onde o adjunto à esquerda é escrito à esquerda.

Grande número de situações familiares são exemplos de adjunções. A propriedade que caracteriza o produto tensorial de módulos sobre um anel A pode ser escrita como a existência de uma bijeção natural

$${\it Hom}_{\bf _AMod}(U\otimes_A V,W) \rightarrow {\it Hom}_{\bf _AMod}(U,{\it Hom}_{\bf _AMod}(V,W)). \tag{\bf A.4.2}$$ (A.4.2)

Isto é equivalente a dizer que o funtor ${\it Hom}_{\bf _AMod}(V,\bullet )$ representado por V é adjunto à direita do funtor $\bullet \otimes_A V: {\bf _AMod} \rightarrow {\bf _AMod}$.

Na definição de funtor adjunto a naturalidade (em C) de $\varphi$ deve ser entendida da seguinte maneira: dados objetos C e C' em C e $f\in {\it Hom}_{\bf C}(C,C')$ vale a equação escrita em ${\it Hom}_{\bf D}(C',\mathcal{ G}(D))$

$$\varphi_{C',D} (u\circ \mathcal{ F}(f)) = \varphi_{C,D} (u)\circ f$$

para todo $u \in {\it Hom}_{\bf D}(\mathcal{ F}(C'),D)$. Este raciocínio se representa graficamente pelo diagrama comutativo (escrito em Conj)

$$\begin{matrix}\qquad{\it Hom}_{\bf D} (\mathcal{ F}(C'),D)& ... ...phi_{C,D}} &{\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ G}(D)) \end{matrix}$$

Uma equação análoga para naturalidade em D pode ser analogamente explicitada.

Um Teorema importante garante que um funtor adjunto à esquerda preserva colimites:

Teorema da Preservação de Limites. Valem as seguintes situações em que limites são preservados.

1. Se $\mathcal{ F}:{\bf C}\rightarrow {\bf D}$ tem adjunto à esquerda (resp., à direita) e $\mathcal{ L}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$ tem um limite ${\rm Lim}\ \mathcal{ L}$ (resp., um colimite ${\rm Colim}\ \mathcal{ L}$) em C então $\mathcal{ F}({\rm Lim}\ \mathcal{ L}) = {\rm Lim}(\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L})$ (resp., $\mathcal{ F}({\rm Colim}\ \mathcal{ L}) = {\rm Colim}(\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L})$).

2. Funtores representáveis preservam limites: se C é objeto de uma categoria C então o funtor representável ${\it Hom}_{\bf C}(C,\bullet )\rightarrow {\bf Conj}$ é tal que, se $\mathcal{ L}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$ tem um limite ${\rm Lim}\ \mathcal{ L}$ então ${\it Hom}_{\bf C} (C,{\rm Lim}\ \mathcal{ L})= {\rm Lim}\ ({\it Hom}_{\bf C} (C,\bullet )\circ \mathcal{ L})$.

3. Limites comutam com limites (e colimites comutam com colimites), isto é, se o funtor $\mathcal{ F}$ for definido por limites então vale $\mathcal{ F}({\rm Lim}\ \mathcal{ L}) = {\rm Lim}(\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L})$. Formalmente isto significa que se $\mathcal{ F}:{\bf I}\times {\bf J}\rightarrow {\bf C}$ for funtor em A e em J e se existirem os limites ${\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}(\bullet ,j)$, ${\rm Lim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}(i,\bullet )$ e ${\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Lim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$, então ${\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Lim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}={\rm Lim}_{\bf J}\ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}$, e analogamente para colimites.

4. Colimites não comutam necessariamente com limites -- ao invés disto temos um morfismo natural $\kappa : {\rm Colim}_{\bf J}\ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}\rightarrow {\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$, que nem sempre é isomorfismo. No caso de um funtor $\mathcal{ F}:{\bf I}\times {\bf J}\rightarrow {\bf Conj}$ uma condição suficiente para termos $\kappa$ isomorfismo é a categoria I ser finita e a categoria J não ser vazia e satisfazer

4.i Para quaisquer objetos j, j' de J temos um objeto k de J e morfismos $j\rightarrow k$ e $j'\rightarrow k$.

4.ii Para quaisquer morfismos paralelos $u,v:j \stackrel{\rightarrow}{\rightarrow} j'$ existe um morfismo $w:j'\rightarrow k$ com $w\circ u=w\circ v$.

Uma categoria safisfazendo as condições em 4. é dita filtrada.

Para provar 1. suponhamos, por exemplo, que $\mathcal{ F}:{\bf C}\rightarrow {\bf D}$ tem adjunto à direita $\mathcal{ G}:{\bf D}\rightarrow {\bf C}$, tomamos o objeto $\mathcal{ F}({\rm Colim}\ \mathcal{ L})$ em D e mostremos que ele satisfaz à propriedade universal de colimite para $\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L}$. Para isso consideremos um objeto D em D tal que para cada objeto i de J tenhamos especificado um morfismo $u_i:\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L}(i) \rightarrow D$ em D tal que para cada morfismo $f:i\rightarrow j$ em J tenhamos $u_j\circ (\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L}(f)) = u_i$. Aplicando a bijeção $\varphi_{\mathcal{ L}(i),D}$ dada pela adjunção ao morfismo u_i obtemos $\varphi_{\mathcal{ L}(i),D} (u_i) \in {\it Hom}_{\bf C}(\mathcal{ L}(i), \mathcal{ G}(D))$, e a naturalidade de $\varphi$ nos objetos de C garante que $\varphi_{\mathcal{ L}(j),D} (u_j)\circ \mathcal{ L}(f) = \varphi_{\mathcal{ L}(i),D} (u_i)$ para cada morfismo $f:i\rightarrow j$ em J. Pela universalidade de ${\rm Colim}\ \mathcal{ L}$ existe um único morfismo $v:{\rm Colim}\ \mathcal{ L}\rightarrow \mathcal{ G}(D)$ ao qual aplicamos $\varphi^{-1}_{{\rm Colim}\ \mathcal{ L},\mathcal{ G}(D)}$ obtendo um morfismo $\varphi^{-1}(v): \mathcal{ F}({\rm Colim}\ \mathcal{ L})\rightarrow D$ em D. Este morfismo satisfaz as propriedades de comutação apropriadas e é único por naturalidade.

Para provar 2. aplicamos o funtor ${\it Hom}_{\bf C}(C,\bullet)$ em $\nu_i:{\rm Lim}\ \mathcal{ L} \rightarrow \mathcal{ L}(i)$, obtendo morfismos ${\it Hom}_{\bf C}(C,\nu_i): {\it Hom}_{\bf C}(C,{\rm Lim}\ \mathcal{ L})\rightarrow {\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ L}(i))$ por composição. Para mostrar a universalidade de ${\it Hom}_{\bf C}(C,{\rm Lim}\ \mathcal{ L})$ tomamos um outro objeto X em Conj com morfismos $\tau_i:X\rightarrow {\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ L}(i))$, para cada objeto i de J, satisfazendo as propriedades necessárias de comutação. Cada elemento x de X fornece um morfismo $\tau_i(x):C\rightarrow \mathcal{ L}(i)$ em C, também satisfazendo estas comutações necessárias. Por universalidade do limite ${\rm Lim}\ \mathcal{ L}$, existe um único morfismo $h_x:C\rightarrow {\rm Lim}\ \mathcal{ L}$ com $\nu_i\circ h_x=\tau_i(x)$. Definimos então $h:X\rightarrow {\it Hom}_{\bf C}(C,{\rm Lim}\ \mathcal{ L})$ por k(x)=h_x, e k é a única definição possível com ${\it Hom}_{\bf C}(C,\nu_i) \circ k=\tau_i$, provando a universalidade.

Para provar 3. construimos, para cada objeto i de I e cada objeto j de J, o diagrama escrito em C

$$\begin{matrix}\qquad \mathcal{ F}(i,j)& \mathop{\longleftarr... ...im}_{\bf I}\ {\rm Lim}_{\bf J} \ \mathcal{ F}\\ \end{matrix}$$

onde, por exemplo, $\mathcal{ F}(i,\bullet )$ denota um funtor ${\bf J}\rightarrow {\bf C}$, e por isto indexamos seu limite por J; observamos que ele só depende de i. Os morfismos $\mu_{ij}, \mu_i, \nu_{ij}$ e $\nu_j$ são dados pelas construções dos limites ${\rm Lim}_{\bf J}, {\rm Lim}_{\bf I}{\rm Lim}_{\bf J}, {\rm Lim}_{\bf I}$ e ${\rm Lim}_{\bf J} {\rm Lim}_{\bf I}$, respectivamente. Como, para cada objeto i de I, o morfismo composto $\nu_{ij}\circ \nu_j$ é natural em j, a universalidade do limite ${\rm Lim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}(i,\bullet )$ fornece um único morfismo $\alpha_i:{\rm Lim}_{\bf J} \ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}\rightarrow {\rm Lim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}(i,\bullet )$. Esta construção é natural em i, e por universalidade do limite ${\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Lim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$ temos um único morfismo $\kappa: {\rm Lim}_{\bf J} \ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}\rightarrow {\rm Lim}_{\bf I} \ {\rm Lim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$. Revertendo a situação em I e J, temos um morfismo único que será o inverso deste, e logo este $\kappa$ é um isomorfismo.

Para provar 4. construimos o morfismo $\kappa$ de modo análogo ao de 3., com algumas setas invertidas:

$$\begin{matrix}\qquad \mathcal{ F}(i,j)& \mathop{\longrightar... ...im}_{\bf J}\ {\rm Lim}_{\bf I} \ \mathcal{ F}\\ \end{matrix}$$

Os morfismos $\mu_{ij}$ e $\mu_j$ são dados pelas construções dos colimites ${\rm Colim}_{\bf J}$ e ${\rm Colim}_{\bf J}\ {\rm Lim}_{\bf I}$, respectivamente, e os morfismos $\nu_{ij}$ e $\nu_i$ são dados pelas construções dos limites ${\rm Lim}_{\bf I}$ e ${\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Colim}_{\bf J}$, respectivamente. Como, para cada objeto j de J, o morfismo composto $\mu_{ij}\circ \nu_{ij}$ é natural em i, temos que a universalidade do limite ${\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$ fornece um único morfismo $\alpha_j:{\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}(\bullet ,j) \rightarrow {\rm Lim}_{\bf I} \ {\rm Colim}\ \mathcal{ F}$. Esta construção é natural em j, e por universalidade do colimite ${\rm Colim}_{\bf J} \ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}$ temos um único morfismo $\kappa : {\rm Colim}_{\bf J}\ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}\rightarrow {\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$.

Suponhamos agora J filtrada. Um elemento x do limite ${\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$ é caracterizado, como todo elemento de um objeto de Conj, por um morfismo $x_0:\{ \ast \}\rightarrow {\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$. Para cada objeto i de I tomamos a composta $x_i:\{ \ast \}\rightarrow {\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Colim}_{\bf J} \ \mathcal{ F}\rightarrow {\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}(i,\bullet )$, que é um elemento do colimite ${\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F} (i,\bullet )$. Por definição de limite, para um morfismo $u:i\rightarrow i'$ em I devemos ter ${\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}(u,\bullet )(x_i)=x_{i'}$, como elementos em ${\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}(i',\bullet )$. Recordando a construção de colimites em Conj (A.3.1) vemos que este elemento pode ser representado por um elemento $\tilde x_i$ de $\mathcal{ F}(i,j)$, para algum j, sujeito à equivalência descrita em (A.3). Por 4.i, a igualdade destes elementos em ${\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F} (i,\bullet )$ pode ser testada em um mesmo conjunto $\mathcal{ F}(i,j')$, e por 4.ii esta igualdade pode ser testada pela aplicação de um morfismo $j'\rightarrow k$ de J. Como I é finito, este elemento x de ${\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$ pode ser representado por um elemento $\tilde x_i$ em $\mathcal{ F}(i,k)$ que obedece, para cada morfismo $u:i\rightarrow i'$ em I, $tilde x_{i'}=\mathcal{ F}(u,k)(\tilde x_i)$. Por definição, este é um elemento do ${\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F} (\bullet ,k)$. Tomando a imagem deste elemento em ${\rm Colim}_{\bf J} \ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}$, temos um aplicação ${\rm Lim}_{\bf I} \ {\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}\rightarrow {\rm Colim}_{\bf J} \ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}$ bem definida e natural, e inversa do morfismo $\kappa$ acima.

O funtor de esquecimento $\mathcal{ E}:{\bf Grp}\rightarrow {\bf Conj}$ tem um adjunto à esquerda $\mathcal{ F}: {\bf Conj}\rightarrow {\bf Grp}$ que associa a cada conjunto X o grupo livre $\mathcal{ F}(X)$ gerado por X; o funtor $\mathcal{ E}$ é adjunto à direita de $\mathcal{ F}$ e logo preserva limites: isto explica porque o produto de grupos é construido sobre o produto cartesiano dos conjuntos subjacentes aos grupos. No entanto, o objeto inicial de Grp é o grupo trivial (só a identidade como elemento; é também objeto final em Grp), e fazendo o funtor de esquecimento agir neste objeto não obtemos o objeto inicial de Conj (que é o conjunto vazio). Isto mostra que $\mathcal{ E}$ não preserva colimites, e portanto não tem funtor adjunto à direita.

O funtor de esquecimento $\mathcal{ E}: {\bf Top}\rightarrow {\bf Conj}$ tem um adjunto à esquerda $\mathcal{ D}: {\bf Conj}\rightarrow {\bf Top}$ que associa a cada conjunto X o espaço topológico dado pela topologia discreta em X (tudo aberto), e tem um adjunto à direita $\mathcal{ G}:{\bf Conj}\rightarrow {\bf Top}$ que associa a cada conjunto X o espaço topológico dado pela topologia grosseira em X (só X e $\emptyset$ abertos). Isto explica porque $\mathcal{ E}$ preserva limites e colimites de Top: a topologia produto é construida sobre o produto cartesiano dos conjuntos subjacentes aos espaços, e a soma topológica é construida sobre a soma (i.e., a união disjunta) dos conjuntos subjacentes. Assim, também como Conj, a categoria Top é completa e cocompleta.

Adjunções às vezes se manifestam sem a interferência dos conjuntos de morfismos, por exemplo, das seguintes maneiras. Podemos em (A.4.1), à maneira de Yoneda, avaliar a bijeção $\varphi_{C, \mathcal{ F}(C)}$ na identidade ${\it id}_{\mathcal{ F}(C)}$, obtendo um morfismo $\eta_C:C\rightarrow \mathcal{ G}\mathcal{ F}(C)$. Esta aplicação $\eta$ é dita a unidade da adjunção em C. Como temos, para todo morfismo $h\in {\it Hom}_{\bf D} (\mathcal{ F}(C),D)$, o seguinte diagrama comutativo escrito em Conj expressando a naturalidade de $\varphi$

$$\begin{matrix}\qquad{\it Hom}_{\bf D} (\mathcal{ F}(C),\math... ...phi_{C,D}} &{\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ G}(D)) \end{matrix}$$

segue que

$$\begin{eqnarray*}\varphi_{C,D}(h) &=\varphi_{C,D}\circ {\it Hom}_{\bf D} (\mat... ...(C)})\\ &={\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ G}(h)) \circ \eta_C, \end{eqnarray*}$$

o que mostra que $\varphi_{C,D}$ pode ser escrito em termos de $\eta_C$, e logo a unidade $\eta$ determina a adjunção $\varphi$.

Uma adjunção pode ser também determinada pelo dual da unidade, a saber, a counidade da adjunção, dada pela aplicação de $\varphi_{C,D}^{-1}$ à unidade ${\it id}_{\mathcal{ G}(D)}$ do conjunto de morfismos ${\it Hom}_{\bf C}(\mathcal{ G}(D), \mathcal{ G}(D))$. O argumento que mostra isto, à maneira de Yoneda, é inteiramente dual.

Se a unidade $\eta:1\stackrel {\bullet}{\rightarrow} \mathcal{ GF}$ e a counidade $\epsilon:\mathcal{ FG} \stackrel{\bullet}{\rightarrow} 1$ de uma adjunção forem isomorfismos naturais então $\mathcal{ F}$ (ou $\mathcal{ G}$) definem uma equivalência de categorias, e vale a recíproca. Neste caso, $\mathcal{ F}$ é tanto o adjunto à esquerda de $\mathcal{ G}$ por uma adjunção cuja unidade é $\eta$ quanto o adjunto à direita de $\mathcal{ G}$ por uma adjunção cuja unidade é $\epsilon^{-1}$.

A.5. Espaços sob e sobre espaço. Seja C um objeto de uma categoria C. A categoria ${\bf C}_C$ de espaços sobre C tem por objetos elementos $f \in {\it Hom}_{\bf C}(X,C)$ e os morfismos entre $f \in {\it Hom}_{\bf C}(X,C)$ e $g \in {\it Hom}_{\bf C}(Y,C)$ são dados por elementos $h \in {\it Hom}_{\bf C}(X,Y)$ que satisfazem $g\circ h = f$. De maneira dual a categoria ${\bf C}^C$ de espaços sob C tem por objetos elementos $f \in {\it Hom}_{\bf C}(C,X)$ e os morfismos entre $f \in {\it Hom}_{\bf C}(C,X)$ e $g \in {\it Hom}_{\bf C}(C,Y)$ são dados por elementos $h \in {\it Hom}_{\bf C}(X,Y)$ que satisfazem $h\circ f = g$. Tanto ${\bf C}_C$ quanto ${\bf C}^C$ admitem naturalmente funtores de esquecimento $\mathcal{ E}_C: {\bf C}_C\rightarrow {\bf C}$ e $\mathcal{ E}^C:{\bf C}^C\rightarrow {\bf C}$ levando o objeto $f \in {\it Hom}_{\bf C}(X,C)$ em X e o morfismo $h \in {\it Hom}_{\bf C}(X,Y)$ em h.

A identidade ${\it id}_C:C\rightarrow C$ é objeto final de ${\bf C}_C$ e objeto inicial de ${\bf C}^C$. Os funtores $\mathcal{ E}_C$ e $\mathcal{ E}^C$ levam naturalmente ${\it id}_C$ em C, o que mostra que $\mathcal{ E}_C$ (respectivamente, $\mathcal{ E}^C$) não tem em geral adjunto à esquerda (respectivamente, à direita). Se, no entanto, C tiver coprodutos finitos (isto é, colimites para funtores vindo de categorias com finitos objetos e sem morfismos que não sejam identidades) então $\mathcal{ E}^C$ tem um adjunto à esquerda que associa a cada objeto X de ${\bf C}$ o objeto de ${\bf C}^C$ dado por $C\rightarrow X\amalg C$ (onde $X\amalg C$ denota o coproduto de X e C). A bijeção natural $\varphi$ que define a adjunção associa a cada morfismo $h:X\rightarrow Y$ de C a aplicação única $X\amalg C\rightarrow Y$ dada pela propriedade universal do coproduto. De maneira dual, se C tiver produtos finitos então $\mathcal{ E}_C$ tem um adjunto à direita que associa a cada objeto X de C o objeto de ${\bf C}_C$ dado pela projeção $X\times C\rightarrow C$. Isto mostra que as categorias ${\bf Conj}_C$ e ${\bf Top}_C$ são completas, e que as categorias ${\bf Conj}^C$ e ${\bf Top}^C$ são cocompletas.

Se C possui produtos fibrados (respectivamente, somas fibradas) então tanto ${\bf C}^C$ quanto ${\bf C}_C$ possuem estes produtos (resp., somas) e tanto $\mathcal{ E}^C$ quanto $\mathcal{ E}_C$ preservam estes produtos (resp., somas). No caso de produtos, por exemplo, consideramos os morfismos $f_1:X_1\rightarrow X_2$ e $f_3:X_3\rightarrow X_2$ entre os objetos $g_i:X_i\rightarrow C$ de ${\bf C}_C$, para i=1,2,3; temos o produto fibrado $X_1\times_{X_2}X_3$ de f₁ e f₂ em C dado com $l_i:X_1\times_{X_2}X_3\rightarrow X_i$ para i=1,3. Tomando o produto fibrado $X_1\times_CX_3$ de g₁ e g₃ e sua universalidade obtemos $X_1\times_{X_2}X_3\rightarrow X_1\times_CX_3$ e a composta $X_1\times_{X_2}X_3 \rightarrow X_1\times_CX_3 \rightarrow C$ será vista como o objeto $g_1\circ l_1 = g_3\circ l_3$ de ${\bf C}_C$. Para testar nesta composta a propriedade universal tomamos um objeto $h:Y\rightarrow C$ de ${\bf C}_C$ e morfismos $h_1:Y\rightarrow X_1$ e $h_3:Y\rightarrow X_3$ em ${\bf C}_C$ (de modo que $g_i\circ l_i = h$ para i=1,3) satisfazendo comutações (de modo que $f_1\circ h_1 = f_3\circ h_3$ em ${\bf C}_C$); pela universalidade de $X_1\times_{X_2}X_3$ em C existe um único morfismo $u:Y\rightarrow X_1\times_{X_2}X_3$ em C satisfazendo $l_i\circ u = h_i$ para i=1,3. Devemos mostrar que u é morfismo em ${\bf C}_C$, mas isto é consequência de $g_i\circ l_i\circ u=g_i\circ h_i=h$.

Um argumento análogo mostra que se C tem coequalizadores então ${\bf C}_C$ também os tem e $\mathcal{ E}_C$ os preserva: dados objetos $g_1:X_1\rightarrow C$ e $g_2:X_2\rightarrow C$ em ${\bf C}_C$ e morfismos $m,n:X_1 \rightarrow X_2$ em ${\bf C}_C$ tomamos o coequalizador $X_2\stackrel{c} {\rightarrow} X_3$ em C. Como m e n são morfismos em ${\bf C}_C$ temos $g_2\circ m=g_1=g_2\circ n$, e usando a universalidade do coequalizador temos que existe um único morfismo $u:X_3\rightarrow C$ com $g_2=u\circ c$, e logo $u:X_3\rightarrow C$ é coequalizador em ${\bf C}_C$. A universalidade de um coproduto $X_1\amalg X_2$ que existir em C mostra que o coproduto também será um objeto de ${\bf C}_C$, e também coproduto lá. Isto mostra que ${\bf Conj}_C$ e ${\bf Top}_C$ são cocompletas.

Se C for objeto inicial (respectivamente, final) de C então ${\bf C}^C$ (resp., ${\bf C}_C$) se reduz a C. Por exemplo, em Conj o conjunto $\{\ast \}$ com um só elemento é objeto final, e logo ${\bf Conj}_\ast$ é Conj, mas ${\bf Conj}^\ast$ é a categoria de conjuntos com um ponto base e analogamente para ${\bf Top}^\ast$.

Se C possui produtos fibrados (resp., somas fibradas) e $f:C'\rightarrow C$ é morfismo em C então o funtor $f^\ast :{\bf C}_C\rightarrow {\bf C}_{C'}$ (resp., $f_\ast :{\bf C}^{C'}\rightarrow {\bf C}^C$) que a cada objeto $g:D\rightarrow C$ de ${\bf C}_C$ (resp., $g:C'\rightarrow D'$ de ${\bf C}^{C'}$) associa o produto fibrado $D\times_C C'$ (resp., a soma fibrada $C\amalg D'$) tem um adjunto à esquerda $\Sigma_f$ (resp., um adjunto à direita $\Pi_f$) dado pela composição com f à esquerda (resp., à direita):

$$\Sigma_f :{\bf C}_{C'}\longleftrightarrow {\bf C}_C:f^\ast \tag{\bf A.5.1}$$ (A.5.1)

e

$$f_\ast:{\bf C}^C\longleftrightarrow {\bf C}^{C'}:\Pi_f. \tag{\bf A.5.2}$$ (A.5.2)

Nos dois casos, os adjuntos são dados pelas propriedades universais envolvidas. A.6. Objetos de Hopf. Seja C uma categoria que possua produtos finitos, inclusive o objeto terminal, denotado por 1, que é o produto vazio. Um objeto de Hopf (ou objeto de grupo) é um objeto H de C tal que existe um morfismo $\mu :H\times H\rightarrow H$ que faz com que para todo objeto X de C, ${\it Hom}_{\bf C}(X,H)$ tenha uma estrutura de grupo, natural em X, dada pela seguinte regra: para morfismos $f,g\in {\it Hom}_{\bf C}(X,H)$ então a operação é definida por $X\stackrel{(f,g)}{\longrightarrow} H\times H \stackrel{\mu}{\longrightarrow} H$, (aqui $(f,g) \in {\it Hom}_{\bf C} (X,H\times H)$ é a aplicação dada pela propriedade universal do produto). Desta maneira temos um funtor de esquecimento contravariante $\mathcal{ E}:{\bf C}\rightarrow {\bf Grp}$ representado por H.

O conceito dual de co-objeto de Hopf em categorias que tenham coprodutos significa um objeto H de C para o qual existe um morfismo $\Delta :H\rightarrow H\amalg H$ que faz com que para todo objeto X de C, ${\it Hom}_{\bf C}(H,X)$ tenha uma estrutura de grupo, natural em X, dada pela seguinte regra: para morfismos $f,g\in {\it Hom}_{\bf C}(H,X)$ então a operação é definida por $H\stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H\amalg H \stackrel{(f,g)}{\longrightarrow} X$ Desta maneira temos um funtor de esquecimento covariante $\mathcal{ E}:{\bf C}\rightarrow {\bf Grp}$ representado por H.

Para um objeto de Hopf H em C a naturalidade da estrutura de grupo no conjunto ${\it Hom}_{\bf C}(X,H)$ significa que para um morfismo $f:X\rightarrow X'$ a função ${\it Hom}_{\bf C}(f,H): {\it Hom}_{\bf C}(X',H)\rightarrow {\it Hom}_{\bf C}(X,H)$ é um homomorfismo de grupos.

Como ${\it Hom}_{\bf C}(1,H)$ tem estrutura de grupo existe um morfismo $\epsilon:1\rightarrow H$ que é a unidade deste grupo, caracterizado pela comutatividade do diagrama escrito em C

$$\begin{eqnarray*}H=H\times 1 \longrightarrow &H\times H\\ {\it id}_H \searrow &\downarrow \mu \\ &H \end{eqnarray*}$$

Um objeto de Hopf H em Conj é simplesmente um grupo, que pode ser identificado com ${\it Hom}_{\bf C}(1,H)$.

Um objeto de Hopf H é dito abeliano se for comutativo o seguinte diagrama escrito em C onde o morfismo horizontal $\tau$ é a troca de coordenadas

$$\begin{eqnarray*}H\times H \mathop{\longrightarrow}\limits^{\tau} &H\times H\\ \mu \searrow &\downarrow \mu \\ &H \end{eqnarray*}$$

Topólogos identificaram pela primeira vez objetos e co-objetos de Hopf, na categoria ${\bf HomTop}_*$ de classes de homotopia de espaços topógicos com um ponto-base, sob a denominação H grupos e H cogrupos (ver, por exemplo, [Sp], que inclui os axiomas de co-objeto de Hopf na página 40).