A Álgebra dos Grupos Clássicos

Um algebrista, admirando grupos clássicos, fica fascinado como suas definições independem grandemente do corpo (ou anel) de constantes k (no caso de grupos unitários é necessário um automorfismo involutivo em k, mas isto é tudo). Mais ainda, grupos clássicos definidos sobre anéis comutativos A e A' podem ser comparados através de um morfismo $A\rightarrow A'$, que define um morfismo dos grupos clássicos por ``mudança de base''. Na verdade, o que o fascina é o fato de grupos clássicos serem funtores. Assim, por exemplo, Gl_n(A) é o funtor da categoria de anéis comutativos para a categoria de grupos

$$Gl_n:{\bf AnCom}\longrightarrow {\bf Grp}$$

que a cada anel A associa Gl_n(A). A aplicação determinante aparece agora como uma transformação natural $\det: Gl_n \stackrel {\bullet}{\rightarrow} Gl_1$; a naturalidade de $\det$ se expressa na comutatividade do diagrama

$$\begin{matrix}\qquad Gl_n(A)& \mathop{\longrightarrow} &Gl_... ...quad Gl_1(A)& \mathop{\longrightarrow} &Gl_1(B) \end{matrix}$$

que resulta da expressão polinomial do determinante nas coordenadas-entradas das matrizes: um morfismo de anel nestas entradas forçosamente preserva esta expressão polinomial, e o diagrama então comuta.

O núcleo de $\det$ é, como esperado, o funtor Sl_n, que associa a cada anel A o grupo Sl_n(A). Assumindo que o anel A é comutativo e contem o corpo k, ou seja, considerando os funtores definidos na categoria ${\bf AlgCom}_k$ de álgebras comutativas sobre k, algo ainda mais interessante acontece: existe um elemento universal para estes funtores ou, equivalentemente, Sl_n é representável: para cada álgebra comutativa sobre k vale

$$Sl_n(A)={\it Hom}_{{\bf AlgCom}_k} (k[\{X_{ij}\}]/(1-\det),A).$$

Isto significa: o funtor Sl_n é representado pela álgebra $k[\{X_{ij}\}]/(1-\det(X_{ij}))$. Em última análise o que se usa é a propriedade universal de anéis de polinômios. Por exemplo,

$$Sl_2(A)={\it Hom}_{{\bf AlgCom}_k} (k[X_{11},X_{12},X_{21},X_{22}] /(1-(X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21})).$$

Também Gl_n é representável na categoria ${\bf AlgCom}_k$: neste caso é adicionada uma variável extra T ao conjunto $\{ X_{ij}\}$ de variáveis, e vale

$$Gl_n(A)={\it Hom}_{{\bf AlgCom}_k} (k[\{X_{ij}\},T]/(1-T\det (X_{ij})),A).$$

Também as condições que definem os outros grupos clássicos podem ser expressas funtorialmente: os grupos ortogonais, por exemplo, são grupos dados por matrizes A que satisfazem AA^t=I, que é uma condição polinomial nas entradas de A.

O fato de grupos clássicos serem dados por funtores representáveis se traduz dizendo que estes objetos que os representam são co-objetos de Hopf da categoria ${\bf AlgCom}_k$ (ver (A.6)). A categoria ${\bf AlgCom}_k$ é completa e cocompleta, o co-produto de A e B sendo dado pelo produto tensorial $A\otimes_k B$. Um co-objeto de Hopf é uma álgebra A, comutativa sobre k, para a qual existem os morfismos em ${\bf AlgCom}_k$ dados por

$$\Delta:A\longrightarrow A\otimes A,$$

dito co-multiplicação,

$$\epsilon:A\longrightarrow k,$$

dito co-unidade ou aumentação, e

$$S:A\longrightarrow A,$$

dito antípoda. Estes dados estão submetidos aos axiomas que se resumem na comutatividade dos diagramas

$$\begin{matrix}A\otimes A\otimes A& \mathop{\longleftarrow} ... ...& \mathop{\longleftarrow} \limits^{\Delta} &A, \end{matrix}$$

que garante a associatividade do grupo ${\it Hom}_{{\bf AlgCom}_k}(A,B)$,

$$\begin{matrix}k\otimes A& \mathop{\longleftarrow} \limits^{... ...d A& \mathop{\longleftarrow} \limits^{=} &A, \end{matrix}$$

que garante que a co-unidade $\epsilon :A\rightarrow k$ é o morfismo dual da ``escolha de unidade'' $\{ *\} \rightarrow G$ em um grupo G, e

$$\begin{matrix}A& \mathop{\longleftarrow} \limits^{(S,id)} ... ...& \mathop{\longleftarrow} \limits^{\epsilon} &A\end{matrix},$$

que garante que o morfismo antípoda funcione como o dual da inversão no grupo.

Uma álgebra comutativa sobre k, objeto de ${\bf AlgCom}_k$, dotada de morfismos $\Delta, \epsilon$ e S que funcionam, respectivamente, como co-multiplicação, co-unidade e antípoda (e logo tornam comutativos os diagramas acima), é dita uma álgebra de Hopf comutativa sobre k.

O lema de Yoneda (A.2) garante que funtores representáveis ${\bf AlgCom}_k \rightarrow {\bf Grp}$ (como os grupos clássicos) correspondem a álgebras de Hopf comutativas sobre k. São, também, os co-objetos de Hopf de ${\bf AlgCom}_k$.

Funtores representáveis formam naturalmente uma categoria, em que morfismos são dados quer por transformações naturais quer (via o lema de Yoneda), por morfismos em ${\bf AlgCom}_k$ das álgebras de Hopf comutativas sobre k correspondentes. Álgebras de Hopf comutativas sobre k formam naturalmente uma categoria ${\bf AlgHopfCom}_k$; contrariamente ao caso de álgebras de Lie, uma álgebra de Hopf é uma álgebra associativa, e assim existe um funtor de esquecimento

$$\mathcal{ E}_{\bf HopfCom}:{\bf AlgHopfCom}_k \longrightarrow {\bf AlgCom}_k. \tag{\bf I.3.1}$$ (I.3.1)

Uma álgebra A, objeto de ${\bf Alg}_k$, pode ser vista como um espaço vetorial dotado de morfismos

$$\mu:A\otimes A\longrightarrow A, \qquad u:k\longrightarrow A,$$

que fornecem, respectivamente, a multiplicação e a estrutura de álgebra sobre k. Estes morfismos devem satisfazer as condições usuais, que podem ser expressas por comutatividade de diagramas apropriados. No caso de uma álgebra de Hopf sobre k temos morfismos

$$\begin{eqnarray*}\Delta:A&\longrightarrow A\otimes A\\ \epsilon:A&\longrightar... ...\ \mu:A\otimes A&\longrightarrow A\\ u:k&\longrightarrow A, \end{eqnarray*}$$

que satisfazem propriedades duais. A subcategoria ${\bf AlgHopfComCocom}_k$ de álgebras de Hopf comutativas e cocomutativas admite assim um processo de dualização natural $A\rightarrow A^D$, em que a co-multiplicação de A^D é o morfismo dual da multiplicação em A, a co-unidade é o dual da estruturação sobre k, e assim por diante.

Exemplos e Exercícios

1. O caso de Sl₂. O grupo clássico Sl₂, visto como funtor representável, é representado pela álgebra de Hopf comutativa (o co-objeto de Hopf):

A=k[X₁₁,X₁₂,X₂₁,X₂₂] /(1-(X₁₁X₂₂-X₁₂X₂₁)).

A co-multiplicação é dada por

$$\begin{eqnarray*}\Delta:A&\longrightarrow A\otimes A\\ X_{11}&\mapsto X_{11}\... ...\ X_{22}&\mapsto X_{21}\otimes X_{12}+ X_{22}\otimes X_{22}, \end{eqnarray*}$$

a co-unidade por

$$\begin{eqnarray*}\epsilon:A&\rightarrow k\\ X_{11},X_{22}&\mapsto 1\\ X_{12},X_{21}&\mapsto 0, \end{eqnarray*}$$

e o antípoda por

$$\begin{eqnarray*}S:A&\rightarrow A\\ X_{11}&\mapsto X_{22}\\ X_{22}&\mapsto X_{11}\\ X_{12}&\mapsto -X_{12}\\ X_{21}&\mapsto -X_{21}. \end{eqnarray*}$$

Referências.

O uso de álgebras de Hopf comutativas em Geometria Algébrica é exposto de forma clara e elegante em [Wa].