Módulos

Nesta seção $q\not=\pm 1$, de modo que 1/(q-q^-1) está bem definido. Isto será aproveitado na definição

$$[n]_q=\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}=q^{n-1}+ q^{n-3}+\cdots +q^{-n+3}+q^{-n+1}.$$

Estes elementos aparecem substituindo inteiros em fórmulas nos módulos de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$. Os ``fatoriais'' e ``coeficientes binomiais'' que surgem são definidos por

$$[n]_q!=[1]_q.[2]_q.\cdots ,[n]_q, \qquad \binom{n}{k}_q=\frac{[n]_q!}{[k]_q! [n-k]_q!}.$$

Valem

$$[-n]_q=-[n]_q,\qquad [n+m]_q=q^n[m]+q^{-m}[n].$$

Se q não for raiz da unidade então $[n]_q\not= 0$.

O objetivo agora é quantizar o que foi feito em 1. de I.5 para representações de sl₂. Os módulos simples de dimensão finita de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ são também ``módulos de peso máximo'', mas agora os vetores de peso máximo são autovetores de K. Especificamente, se V for um módulo sobre $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ então se

$$Kv=\lambda v\qquad {\rm para}\qquad v\not= 0$$

$\lambda$ é chamado de peso, e para $\lambda$ um peso o autoespaço de K associado a $\lambda$ é denotado $V^\lambda$. Valem

$$EV^\lambda\subset V^{q^2\lambda}\qquad {\rm e}\qquad FV^\lambda\subset V^{q^{-2}\lambda}.$$

Se $v\in V^\lambda\setminus \{0\}$ for tal que Ev=0 então v é dito vetor de peso máximo. Um módulo de peso máximo é um módulo gerado por um vetor de peso máximo.

Sob a hipótese $k={\bf C}$ todo módulo de dimensão finita tem um vetor de peso máximo. A demosntração segue os passos da apresentada para o caso clássico.

Valem as seguintes relações análogas às clássicas encontradas em 1. de (I.4), para um vetor de peso máximo V de peso $\lambda$:

$$K\frac{F^iv}{[i]_q!}=\lambda q^{-2i} \frac{F^iv}{[i]_q!},$$

$$E\frac{F^iv}{[i]_q!}=\frac{q^{-(i-1)}\lambda -q^{i-1} \lambda^{-1}}{q-q^{-1}} \frac{F^{i-1}v}{[i-1]_q!},$$

e

$$F\frac{F^{i-1}v}{[i-1]_q!}=[i]_q \frac{F^iv}{[i]_q!}.$$

Assim, $\{ \frac{F^iv}{[i]_q!}\}$ é uma sequência de autovetores de K com autovalores distintos e, novamente, deve existir um maior inteiro i para o qual $\frac{F^iv}{[i]_q!}$ não seja nulo. De fato, pelas relações acima

$$0=E \frac{F^{i+1}v}{{i+1}!}= \frac{q^{-i}\lambda -q^i \lambda^{-1}}{q-q^{-1}} \frac{F^iv}{[i]_q!},$$

e logo $\lambda =\pm q^i$. Como no caso clássico segue que se o módulo for simples então é módulo de peso máximo de dimensão i+1, e estes módulos são denotados por $V_{\pm, i}$, onde o sinal é dado por $\lambda =\pm q^i$. Também $\{ \frac{F^jv}{[j]_q!}\}_{i=0,\ldots ,i}$ é base de $V_{\pm, i}$, e a ação de K é diagonal com i+1 autovalores distintos $\pm q^i,\pm q^{i-2},\ldots ,\pm q^{-i+2}, \pm q^i$ (com sinais combinando: ou todos + ou todos -). Quaisquer dois vetores de peso máximo diferem por uma constante multiplicativa. Finalmente, qualquer módulo simples de dimensão finita sobre $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ é um módulo de peso máximo, e dois destes não são isomorfos. Assim, para cada dimensão i existem exatamente dois módulos simples sobre $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ não isomorfos V_+,i-1 e V_-,i-1.

Para um escalar $\lambda$ qualquer (não da forma $\lambda =\pm q^i$), as seguintes relações impostas sobre o espaço vetorial $V(\lambda)$ de dimensão infinita com base enumerável $\{ v_j\}_{j\in {\bf N}}$

$$Kv_j=\lambda q^{-2j}v_j,$$

$$Ev_j=\frac{q^{-(i-1)}\lambda -q^{i-1} \lambda^{-1}}{q-q^{-1}}v_{j-1},$$

e

Fv_j-1=[i]_qv_j

dotam $V(\lambda)$ da estrutura de um módulo sobre $\mathcal{ U}_q(sl_2)$, onde v₀ é vetor de peso máximo. Estes módulos são ditos módulos de Verma e são universais no sentido de que todo módulo de peso màximo V sobre $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ com peso máximo $\lambda$ é quociente de $V(\lambda)$.

O comutador de K em $\mathcal{ U}_q(sl_2)$, denotado por $\mathcal{ U}_q(sl_2)_K$ é o conjunto de elementos de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ que comutam com K. Como a conjugação por K atua na base de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ por

K(FⁱK^lE^j)K^-1=q^2(j-i)FⁱK^lE^j,

vale que

$$\mathcal{ U}_q(sl_2)_K=\sum_{i\in {\bf N}} F^iP_i(K,K^{-1})E^i,$$

onde $P_i\in k[T,T^{-1}]$. o ideal à esquerda cal I de $\mathcal{ U}_q(sl_2)_K$ gerado por E,

$$\mathcal{ I}=\mathcal{ U}^+\cap \mathcal{ U}_q(sl_2)_K,$$

é dado também por

$$\mathcal{ I}=\mathcal{ U}^+\cap \mathcal{ U}_q(sl_2)_K,$$

e vale

$$\mathcal{ U}_q(sl_2)_K= k[K,K^{-1}]\oplus \mathcal{ I}.$$

Isto se vê diretamente.

Assim $\mathcal{ I}$ é um ideal bilateral de $\mathcal{ U}_q(sl_2)_K$ e a projeção

$$\varphi:\mathcal{ U}_q(sl_2)_K\longrightarrow l[K,K^{-1}]$$

é um morfismo em ${\bf Alg}_k$ dito o homomorfismo de Harish-Chandra.

Se V for módulo de peso máximo de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ com peso máximo $\lambda$ então para todo elemento central $z\in Z(\mathcal{ U}_q(sl_2))$ e todo $v\in V$ vale

$$zv=\varphi(z)(\lambda)v.$$

De fato, z pode ser escrito

$$z=\varphi(z)+\sum_{i\in {\bf N}^+} F^iP_iE^i.$$

Se v₀ for o vetor de peso máximo então Ev₀=0, e como $Kv_0=\lambda v_0$ vale $zv_0=\varphi(z)(\lambda)v_0$. Mas $V(\lambda)$ é gerado por v₀, e logo para todo $v=uv_0\in V(\lambda)$ com $u\in \mathcal{ U}_q(sl_2)$ vale

$$zv=zuv_0=uzv_0=\varphi(\lambda)uv_0= \varphi(\lambda)v.$$

Em particular, o elemento de Casimir quântico age por multiplicação pelo escalar

$$\frac{q\lambda+q^{-1}k^{-1}}{(q-q^{-1})^2}.$$

A restrição de homomorfismo de Harish-Chandra $\varphi$ ao centro $Z(\mathcal{ U}_q(sl_2))$ é injetiva, já que se $z\in Z(\mathcal{ U}_q(sl_2))$ é não nulo e satisfaz $\varphi(z)=0$ é possível escrever

$$z=\sum_{0<i\le l}F^iP_iE^i.$$

Tomando um módulo de Verma $V(\lambda)$ com $\lambda\not= q^r$ para nenhum r, então Ev_i=0 só para i=0, e aplicando z em v_i vale que

$$zv_i=\varphi(z)(\lambda)v_i=0,$$

por um lado, e por outro,

$$zv_i=F^IP_iE^iv_i=cP_i(\lambda)v_i$$

para $c\not= 0$. Segue que $P_i(\lambda)=0$ e haveria um polinômio com infinitas raízes, um absurdo.