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Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
agora sobre o somatório dessas p.as de outras ordens,elas saem fácil
sabendo a propriedade de somatorio de coeficiente binomial
somatorio [x=0 até b] de c(x+c, k) = c(b+c+1, k+1)
dai temos
somatorio [x=0 até n] de c(x-1, k) = c( n-1+1, k+1) =c( n,k+1)
sobre a sequencia { 3, 0, 5, 34 , 135, 452........}
já tinham colocado em outro email que, apenas os primeiros termos não
definem uma sequencia, pois existem infinitas fórmulas que os geram,
que tem esses termos em comum, porém uma formula simples pra esses
termos é f(n)=2.3^(n) -7.n +1, a partir de f(0), ai o somatorio
nao sairia pelo metodo do seu email, mas sim o somatorio de termos de
uma p.g 3^n, e de uma p.a -7n +1,
o/
Em 28/02/08, Rodrigo Renji<rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx> escreveu:
> agora sobre dua dúvida,, sobre o operador E (de expansão?)
> o operador E, quando aplicado numa função f(x), faz ela ser deslocada,
> sendo tomada f(x+1)
> isto é a definição dele é Ef(x)= f(x+1)
> as potencias maiores, podem ser definidas
> E^k f(x)= f(x+k), k pode ser qualquer real, mas no cálculo de
> diferenças finitas estamos apenas interessados quando k é inteiro.
> exemplos
>
> E 2^(x) = 2^(x+1)
>
> Esen(x) = sen(x+1)
>
> ai temos o operador delta que vou escrever como D, ele se definine como
> Df(x)= f(x+1)-f(x), mas sabemos que f(x+1)= Ef(x), assim escrevemos
> Df(x)= Ef(x)-f(x), como seria interessante colocar f(x) em evidencia em
> Ef(x)-f(x), definimos a soma de dois operadores (A+B)f(x)=Af(x)+Bf(x)
> (e produto pode ser definido tb, bla bla bla, tem que demonstrar um
> monte de coisas nisso)
> ai tomamos
> Df(x)=(E-1) f(x) e dizemos que o operador D=E-1, pois para toda função
> em que são aplicadas eles fazem a mesma coisa, tomar f(x+1)-f(x).
> sobre os metodos, todos eles são da teoria de diferenças finitas.
> abraços o/
>
> Em 28/02/08, Rodrigo Renji<rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx> escreveu:
>
> > ah sim uma dedução que pode ser feita pra deduzir a formula das p.a de
> > ordem superior
> > para as progressões aritmeticas podemos escrever
> >
> > an=a1+ (n-1).r = c(n-1,0) a1 + c(n-1,1) r
> >
> > vamos deduzir agora a formula da p.a de ordem 2, montando o seguinte esquema
> > o primeiro termo da p.a de ordem 2, vou chamar de b1, o n-esimo termo
> > vou chamar de bn
> > então podemos montar o esquema
> > b1--------b2----------b3------------b4
> > b1-----b1+a1---b1+2a1+r---b1+3a1 +3r
> > -----a1----------a1+r-----------a1+2r
> > ------------r----------------r
> >
> > temos entao
> > b1=b1
> > b2=b1+a1
> > b3=b1+2a1+r
> > b4=b1+3a1+3r
> > dai percebemos que nesse casos, aparece sempre b1, com coeficiente 1
> > entao poderiamos deduzir
> > bn =>b1
> > analisando os coeficientes de a1, nos bn, temos
> > b1=>0a1
> > b2=>1a1
> > b3=>2a1
> > b4=>3a1
> > perceba que nos casos tomados, bn, o coeficiente de a1, é sempre (n-1)
> > então ate agora temos bn =b1+ (n-1)a1
> > agora vamos deduzir o coeficiente de r
> > b1=>0r
> > b2=>0r
> > b3=>1r
> > b4=>3r
> > observe que para n=1 e e n=2, os coeficientes de r são zero,
> > poderiamos escrever entao
> > (n-1)(n-2).k como coeficiente de r, só que tem que ser válido quando
> > n=3, se n=3, temos
> > o coeficiente igual a 1, logo (3-1)(3-2).k=1 2.1.k=1, logo k=1/2
> > temos então o coeficiente de r igual a (n)(n-1)/2
> > a forma fica então
> >
> > bn=b1+(n-1)a1+(n-1)(n-2).r/2
> > escreva agora essa expressão com coeficiente binomial
> > bn=c(n-1,0)b1+c(n-1,1)a1+c(n-1,2)r
> > e compare com a p.a escrita com coeficiente binomial
> > an=c(n-1,0)a1+c(n-1,1)r
> >
> > as duas juntas
> > bn=c(n-1,0)b1+c(n-1,1)a1+c(n-1,2)r
> > an=c(n-1,0)a1+c(n-1,1)r
> > olhando esse padrão ja daria pra deduzir a formula da p.a de terceira ordem
> >
> > cn=c(n-1,0)c1+c(n-1,1)b1+c(n-1,2)a1 +c(n-1,3)r
> > onde c1, seria a o primeiro termo da p.a de ordem 3
> >
> > e a de quarta ordem
> > dn=c(n-1,0)d1+c(n-1,1)c1+c(n-1,2)b1 +c(n-1,3)a1 +c(n-1,4)r
> >
> > Em 25/02/08, Rodrigo Renji<rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx> escreveu:
> >
> > > acho que nao mandei o email inteiro da outra vez, aqui vai completo:
> > >
> > >
> > > Pedro vou tentar explicar melhor o que eu sei de p.a's de outras
> > > ordens (seguindo uma maneira informal e tentando deduzir a formula
> > > geral)
> > >
> > > primeiro as notações que vou usar, o coeficiente binomial n!/k!(n-k)
> > > vou escrever como c(n,k)
> > >
> > > vou começar fazendo o seguinte, analisando um polinomio do primeiro
> > > grau, por exemplo...
> > > y=2x+1. tomando valores, de x variando de 0, depois 1, depois 2, vamos
> > > ver o que acontece
> > >
> > > x=0 y=2.0+1 =1
> > > x=1 y=2.1+1=3
> > > x=2 y=2.2+1=5
> > > x=3 y=2.3+1=7
> > >
> > > vamos alinhar os valores de y em sequencia
> > > 1-----3-------5-----7, tirando as diferenças
> > > ---2------2-------2, ela é sempre constante igual a 2, então temos uma p.a
> > >
> > > mas o que aconteceria se tomassemos diferenças em um polinomio de grau
> > > 2? vamos ver o que acontece?, vamos tomar um polinomio simples de grau
> > > 2, por exemplo y=x^2
> > > e tomar valores partindo de zero, e pulando de 1 em 1, vamos lá
> > >
> > > x=0, y=0
> > > x=1, y=1
> > > x=2, y=4
> > > x=3, y=9
> > > x=4, y=16
> > > x=5, y=25
> > > vamos tomar entao os resultados y, em sequencia
> > > 0-----1----4---9----16-----25
> > > e se tiramos as diferenças, o que acontece?, vamos lá
> > > 0-----1----4----9----16-----25
> > > ----1-----3----5---7------9
> > > aparece nas diferenças, uma sequencia que não é constante, vamos então
> > > tirar a diferença dessa sequencia que apareceu (diferença das
> > > diferenças) (observe que as diferenças são os termos da primeira
> > > sequencia considerada, a que surgiu de y=2x+1)
> > > tomando as diferenças temos entao
> > > ----1-----3----5---7------9
> > > ------2------2----2---2
> > > uma constante 2, vimos então que, tomando um polinomio de grau 2 (o
> > > y=x^2), e tomando as diferenças, temos uma sequencias onde a diferença
> > > é uma p.a e a segunda diferença é constante, e o que aconteceria com
> > > um polinomio de grau 3? (vou fazer só mais esse caso)
> > >
> > > exemplo y=x^3, tomando valores, começando do zero, temos
> > > x=0 y=0
> > > x=1, y=1
> > > x=2, y=8
> > > x=3, y=27
> > > x=4 , y=64
> > > x=5, y=125
> > > pondo em ordem e tirando as diferenças temos
> > >
> > > 0---1----8-----27-----64----125
> > > ---1---7----19-----37------61
> > > ------6---12----18------24
> > > ---------6-----6------6
> > > a primeira diferença nao é constante, a segunda diferença não é
> > > constante, porém a terceira diferença é constante
> > >
> > > com isso podemos perceber algumas coisas, como, nos casos analisados,
> > > a n diferença de um polinomio de grau n é constante, e como a
> > > diferença de constante é zero, temos a n+1 diferença de um polinomio
> > > de grau n é zero.
> > > dos exemplos, diferença de termos no polinomio de grau 1, 2x+1 ´e constante,
> > > a 2 segunda diferença dos termos de um polinomio de grau 2 é constante
> > > (no caso testado x^2)
> > > a terceira diferença de um polinomio de grau 3 é constante( do caso x^3)
> > >
> > > mas como definir essas sequencias?
> > > a sequencia cuja segunda diferença é constante, é uma p.a de ordem 2,
> > > a sequencia cuja terceira diferença é constante é uma p.a de ordem 3,
> > > a sequencia onde a n esima diferença é constante, é uma p.a de ordem n
> > > ( sendo as constantes diferentes de zero)
> > >
> > > no proximo email uma dedução das primeiras formulas de p.a e
> > > extrapolação pra todos outros casos
> > >
> >
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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