Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)

["Rodrigo Renji" <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx>]

agora sobre dua dúvida,, sobre o operador E (de expansão?)
o operador E, quando aplicado numa função f(x), faz ela ser deslocada,
sendo tomada f(x+1)
isto é a definição dele é Ef(x)= f(x+1)
as potencias maiores, podem ser definidas
E^k f(x)= f(x+k), k pode ser qualquer real, mas no cálculo de
diferenças finitas estamos apenas interessados quando k é inteiro.
exemplos

E 2^(x) = 2^(x+1)

Esen(x) = sen(x+1)

ai temos o operador delta que vou escrever como D, ele se definine como
Df(x)= f(x+1)-f(x), mas sabemos que f(x+1)= Ef(x), assim escrevemos
Df(x)= Ef(x)-f(x), como seria interessante colocar f(x) em evidencia em
Ef(x)-f(x), definimos a soma de dois operadores (A+B)f(x)=Af(x)+Bf(x)
(e produto pode ser definido tb, bla bla bla, tem que demonstrar um
monte de coisas nisso)
ai tomamos
Df(x)=(E-1) f(x) e dizemos que o operador D=E-1, pois para toda função
em que são aplicadas eles fazem a mesma coisa, tomar f(x+1)-f(x).
sobre os metodos, todos eles são da teoria de diferenças finitas.
abraços o/

Em 28/02/08, Rodrigo Renji<rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx> escreveu:
> ah sim uma dedução que pode ser feita pra deduzir a formula das p.a de
>  ordem superior
>  para as progressões aritmeticas podemos escrever
>
>  an=a1+ (n-1).r = c(n-1,0) a1 + c(n-1,1) r
>
>  vamos deduzir agora a formula da p.a de ordem 2, montando o seguinte esquema
>  o primeiro termo da p.a de ordem 2, vou chamar de b1, o n-esimo termo
>  vou chamar de bn
>  então podemos montar o esquema
>  b1--------b2----------b3------------b4
>  b1-----b1+a1---b1+2a1+r---b1+3a1 +3r
>  -----a1----------a1+r-----------a1+2r
>  ------------r----------------r
>
>  temos entao
>  b1=b1
>  b2=b1+a1
>  b3=b1+2a1+r
>  b4=b1+3a1+3r
>  dai percebemos que nesse casos, aparece sempre b1, com coeficiente 1
>  entao poderiamos deduzir
>  bn =>b1
>  analisando os coeficientes de a1, nos bn, temos
>  b1=>0a1
>  b2=>1a1
>  b3=>2a1
>  b4=>3a1
>  perceba que nos casos tomados, bn, o coeficiente de a1, é sempre (n-1)
>  então ate agora temos bn =b1+ (n-1)a1
>  agora vamos deduzir o coeficiente de r
>  b1=>0r
>  b2=>0r
>  b3=>1r
>  b4=>3r
>  observe que para n=1 e e n=2, os coeficientes de r são zero,
>  poderiamos escrever entao
>  (n-1)(n-2).k como coeficiente de r, só que tem que ser válido quando
>  n=3, se n=3, temos
>  o coeficiente igual a 1, logo (3-1)(3-2).k=1     2.1.k=1, logo k=1/2
>  temos então o coeficiente de r igual a (n)(n-1)/2
>  a forma fica então
>
>  bn=b1+(n-1)a1+(n-1)(n-2).r/2
>  escreva agora essa expressão com coeficiente binomial
>  bn=c(n-1,0)b1+c(n-1,1)a1+c(n-1,2)r
>  e compare com a p.a escrita com coeficiente binomial
>  an=c(n-1,0)a1+c(n-1,1)r
>
>  as duas juntas
>  bn=c(n-1,0)b1+c(n-1,1)a1+c(n-1,2)r
>  an=c(n-1,0)a1+c(n-1,1)r
>  olhando esse padrão ja daria pra deduzir a formula da p.a de terceira ordem
>
>  cn=c(n-1,0)c1+c(n-1,1)b1+c(n-1,2)a1 +c(n-1,3)r
>  onde c1, seria a o primeiro termo da p.a de ordem 3
>
>  e a de quarta ordem
>  dn=c(n-1,0)d1+c(n-1,1)c1+c(n-1,2)b1 +c(n-1,3)a1 +c(n-1,4)r
>
>  Em 25/02/08, Rodrigo Renji<rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx> escreveu:
>
> > acho que nao mandei o email inteiro da outra vez, aqui vai completo:
>  >
>  >
>  >  Pedro vou tentar explicar melhor o que eu sei de p.a's de outras
>  >  ordens (seguindo uma maneira informal e tentando deduzir a formula
>  >  geral)
>  >
>  >  primeiro as notações que vou usar, o coeficiente binomial  n!/k!(n-k)
>  >  vou escrever como c(n,k)
>  >
>  >  vou começar fazendo o seguinte, analisando um polinomio do primeiro
>  >  grau, por exemplo...
>  >  y=2x+1. tomando valores, de x variando de 0, depois 1, depois 2, vamos
>  >  ver o que acontece
>  >
>  >  x=0 y=2.0+1 =1
>  >  x=1 y=2.1+1=3
>  >  x=2 y=2.2+1=5
>  >  x=3 y=2.3+1=7
>  >
>  >  vamos alinhar os valores de y em sequencia
>  >  1-----3-------5-----7, tirando as diferenças
>  >  ---2------2-------2, ela é sempre constante igual a 2, então temos uma p.a
>  >
>  >  mas o que aconteceria se tomassemos diferenças em um polinomio de grau
>  >  2? vamos ver o que acontece?, vamos tomar um polinomio simples de grau
>  >  2, por exemplo y=x^2
>  >  e tomar valores partindo de zero, e pulando de 1 em 1, vamos lá
>  >
>  >  x=0, y=0
>  >  x=1, y=1
>  >  x=2, y=4
>  >  x=3, y=9
>  >  x=4, y=16
>  >  x=5, y=25
>  >  vamos tomar entao os resultados y, em sequencia
>  >   0-----1----4---9----16-----25
>  >  e se tiramos as diferenças, o que acontece?, vamos lá
>  >   0-----1----4----9----16-----25
>  >  ----1-----3----5---7------9
>  >  aparece nas diferenças, uma sequencia que não é constante, vamos então
>  >  tirar a diferença dessa sequencia que apareceu (diferença das
>  >  diferenças) (observe que as diferenças são os termos da primeira
>  >  sequencia considerada, a que surgiu de y=2x+1)
>  >  tomando as diferenças temos entao
>  >  ----1-----3----5---7------9
>  >  ------2------2----2---2
>  >  uma constante 2, vimos então que, tomando um polinomio de grau 2 (o
>  >  y=x^2), e tomando as diferenças, temos uma sequencias onde a diferença
>  >  é uma p.a e a segunda diferença é constante, e o que aconteceria com
>  >  um polinomio de grau 3? (vou fazer só mais esse caso)
>  >
>  >  exemplo y=x^3, tomando valores, começando do zero, temos
>  >  x=0 y=0
>  >  x=1, y=1
>  >  x=2, y=8
>  >  x=3, y=27
>  >  x=4 , y=64
>  >  x=5, y=125
>  >  pondo em ordem e tirando as diferenças temos
>  >
>  >  0---1----8-----27-----64----125
>  >  ---1---7----19-----37------61
>  >  ------6---12----18------24
>  >  ---------6-----6------6
>  >  a primeira diferença nao é constante, a segunda diferença não é
>  >  constante, porém a terceira diferença é constante
>  >
>  >  com isso podemos perceber algumas coisas, como, nos casos analisados,
>  >  a n diferença de um polinomio de grau n é constante, e como a
>  >  diferença de constante é zero, temos a n+1 diferença de um polinomio
>  >  de grau n é zero.
>  >  dos exemplos, diferença de termos no polinomio de grau 1, 2x+1 ´e constante,
>  >  a 2 segunda diferença dos termos de um polinomio de grau 2 é constante
>  >  (no caso testado x^2)
>  >  a terceira diferença de um polinomio de grau 3 é constante( do caso x^3)
>  >
>  >  mas como definir essas sequencias?
>  >  a sequencia cuja segunda diferença é constante, é uma p.a de ordem 2,
>  >  a sequencia cuja terceira diferença é constante é uma p.a de ordem 3,
>  >  a sequencia onde a n esima diferença é constante, é uma p.a de ordem n
>  >  ( sendo as constantes diferentes de zero)
>  >
>  >  no proximo email uma dedução das primeiras formulas de p.a e
>  >  extrapolação pra todos outros casos
>  >
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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