Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)

["Rodrigo Renji" <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx>]

Pedro vou tentar explicar melhor o que eu sei de p.a's de outras
ordens (seguindo uma maneira informal e tentando deduzir a formula
geral)

primeiro as notações que vou usar, o coeficiente binomial  n!/k!(n-k)
vou escrever como c(n,k)

vou começar fazendo o seguinte, analisando um polinomio do primeiro
grau, por exemplo...
y=2x+1. tomando valores, de x variando de 0, depois 1, depois 2, vamos
ver o que acontece

x=0 y=2.0+1 =1
x=1 y=2.1+1=3
x=2 y=2.2+1=5
x=3 y=2.3+1=7

vamos alinhar os valores de y em sequencia
1-----3-------5-----7, tirando as diferenças
---2------2-------2, ela é sempre constante igual a 2, então temos uma p.a

mas o que aconteceria se tomassemos diferenças em um polinomio de grau
2? vamos ver o que acontece?, vamos tomar um polinomio simples de grau
2, por exemplo y=x^2
e tomar valores partindo de zero, e pulando de 1 em 1, vamos lá

x=0, y=0
x=1, y=1
x=2, y=4
x=3, y=9
x=4, y=16
x=5, y=25
vamos tomar entao os resultados y, em sequencia
 0-----1----4---9----16-----25
e se tiramos as diferenças, o que acontece?, vamos lá
 0-----1----4----9----16-----25
----1-----3----5---7------9
aparece nas diferenças, uma sequencia que não é constante, vamos então
tirar a diferença dessa sequencia que apareceu (diferença das
diferenças) (observe que as diferenças são os termos da primeira
sequencia considerada, a que surgiu de y=2x+1)
tomando as diferenças temos entao
----1-----3----5---7------9
------2------2----2---2
uma constante 2, vimos então que, tomando um polinomio de grau 2 (o
y=x^2), e tomando as diferenças, temos uma sequencias onde a diferença
é uma p.a e a segunda diferença é constante, e o que aconteceria com
um polinomio de grau 3? (vou fazer só mais esse caso)

exemplo y=x^3, tomando valores, começando do zero, temos
x=0 y=0
x=1, y=1
x=2, y=8
x=3, y=27
x=4 , y=64
x=5, y=125
pondo em ordem e tirando as diferenças temos

0---1----8-----27-----64----125
---1---7----19-----37------61
------6---12----18------24
---------6-----6------6
a primeira diferença nao é constante, a segunda diferença não é
constante, porém a terceira diferença é constante

com isso podemos perceber algumas coisas, como, nos casos analisados,
a n diferença de um polinomio de grau n é constante, e como a
diferença de constante é zero, temos a n+1 diferença de um polinomio
de grau n é zero.
dos exemplos, diferença de termos no polinomio de grau 1, 2x+1 ´e constante,
a 2 segunda diferença dos termos de um polinomio de grau 2 é constante
(no caso testado x^2)
a terceira diferença de um polinomio de grau 3 é constante( do caso x^3)

mas como definir essas sequencias?
a sequencia cuja segunda diferença é constante, é uma p.a de ordem 2,
a sequencia cuja terceira diferença é constante é uma p.a de ordem 3,
a sequencia onde a n esima diferença é constante, é uma p.a de ordem n
( sendo as constantes diferentes de zero)

no proximo email uma dedução das primeiras formulas de p.a e
extrapolação pra todos outros casos

Em 25/02/08, Luís Lopes<qed_texte@xxxxxxxxxxx> escreveu:
>
>  Sauda,c~oes,
>
>  Oi Pedro,
>
>  Tudo isto está demonstrado no exercício 56 do
>  Manual de Seq. e Séries Vol II.
>
>  []'s
>  Luís
>
>
>
>  ________________________________
>  From: npc1972@xxxxxxxxx
> To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> Subject: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
> Date: Thu, 1 Nov 2001 00:23:32 -0200
>
>
>
> Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de maneira
> brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
> Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas que
> estão em negritos a abaixo.
>
> 1)Seja a PA de ordem 3
>
> 1,3,19,61,141,271,...     a_i
>
> Vamos gerar outras PAs fazendo a_{i+1} - a_i:
>
> 2,16,42,80,130    Delta a_i
> 14,26,38,50         Delta^2 a_i
> 12,12,12              Delta^3 a_i
>
> a_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) + Delta^2 a_1
> binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)
> a_i = 1 + 2(i-1) + 14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6
> a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1
>
> S_n = a_1 binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +
> Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3 binom(n,4)
>
> S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6
>
> 2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)
>
>         Determine o termo geral da sequência {  3, 0, 5, 34 , 135,
> 452........} e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.
>
> ________________________________
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