1) De cada uma de três varetas de comprimento L quebra-se um pedaço.
Calcule a probabilidade de que com esses três pedaços, seja possível
se construir um triângulo.
Bom, o problema nao explicita como a vareta eh quebrada, mas acho
razoavel supor que a distribuicao de probabilidade de cada pedaco eh
uniforme em [0,L] (em outras palavras, vou pressupor que, para cada
pedaco, a probabilidade deste pedaco ter tamanho menor que a eh a/L).
Tambem eh super razoavel supor que as 3 quebras sao independentes umas
das outras.
Neste caso, voce pode identificar o processo de quebrar as 3 varetas
com a escolha de um ponto (x,y,z) no cubo [0,L]x[0,L]x[0,L] (isto eh,
vertice na origem, faces paralelas aos eixos, outro vertice em
(L,L,L)). De acordo com esta identficacao (e mediante as hipoteses que
eu fiz acima), a probabilidade de voce escolher um ponto que esteja
dentro de um solido S contido no cubo eh Volume(S)/L^3.
Deixa eu esclarecer esta afirmacao com um exemplo. Suponha que voce
quer a probabilidade de termos x<a e y<b e z<c para a,b,c fixos entre
0 e L. Bom, estas 3 equacoes definem um paralelepipedozinho de volume
abc no espaco x-y-z, entao teriamos Pr(x<a e y<b e z<c)=abc/L^3.
No caso do problema, queremos x<y+z, y<x+z e z<x+y. Desenhe isso -- eh
o solido dentro do cubo e "dentro" da superficie composta por estes 3
planos -- analiticamente, eh o tetraedro regular de vertices
(0,0,0),(L,L,0),(L,0,L),(0,L,L) UNIAO com o tetraedro retangulo de
vertices (L,L,0),(L,0,L),(0,L,L),(L,L,L). Na figura anexa, eh o
tetraedro colorido MAIS o tetraedro transparente no canto superior
direito da figura.
Agora eh soh achar o volume deste solido por analitica, geometria ou
sei lah. O volume do tetraedro colorido eh (Lraiz(2))^3 raiz(2)/12 =
L^3/3, enquanto o do cantinho superior eh L^3/6. Somando e dividindo
por L^3, voce acha a resposta, que eh
1/2=50%.
2) Quebra-se uma vareta em três pedaços. Calcule a probabilidade de
que se possa formar um triângulo com esses pedaços.
Esta jah apareceu aqui na lista... Deixa eu ver.... Aqui:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200706/msg00182.html
Note que a solucao que eu escrevi lah faz uma hipotese de que voce
escolhe os pontos de quebra "ao acaso" e independentemente, depois
quebra a vareta. Nao creio que eh isso que uma pessoa normalmente faz
quando quebra uma vareta em 3 pedacos; alias, quando uma pessoa quebra
uma vareta em *dois* pedacos, nao costuma ser com a probabilidade do
problema anterior tampouco -- a gente tende a quebrar mais perto do
meio, raramente nas pontas.
Abraco,
Ralph
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