Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)

["Rodrigo Renji" <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx>]

acho que nao mandei o email inteiro da outra vez, aqui vai completo:

Pedro vou tentar explicar melhor o que eu sei de p.a's de outras
ordens (seguindo uma maneira informal e tentando deduzir a formula
geral)

primeiro as notações que vou usar, o coeficiente binomial  n!/k!(n-k)
vou escrever como c(n,k)

vou começar fazendo o seguinte, analisando um polinomio do primeiro
grau, por exemplo...
y=2x+1. tomando valores, de x variando de 0, depois 1, depois 2, vamos
ver o que acontece

x=0 y=2.0+1 =1
x=1 y=2.1+1=3
x=2 y=2.2+1=5
x=3 y=2.3+1=7

vamos alinhar os valores de y em sequencia
1-----3-------5-----7, tirando as diferenças
---2------2-------2, ela é sempre constante igual a 2, então temos uma p.a

mas o que aconteceria se tomassemos diferenças em um polinomio de grau
2? vamos ver o que acontece?, vamos tomar um polinomio simples de grau
2, por exemplo y=x^2
e tomar valores partindo de zero, e pulando de 1 em 1, vamos lá

x=0, y=0
x=1, y=1
x=2, y=4
x=3, y=9
x=4, y=16
x=5, y=25
vamos tomar entao os resultados y, em sequencia
 0-----1----4---9----16-----25
e se tiramos as diferenças, o que acontece?, vamos lá
 0-----1----4----9----16-----25
----1-----3----5---7------9
aparece nas diferenças, uma sequencia que não é constante, vamos então
tirar a diferença dessa sequencia que apareceu (diferença das
diferenças) (observe que as diferenças são os termos da primeira
sequencia considerada, a que surgiu de y=2x+1)
tomando as diferenças temos entao
----1-----3----5---7------9
------2------2----2---2
uma constante 2, vimos então que, tomando um polinomio de grau 2 (o
y=x^2), e tomando as diferenças, temos uma sequencias onde a diferença
é uma p.a e a segunda diferença é constante, e o que aconteceria com
um polinomio de grau 3? (vou fazer só mais esse caso)

exemplo y=x^3, tomando valores, começando do zero, temos
x=0 y=0
x=1, y=1
x=2, y=8
x=3, y=27
x=4 , y=64
x=5, y=125
pondo em ordem e tirando as diferenças temos

0---1----8-----27-----64----125
---1---7----19-----37------61
------6---12----18------24
---------6-----6------6
a primeira diferença nao é constante, a segunda diferença não é
constante, porém a terceira diferença é constante

com isso podemos perceber algumas coisas, como, nos casos analisados,
a n diferença de um polinomio de grau n é constante, e como a
diferença de constante é zero, temos a n+1 diferença de um polinomio
de grau n é zero.
dos exemplos, diferença de termos no polinomio de grau 1, 2x+1 ´e constante,
a 2 segunda diferença dos termos de um polinomio de grau 2 é constante
(no caso testado x^2)
a terceira diferença de um polinomio de grau 3 é constante( do caso x^3)

mas como definir essas sequencias?
a sequencia cuja segunda diferença é constante, é uma p.a de ordem 2,
a sequencia cuja terceira diferença é constante é uma p.a de ordem 3,
a sequencia onde a n esima diferença é constante, é uma p.a de ordem n
( sendo as constantes diferentes de zero)

no proximo email uma dedução das primeiras formulas de p.a e
extrapolação pra todos outros casos

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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