A Geometria dos Grupos Clássicos

Os grupos clássicos podem ser submetidos à dissecação por uma variedade de técnicas. De fato, eles intervêem em quase qualquer área da matemática. Nesta seção e na próxima são colocados os pontos de vista com os quais um geômetra e um algebrista os estudam.

Um geômetra, admirando grupos clássicos, fica inebriado como estes grupos dependem suavemente das coordenadas-entradas das matrizes, e como as operações algébricas envolvidas, a multiplicação e a inversão, são operações suaves. De fato um geômetra, ao ver mencionada a palavra corpo, só se lembra dos reais e dos complexos, e então reconhece estes grupos como variedades diferenciáveis em que as operações algébricas envolvidas são suaves. Na verdade o que o fascina é o fato de grupos clássicos serem objetos da categoria Diff (ver apêndice B), de fato objetos de Hopf desta categoria (ver (A.6)). A denominação consagrada é, claro, indicar que grupos clássicos são grupos de Lie.

Rastreando definições, um grupo de Lie é um grupo, objeto de Grp, que é uma variedade diferenciável, objeto de Diff, tal que a multiplicação e a inversão
$$\begin{align}\mu:G\times G&\longrightarrow G\notag\\ (g,g')&\mapsto gg'\notag\\ \iota:G&\longrightarrow G\notag\\ g&\mapsto g^{-1}\notag \end{align}$$
são morfismos em Diff.

Muita coisa é necessária para tornar esta definição possível: em primeiro lugar, o produto cartesiano, que é o produto categórico em Conj, pode ser dotado de uma estrutura de produto em Grp (isto é consequência de ter o funtor de esquecimento $\mathcal{ E}:{\bf Grp}\rightarrow {\bf Conj}$ um adjunto à esquerda, dado pela estruturação livre; ver (A.4)), e também pode ser dotado de uma estrutura de produto em Diff. Isto permite que o morfismo em Grp dado pela multiplicação $\mu:G\times G\rightarrow G$ seja morfismo em Diff. A aplicação do funtor derivada $D:{\bf Diff} \rightarrow {\bf Diff}$ ao morfismo $\mu$ resulta num morfismo em Diff $D(\mu):D(G\times G)\rightarrow D(G)$; em particular, derivando na origem $(I,I)\in G\times G$ resulta numa aplicação linear entre os espaços tangentes ((B.5))

$$D(\mu)_{(I,I)}:D(G\times G)_{(I,I)} \longrightarrow D(G)_I.$$

Uma álgebra de Lie $\mathcal{ A}$ sobre um corpo k é um espaço vetorial sobre k dotado de uma operação bilinear

$$[\bullet,\bullet]: A\times A\longrightarrow A$$

que satisfaz [a,a]=0 para qualquer $a\in A$ e a identidade de Jacobi

[[a,b],c]+ [[b,c],a]+[[c,a],b]=0. (1.2.1)

Dado um grupo de Lie G, a estrutura de grupo em G dota o espaço tangente na identidade D(G)_I da estrutura de uma álgebra de Lie (ver (B.5)). Esta estruturação se manifesta de várias maneiras: por exemplo, derivando o morfismo $\mu$ de multiplicação. Para calcular esta derivada na identidade $I\in G$ toma-se uma parametrização local (U,V,h) onde U é aberto em ${\bf R}^n$; sem perda de generalidade pode ser exigido $0\in U$ com h(0)=I, a identidade em G. Então $h\times h:U\times U\rightarrow V\times V$ é parametrização local de $G\times G$ em torno da identidade (I,I) de $G\times G$. A parametrização faz recair o cálculo da derivada de $\mu$ em (I,I) no cálculo da derivada de $f:=h^{-1}\circ \mu\circ (h\times h):U\times U\rightarrow U$, onde

$$U\times U \stackrel {h\times h}{\longrightarrow} G\times G ... ...mu} {\longrightarrow}G \stackrel {h^{-1}}{\longrightarrow} U,$$

é definido em uma vizinhança apropriada de (0,0). Expandindo a série de Taylor de f em torno de (0,0), e usando $E_1,E_2\in {\bf R}^n$, resulta em

$$f(E_1,E_2)=E_1+E_2+B(E_1,E_2)+ \cdots,$$

onde $B(\bullet, \bullet)$ é uma aplicação bilinear e as reticências indicam termos de ordem superior. Com esta forma bilinear define-se

[E₁,E₂]=B(E₁,E₂)-B(E₂,E₁).

A associatividade de $\mu$ implica f(f(E₁,E₂), E₃)=f(E₁,f(E₂,E₃)), que levada à série de Taylor implica

B(B(E₁,E₂),E₃)=B(E₁,B(E₂,E₃)).

Daí segue que
$$\begin{align}[[E_1&,E_2],E_3]=\notag\\ &B(B(E_1,E_2)E_3)-B(E_3, B(E_1,E_2))+B(E_3,B(E_2,E_1))-B(B(E_2,E_1),E_3).\notag \end{align}$$
Somando as equações correspondentes para os termos [[E₂,E₃],E₁] e [[E₃,E₁],E₂] há cancelamento completo de todos os termos à direita, e logo é satisfeita a identidade de Jacobi

[[E₁,E₂],E₃]+[[E₂,E₃],E₁]+ [[E₃,E₁],E₂]=0.

Assim, identificando E_i com o vetor tangente de $t\mapsto tE_i$, o espaço tangente D(G)_I de um grupo de Lie na identidade tem a estrutura de uma álgebra de Lie. Esta estrutura se manifestará sempre que a estrutura diferencial (do grupo como objeto de Diff) e algébrica (dele como objeto de Grp) forem usadas em conjunto. Por exemplo, para qualquer variedade diferenciável M, objeto de Diff, o espaço de campos vetoriais (ou, equivalentemente, de derivações da álgebra ${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$; ver (B.5)),

$$Vect(M)\simeq Der({\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})) \tag{\bf 1.2.2}$$ (1.2.2)

tem naturalmente a estrutura de uma álgebra de Lie (em geral de dimensão infinita). Esta estrutura, presente em qualquer variedade diferenciável, não é a estrutura relevante se M=G for um grupo de Lie: neste caso observa-se que G age em Vect(G) da seguinte maneira. A multiplicação à esquerda

$$\begin{eqnarray*}\mu_g:G&\longrightarrow G\\ g'&\mapsto gg' \end{eqnarray*}$$

é isomorfismo em Diff (não sendo sequer morfismo em Grp), e se $\chi\in Vect(G)$ então
$$\begin{align}\chi^{\mu_g}:=D(\mu_g)(\chi\circ \mu_{g^{-1}}):G &\rightarrow D(G)\notag\\ g'&\mapsto D(\mu_g)(\chi(g^{-1}g'))\in D(G)_{g'} \notag \end{align}$$
é um campo vetorial em Vect(G). Isto define uma ação de G em Vect(G), e um campo $\chi\in Vect(G)$ é dito invariante à esquerda se $\chi^{\mu_g}= \chi$. O subconjunto ^GVect(G) de campos invariantes à esquerda é uma sub-álgebra de Lie de Vect(G); esta sub-álgebra ^GVect(G) é isomorfa à álgebra de Lie de G definida como o espaço tangente na identidade D(G)_I com a operação definida como acima, através do isomorfismo $\chi\mapsto \chi(1)$. Visto na encarnação de derivações (1.2.2), um campo $\chi$ encarado como uma derivação de ${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$ é invariante à esquerda se comutar com a transformação linear
$$\begin{align}\mu_g:{\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R}) &\longrightarrow {\it Hom}_{... ...g\\ &\hspace{0.75in}m\mapsto f(\mu_{g^{-1}}(m)=f(g^{-1}m).\notag \end{align}$$
Além destas duas aparições da álgebra de Lie de um grupo de Lie G, é necessário ao que segue considerar ainda uma terceira, obtida através da ação de G dada por conjugação:
$$\begin{align}A:G&\longrightarrow {\it Hom}_{\bf Grp}(G,G)\notag\\ g&\mapsto A(g):G\rightarrow G\notag\\ &\hspace{0.75in}g'\mapsto gg'g^{-1}.\notag \end{align}$$
O morfismo A(g) é isomorfismo em Grp e em Diff, sendo composta de translações à direita e à esquerda. Considerando-o como isomorfismo em Diff podemos tomar sua derivada na identidade I de G: esta derivada se denota por

$$Ad(g):=D(A(g))_I:D(G)_I\longrightarrow D(G)_I,$$

e $g\mapsto Ad(g)$ define uma ação de G em ${\it Aut}_k(D(G)_I,D(G)_I)$ (isto é, automorfismos de D(G)_I como espaço vetorial sobre k). Como ${\it Aut}_k(D(G)_I,D(G)_I)$ tem uma estrutura de grupo de Lie (ver exemplo 1. abaixo), é possível tomar a derivada de $g\mapsto Ad(g)$ na identidade I, obtendo uma aplicação de D(G)_I no espaço tangente de ${\it Aut}_k(D(G)_I,D(G)_I)$ em sua identidade $I:D(G)_I\rightarrow D(G)_I$. Como ${\it Aut}_k(D(G)_I,D(G)_I)$ (sendo imagem inversa do aberto $k\setminus \{0\}$ pela função contínua $\det$) é aberto em ${\it Hom}_k(D(G)_I,D(G)_I)$, este espaço tangente é simplesmente ${\it Hom}_k(D(G)_I,D(G)_I)$, e a derivada D(Ad)_I define uma ação de álgebras de Lie, denotada por
$$\begin{align}ad:D(G)_I&\longrightarrow {\it Hom}_k(D(G)_I,D(G)_I)\notag\\ E&\mapsto ad(E):D(G)_I\rightarrow D(G)_I.\notag \end{align}$$
A operação
$$\begin{align}D(G)_I\times D(G)_I&\longrightarrow D(G)_Inotag\\ (E,E')&\mapsto [E,E']:= ad(E)(E')\notag \end{align}$$
é uma (terceira) forma de dotar D(G)_I de uma estrutura de álgebra de Lie. Assim, com um embarras de richesses, foi indicado o

Teorema de Estruturação do Espaço Tangente na Identidade como álgebra de Lie. Se G for um grupo de Lie então o espaço tangente D(G)_I na identidade tem naturalmente a estrutura de uma álgebra de Lie.

O que falta para ser visto da prova do teorema depende de como se interprete a palavra ``naturalmente''. As três maneiras de definir esta estrutura devem servir como uma justificativa da qualificação ``natural'', mas então deve ser provado que estas três maneiras coincidem; isto não é difícil: a representação adjunta $ad:D(G)_I\rightarrow {\it Hom}_k (D(G)_I,D(G)_I)$, que foi a última forma de apresentar a estrutura, é calculada pela série de Taylor, como na primeira definição. Em cada uma das formas de apresentar foram omitidos detalhes (como a prova da identidade de Jacobi), que são rotineiros.

O Teorema acima define um funtor da categoria de GrpLie de grupos de Lie para a categoria AlgLie de álgebras de Lie:

$$\mathcal{ L}:{\bf GrpLie}\longrightarrow {\bf AlgLie}.$$

Exemplos e Exercícios

1. A álgebra de Lie de $Gl_n({\bf R})$. O grupo de Lie $Gl_n({\bf R})$ é o grupo de transformações lineares inversíveis de ${\bf R}^n$; o cálculo que se segue se aplica para o grupo de transformações lineares de qualquer espaço vetorial V de dimensão finita sobre k.

Para tomar uma parametrização local em torno da identidade $I\in Gl_n({\bf R})$ satisfazendo as condições descritas acima basta fazer

$$\begin{eqnarray*}h:U\subset {\bf R}^{n^2} &\longrightarrow Gl_n({\bf R})\\ (c_{ij})_{i,j=1,\ldots ,n}&\mapsto I+(c_{ij}), \end{eqnarray*}$$

com (c_ij) matriz $n\times n$ tomada em uma vizinhança apropriada U da origem em ${\bf R}^{n^2}$. A expansão de Taylor de $f=h^{-1}\circ \mu \circ (h\times h)$ é então simplesmente

f(A,B)=A+B+(AB-BA),

onde A,B estão no espaço $\mathcal{ M}_{n\times n}({\bf R})$ de matrizes $n\times n$ com coeficientes reais. Assim, a álgebra de Lie de $Gl_n({\bf R})$ é o espaço $\mathcal{ M}_{n\times n}({\bf R})$ com a operação dada por [A,B]=AB-BA. Esta álgebra é denotada por $gl_n( {\bf R})$.

2. O caso de $Sl_2({\bf R})$. Um cálculo análogo pode ser feito para $Sl_2({\bf R})$ tomando a parametrização em torno de $I\in Sl_2({\bf R})$ dada por

$$\begin{eqnarray*}h:U\subset {\bf R}^3 &\longrightarrow Sl_2({\bf R})\\ \begin... ...end{pmatrix}&\mapsto I+\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}, \end{eqnarray*}$$

onde a entrada d é obtida implicitamente. De fato, vale $1=\det(I+\begin{pmatrix}a&b\\ c&d \end{pmatrix})=1+{\rm tr}\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}+\det \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$, e a condição para o determinante ser 1 requer ${\rm tr}\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}+\det \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}=0$. Pelo teorema da função implícita esta condição define implicitamente d como função suave perto da origem.

A álgebra de Lie de $Sl_2({\bf R})$ é dada pela subálgebra de $gl_2({\bf R})$ dada pelas matrizes de traço nulo, como segue de uma aplicação da aplicação exponencial abaixo. Ela é denotada por $sl_2({\bf R})$.

3. A aplicação exponencial. Dado um vetor tangente $E\in D(G)_I$ na álgebra de Lie $\mathcal{ L}(G)$ de um grupo de Lie G, pelo teorema de existência e unicidade de equações diferenciais ordinárias existe uma caminho $p_E: (-\epsilon,\epsilon)\rightarrow G$ tendo E como vetor tangente. A associação

$$exp:tE\mapsto p_E(t)$$

define a aplicação exponencial

$$exp:\mathcal{ L}(G)\rightarrow G.$$

A aplicação exponencial é uma transformação natural $exp: \mathcal{ L}\stackrel{\bullet} {\longrightarrow} \mathcal{ I}$, onde $\mathcal{ I}$ denota o funtor identidade na categoria de grupos de Lie.

Para $G=Gl_n({\bf R})$ a álgebra de Lie é o conjunto das matrizes $n\times n$ com [A,B]=AB-BA, como visto em 1.. O sistema x'(t)=Ax(t) com condição inicial x(0)=1 tem solução

$$x(t)=e^{At}=\sum_{k\ge 0}\frac{A^k}{k!}t^k,$$

e logo a aplicação exponencial neste caso é a exponencial usual exp(A)=e^A.

Se G é um grupo de Lie e H um subgrupo conexo (ou, pelo menos, com um número de componentes conexas enumerável) então

$$\mathcal{ L}(H)=\{ X\in \mathcal{ L}(G) \ \vert\ exp(X)\in H\ \}.$$

Se $A\in G=Gl_n({\bf R})$ é tal que A=MJM^-1, onde J é sua forma de Jordan, então

$$\det(e^A)=\det(e^{MJM^{-1}})=Me^JM^{-1},$$

e logo $\det(e^A)=\prod_ie^{\lambda_i}=e^{{\rm tr} A}$. Pelo cálculo da exponencial obtido para $G=Gl_n({\bf R})$ e usando o enunciado acima com $H=Sl_n({\bf R})$, segue que a álgebra de Lie $sl_n({\bf R})=\mathcal{ L}(Sl_n({\bf R}))$ de $Sl_n({\bf R})$ é dada pelas matrizes $n\times n$ de traço nulo, conforme anunciado em 2..