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[SPAM] Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
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--=====================_6040171==.ALT
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Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Obrigado ao Ojesed pela id=E9ia de fazer uma=20
substitui=E7=E3o de vari=E1vel do tipo z=3D(x+1) para=20
simplificar a an=E1lise. Deve ser =FAtil. Mas n=E3o d=E1=20
para aplicar Cardano diretamente, porque (repito)=20
este =E9 um polin=F4mio de vari=E1vel complexa. Cardano=20
serve para resolver equa=E7=F5es c=FAbicas de vari=E1vel=20
real (possivelmente v=E1lido at=E9 se os coeficientes=20
forem complexos), que n=E3o =E9 o caso aqui.
N=E3o =E9 a primeira vez que esta confus=E3o acontece.=20
Ser=E1 porque a vari=E1vel usada =E9 x (que induz a=20
pensar em n=FAmeros reais) em vez de z (como =E9=20
comum para n=FAmeros complexos)? Pensar em x como=20
um "vetor" de coordenadas cartesianas (a,b) ou=20
polares (|x|,arg(x)) ajuda o racioc=EDnio.
Para os que (ainda) se interessarem no problema,=20
lembro que uma fun=E7=E3o de C em C tem como dom=EDnio=20
todo o plano de Argand, e a imagem ser=E1 pelo=20
menos um subconjunto (n=E3o necessariamente cont=EDnuo) de todo o plano de=
Argand.
Neste caso, como a fun=E7=E3o =E9 um polin=F4mio de grau=20
3, cada ponto x do plano dom=EDnio =E9 mapeado para=20
um ponto do plano imagem atrav=E9s das transla=E7=F5es=20
e rota=E7=F5es provocadas pela potencia=E7=E3o de x e=20
pela multiplica=E7=E3o de x por n=FAmeros reais.
A quest=E3o inicial, ent=E3o, =E9 descobrir que regi=E3o=20
do plano de Argand pode possuir ra=EDzes de P(x)=3D0.=20
Depois determinar a localiza=E7=E3o destes pontos=20
nesta regi=E3o (em fun=E7=E3o de k, que =E9 um n=FAmero=20
real). E, finalmente, analisar a figura=20
geom=E9trica descrita pelo deslocamento destes=20
pontos no plano de argand quando k varia entre 0 e +inf.
Exemplo do racioc=EDnio da primeira parte: n=E3o=20
existe x tal que P(x)=3D0 na regi=E3o do plano de=20
Argand definida por 0<=3Darg(x)<pi/4 porque neste=20
caso im(x)>0, im(x^2)>0 e im(x^3)>0, o que torna imposs=EDvel que=
im(P(z))=3D0.
Como disse antes, consigo enxergar as regi=F5es do=20
plano de Argand definidas por arg(z)=3Dpi/2 (o=20
semi-eixo imagin=E1rio positivo, exclu=EDda a origem)=20
e por arg(z)=3Dpi (o semi-eixo real negativo,=20
tamb=E9m exclu=EDda a origem) como candidatas a=20
hospedeiras das ra=EDzes de P(x)=3D0. Mas ser=E1 que a=20
minha vis=E3o geom=E9trica est=E1 correta e completa?
Ainda n=E3o desenvolvi a =E1lgebra destes casos para=20
verificar se um, outro ou ambos s=E3o compat=EDveis=20
com P(x) (afinal de contas, estou fazendo isto=20
por puro diletantismo, e o tempo livre para=20
raciocinar livremente anda meio curto ;-)). Mas=20
continuo interessado em id=E9ias a respeito.
[ ]'s
>Esta quest=E3o foi da prova de =E1lgebra do IME=20
>1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado.
>
>Seja P(x)=3D(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x=20
>complexo e k real positivo. Desenhar no plano=20
>complexo o lugar geom=E9trico das ra=EDzes de=20
>P(x)=3D0 para todos os valores poss=EDveis de k.
>
>Tentei o seguinte: se z=3Da+bi =E9 raiz de P(x),=20
>ent=E3o P(z)=3D0, o que implica que Re[P(z)]=3D0 e=20
>Im[P(z)]=3D0, ent=E3o daria para obter express=F5es em=20
>fun=E7=E3o de a e b que descrevessem o lugar=20
>geom=E9trico procurado. S=F3 que as express=F5es parecem intrat=E1veis.
>
>Alguma outra id=E9ia?
J. R. Smolka =20
--=====================_6040171==.ALT
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<body>
Obrigado ao Ojesed pela id=E9ia de fazer uma substitui=E7=E3o de vari=E1vel =
do
tipo z=3D(x+1) para simplificar a an=E1lise. Deve ser =FAtil. Mas n=E3o d=E1=
para
aplicar Cardano diretamente, porque (repito) este =E9 um polin=F4mio de
vari=E1vel complexa. Cardano serve para resolver equa=E7=F5es c=FAbicas de
vari=E1vel real (possivelmente v=E1lido at=E9 se os coeficientes forem
complexos), que n=E3o =E9 o caso aqui.<br><br>
N=E3o =E9 a primeira vez que esta confus=E3o acontece. Ser=E1 porque a vari=
=E1vel
usada =E9 x (que induz a pensar em n=FAmeros reais) em vez de z (como =E9 co=
mum
para n=FAmeros complexos)? Pensar em x como um "vetor" de
coordenadas cartesianas (a,b) ou polares (|x|,arg(x)) ajuda o
racioc=EDnio.<br><br>
Para os que (ainda) se interessarem no problema, lembro que uma fun=E7=E3o d=
e
C em C tem como dom=EDnio todo o plano de Argand, e a imagem ser=E1 pelo
menos um subconjunto (n=E3o necessariamente cont=EDnuo) de todo o plano de
Argand.<br><br>
Neste caso, como a fun=E7=E3o =E9 um polin=F4mio de grau 3, cada ponto x do =
plano
dom=EDnio =E9 mapeado para um ponto do plano imagem atrav=E9s das=
transla=E7=F5es e
rota=E7=F5es provocadas pela potencia=E7=E3o de x e pela multiplica=E7=
=E3o de x
por n=FAmeros reais.<br><br>
A quest=E3o inicial, ent=E3o, =E9 descobrir que regi=E3o do plano de Argand =
pode
possuir ra=EDzes de P(x)=3D0. Depois determinar a localiza=E7=E3o destes pon=
tos
nesta regi=E3o (em fun=E7=E3o de k, que =E9 um n=FAmero real). E, finalmente=
,
analisar a figura geom=E9trica descrita pelo deslocamento destes pontos no
plano de argand quando k varia entre 0 e +inf.<br><br>
Exemplo do racioc=EDnio da primeira parte: n=E3o existe x tal que P(x)=3D0 n=
a
regi=E3o do plano de Argand definida por 0<=3Darg(x)<pi/4 porque neste
caso im(x)>0, im(x^2)>0 e im(x^3)>0, o que torna imposs=EDvel que
im(P(z))=3D0.<br><br>
Como disse antes, consigo enxergar as regi=F5es do plano de Argand
definidas por arg(z)=3Dpi/2 (o semi-eixo imagin=E1rio positivo, exclu=EDda a
origem) e por arg(z)=3Dpi (o semi-eixo real negativo, tamb=E9m exclu=EDda a
origem) como candidatas a hospedeiras das ra=EDzes de P(x)=3D0. Mas ser=E1 q=
ue
a minha vis=E3o geom=E9trica est=E1 correta e completa?<br><br>
Ainda n=E3o desenvolvi a =E1lgebra destes casos para verificar se um, outro
ou ambos s=E3o compat=EDveis com P(x) (afinal de contas, estou fazendo isto
por puro diletantismo, e o tempo livre para raciocinar livremente anda
meio curto ;-)). Mas continuo interessado em id=E9ias a respeito.<br><br>
[ ]'s<br><br>
<blockquote type=3Dcite class=3Dcite cite=3D"">Esta quest=E3o foi da prova d=
e
=E1lgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado.<br><br>
Seja P(x)=3D(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo.
Desenhar no plano complexo o lugar geom=E9trico das ra=EDzes de P(x)=
=3D0
para todos os valores poss=EDveis de k.<br><br>
Tentei o seguinte: se z=3Da+bi =E9 raiz de P(x), ent=E3o P(z)=3D0, o que imp=
lica
que Re[P(z)]=3D0 e Im[P(z)]=3D0, ent=E3o daria para obter express=F5es em fu=
n=E7=E3o
de a e b que descrevessem o lugar geom=E9trico procurado. S=F3 que as
express=F5es parecem intrat=E1veis.<br><br>
Alguma outra id=E9ia?<font face=3D"trebuchet MS" size=3D2></font></blockquot=
e>
<x-sigsep><p></x-sigsep>
<font size=3D4><b>J. R. Smolka</b></font> </body>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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