Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)

["Rodrigo Renji" <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx>]

ah sim uma dedução que pode ser feita pra deduzir a formula das p.a de
ordem superior
para as progressões aritmeticas podemos escrever

an=a1+ (n-1).r = c(n-1,0) a1 + c(n-1,1) r

vamos deduzir agora a formula da p.a de ordem 2, montando o seguinte esquema
o primeiro termo da p.a de ordem 2, vou chamar de b1, o n-esimo termo
vou chamar de bn
então podemos montar o esquema
b1--------b2----------b3------------b4
b1-----b1+a1---b1+2a1+r---b1+3a1 +3r
-----a1----------a1+r-----------a1+2r
------------r----------------r

temos entao
b1=b1
b2=b1+a1
b3=b1+2a1+r
b4=b1+3a1+3r
dai percebemos que nesse casos, aparece sempre b1, com coeficiente 1
entao poderiamos deduzir
bn =>b1
analisando os coeficientes de a1, nos bn, temos
b1=>0a1
b2=>1a1
b3=>2a1
b4=>3a1
perceba que nos casos tomados, bn, o coeficiente de a1, é sempre (n-1)
então ate agora temos bn =b1+ (n-1)a1
agora vamos deduzir o coeficiente de r
b1=>0r
b2=>0r
b3=>1r
b4=>3r
observe que para n=1 e e n=2, os coeficientes de r são zero,
poderiamos escrever entao
(n-1)(n-2).k como coeficiente de r, só que tem que ser válido quando
n=3, se n=3, temos
o coeficiente igual a 1, logo (3-1)(3-2).k=1     2.1.k=1, logo k=1/2
temos então o coeficiente de r igual a (n)(n-1)/2
a forma fica então

bn=b1+(n-1)a1+(n-1)(n-2).r/2
escreva agora essa expressão com coeficiente binomial
bn=c(n-1,0)b1+c(n-1,1)a1+c(n-1,2)r
e compare com a p.a escrita com coeficiente binomial
an=c(n-1,0)a1+c(n-1,1)r

as duas juntas
bn=c(n-1,0)b1+c(n-1,1)a1+c(n-1,2)r
an=c(n-1,0)a1+c(n-1,1)r
olhando esse padrão ja daria pra deduzir a formula da p.a de terceira ordem

cn=c(n-1,0)c1+c(n-1,1)b1+c(n-1,2)a1 +c(n-1,3)r
onde c1, seria a o primeiro termo da p.a de ordem 3

e a de quarta ordem
dn=c(n-1,0)d1+c(n-1,1)c1+c(n-1,2)b1 +c(n-1,3)a1 +c(n-1,4)r

Em 25/02/08, Rodrigo Renji<rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx> escreveu:
> acho que nao mandei o email inteiro da outra vez, aqui vai completo:
>
>
>  Pedro vou tentar explicar melhor o que eu sei de p.a's de outras
>  ordens (seguindo uma maneira informal e tentando deduzir a formula
>  geral)
>
>  primeiro as notações que vou usar, o coeficiente binomial  n!/k!(n-k)
>  vou escrever como c(n,k)
>
>  vou começar fazendo o seguinte, analisando um polinomio do primeiro
>  grau, por exemplo...
>  y=2x+1. tomando valores, de x variando de 0, depois 1, depois 2, vamos
>  ver o que acontece
>
>  x=0 y=2.0+1 =1
>  x=1 y=2.1+1=3
>  x=2 y=2.2+1=5
>  x=3 y=2.3+1=7
>
>  vamos alinhar os valores de y em sequencia
>  1-----3-------5-----7, tirando as diferenças
>  ---2------2-------2, ela é sempre constante igual a 2, então temos uma p.a
>
>  mas o que aconteceria se tomassemos diferenças em um polinomio de grau
>  2? vamos ver o que acontece?, vamos tomar um polinomio simples de grau
>  2, por exemplo y=x^2
>  e tomar valores partindo de zero, e pulando de 1 em 1, vamos lá
>
>  x=0, y=0
>  x=1, y=1
>  x=2, y=4
>  x=3, y=9
>  x=4, y=16
>  x=5, y=25
>  vamos tomar entao os resultados y, em sequencia
>   0-----1----4---9----16-----25
>  e se tiramos as diferenças, o que acontece?, vamos lá
>   0-----1----4----9----16-----25
>  ----1-----3----5---7------9
>  aparece nas diferenças, uma sequencia que não é constante, vamos então
>  tirar a diferença dessa sequencia que apareceu (diferença das
>  diferenças) (observe que as diferenças são os termos da primeira
>  sequencia considerada, a que surgiu de y=2x+1)
>  tomando as diferenças temos entao
>  ----1-----3----5---7------9
>  ------2------2----2---2
>  uma constante 2, vimos então que, tomando um polinomio de grau 2 (o
>  y=x^2), e tomando as diferenças, temos uma sequencias onde a diferença
>  é uma p.a e a segunda diferença é constante, e o que aconteceria com
>  um polinomio de grau 3? (vou fazer só mais esse caso)
>
>  exemplo y=x^3, tomando valores, começando do zero, temos
>  x=0 y=0
>  x=1, y=1
>  x=2, y=8
>  x=3, y=27
>  x=4 , y=64
>  x=5, y=125
>  pondo em ordem e tirando as diferenças temos
>
>  0---1----8-----27-----64----125
>  ---1---7----19-----37------61
>  ------6---12----18------24
>  ---------6-----6------6
>  a primeira diferença nao é constante, a segunda diferença não é
>  constante, porém a terceira diferença é constante
>
>  com isso podemos perceber algumas coisas, como, nos casos analisados,
>  a n diferença de um polinomio de grau n é constante, e como a
>  diferença de constante é zero, temos a n+1 diferença de um polinomio
>  de grau n é zero.
>  dos exemplos, diferença de termos no polinomio de grau 1, 2x+1 ´e constante,
>  a 2 segunda diferença dos termos de um polinomio de grau 2 é constante
>  (no caso testado x^2)
>  a terceira diferença de um polinomio de grau 3 é constante( do caso x^3)
>
>  mas como definir essas sequencias?
>  a sequencia cuja segunda diferença é constante, é uma p.a de ordem 2,
>  a sequencia cuja terceira diferença é constante é uma p.a de ordem 3,
>  a sequencia onde a n esima diferença é constante, é uma p.a de ordem n
>  ( sendo as constantes diferentes de zero)
>
>  no proximo email uma dedução das primeiras formulas de p.a e
>  extrapolação pra todos outros casos
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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