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[SPAM] [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
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Ribamar, o m=E9todo de Cardano/Tartaglia, resulta nas raizes de um =
polin=F4mio de grau 3, sendo elas reais ou complexas.
----- Original Message -----=20
From: J. R. Smolka=20
To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx=20
Sent: Thursday, May 15, 2008 10:06 AM
Subject: Re: [obm-l] Polin=F4mios de vari=E1vel complexa
Obrigado ao Ojesed pela id=E9ia de fazer uma substitui=E7=E3o de =
vari=E1vel do tipo z=3D(x+1) para simplificar a an=E1lise. Deve ser =
=FAtil. Mas n=E3o d=E1 para aplicar Cardano diretamente, porque (repito) =
este =E9 um polin=F4mio de vari=E1vel complexa. Cardano serve para =
resolver equa=E7=F5es c=FAbicas de vari=E1vel real (possivelmente =
v=E1lido at=E9 se os coeficientes forem complexos), que n=E3o =E9 o caso =
aqui.
N=E3o =E9 a primeira vez que esta confus=E3o acontece. Ser=E1 porque a =
vari=E1vel usada =E9 x (que induz a pensar em n=FAmeros reais) em vez de =
z (como =E9 comum para n=FAmeros complexos)? Pensar em x como um "vetor" =
de coordenadas cartesianas (a,b) ou polares (|x|,arg(x)) ajuda o =
racioc=EDnio.
Para os que (ainda) se interessarem no problema, lembro que uma =
fun=E7=E3o de C em C tem como dom=EDnio todo o plano de Argand, e a =
imagem ser=E1 pelo menos um subconjunto (n=E3o necessariamente =
cont=EDnuo) de todo o plano de Argand.
Neste caso, como a fun=E7=E3o =E9 um polin=F4mio de grau 3, cada ponto =
x do plano dom=EDnio =E9 mapeado para um ponto do plano imagem atrav=E9s =
das transla=E7=F5es e rota=E7=F5es provocadas pela potencia=E7=E3o de x =
e pela multiplica=E7=E3o de x por n=FAmeros reais.
A quest=E3o inicial, ent=E3o, =E9 descobrir que regi=E3o do plano de =
Argand pode possuir ra=EDzes de P(x)=3D0. Depois determinar a =
localiza=E7=E3o destes pontos nesta regi=E3o (em fun=E7=E3o de k, que =
=E9 um n=FAmero real). E, finalmente, analisar a figura geom=E9trica =
descrita pelo deslocamento destes pontos no plano de argand quando k =
varia entre 0 e +inf.
Exemplo do racioc=EDnio da primeira parte: n=E3o existe x tal que =
P(x)=3D0 na regi=E3o do plano de Argand definida por 0<=3Darg(x)<pi/4 =
porque neste caso im(x)>0, im(x^2)>0 e im(x^3)>0, o que torna =
imposs=EDvel que im(P(z))=3D0.
Como disse antes, consigo enxergar as regi=F5es do plano de Argand =
definidas por arg(z)=3Dpi/2 (o semi-eixo imagin=E1rio positivo, =
exclu=EDda a origem) e por arg(z)=3Dpi (o semi-eixo real negativo, =
tamb=E9m exclu=EDda a origem) como candidatas a hospedeiras das ra=EDzes =
de P(x)=3D0. Mas ser=E1 que a minha vis=E3o geom=E9trica est=E1 correta =
e completa?
Ainda n=E3o desenvolvi a =E1lgebra destes casos para verificar se um, =
outro ou ambos s=E3o compat=EDveis com P(x) (afinal de contas, estou =
fazendo isto por puro diletantismo, e o tempo livre para raciocinar =
livremente anda meio curto ;-)). Mas continuo interessado em id=E9ias a =
respeito.
[ ]'s
Esta quest=E3o foi da prova de =E1lgebra do IME 1976/1977. Vou =
transliterar um pouco o enunciado.
Seja P(x)=3D(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real =
positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geom=E9trico das ra=EDzes =
de P(x)=3D0 para todos os valores poss=EDveis de k.
Tentei o seguinte: se z=3Da+bi =E9 raiz de P(x), ent=E3o P(z)=3D0, o =
que implica que Re[P(z)]=3D0 e Im[P(z)]=3D0, ent=E3o daria para obter =
express=F5es em fun=E7=E3o de a e b que descrevessem o lugar =
geom=E9trico procurado. S=F3 que as express=F5es parecem intrat=E1veis.
Alguma outra id=E9ia?
J. R. Smolka=20
------=_NextPart_000_00BF_01C8B84A.20BBFA20
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<A title=3Dsmolka@xxxxxxxxxxxx href=3D"mailto:smolka@xxxxxxxxxxxx";>J. =
R.=20
Smolka</A> </DIV>
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AM</DIV>
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Polin=F4mios de=20
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para aplicar Cardano diretamente, porque (repito) este =E9 um =
polin=F4mio de=20
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c=FAbicas de vari=E1vel=20
real (possivelmente v=E1lido at=E9 se os coeficientes forem =
complexos), que n=E3o =E9=20
o caso aqui.<BR><BR>N=E3o =E9 a primeira vez que esta confus=E3o =
acontece. Ser=E1=20
porque a vari=E1vel usada =E9 x (que induz a pensar em n=FAmeros =
reais) em vez de z=20
(como =E9 comum para n=FAmeros complexos)? Pensar em x como um "vetor" =
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coordenadas cartesianas (a,b) ou polares (|x|,arg(x)) ajuda o=20
racioc=EDnio.<BR><BR>Para os que (ainda) se interessarem no problema, =
lembro que=20
uma fun=E7=E3o de C em C tem como dom=EDnio todo o plano de Argand, e =
a imagem ser=E1=20
pelo menos um subconjunto (n=E3o necessariamente cont=EDnuo) de todo o =
plano de=20
Argand.<BR><BR>Neste caso, como a fun=E7=E3o =E9 um polin=F4mio de =
grau 3, cada ponto=20
x do plano dom=EDnio =E9 mapeado para um ponto do plano imagem =
atrav=E9s das=20
transla=E7=F5es e rota=E7=F5es provocadas pela potencia=E7=E3o =
de x e pela=20
multiplica=E7=E3o de x por n=FAmeros reais.<BR><BR>A quest=E3o =
inicial, ent=E3o, =E9=20
descobrir que regi=E3o do plano de Argand pode possuir ra=EDzes de =
P(x)=3D0. Depois=20
determinar a localiza=E7=E3o destes pontos nesta regi=E3o (em =
fun=E7=E3o de k, que =E9 um=20
n=FAmero real). E, finalmente, analisar a figura geom=E9trica descrita =
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deslocamento destes pontos no plano de argand quando k varia entre 0 e =
+inf.<BR><BR>Exemplo do racioc=EDnio da primeira parte: n=E3o existe x =
tal que=20
P(x)=3D0 na regi=E3o do plano de Argand definida por =
0<=3Darg(x)<pi/4 porque=20
neste caso im(x)>0, im(x^2)>0 e im(x^3)>0, o que torna =
imposs=EDvel que=20
im(P(z))=3D0.<BR><BR>Como disse antes, consigo enxergar as regi=F5es =
do plano de=20
Argand definidas por arg(z)=3Dpi/2 (o semi-eixo imagin=E1rio positivo, =
exclu=EDda a=20
origem) e por arg(z)=3Dpi (o semi-eixo real negativo, tamb=E9m =
exclu=EDda a origem)=20
como candidatas a hospedeiras das ra=EDzes de P(x)=3D0. Mas ser=E1 que =
a minha vis=E3o=20
geom=E9trica est=E1 correta e completa?<BR><BR>Ainda n=E3o desenvolvi =
a =E1lgebra=20
destes casos para verificar se um, outro ou ambos s=E3o compat=EDveis =
com P(x)=20
(afinal de contas, estou fazendo isto por puro diletantismo, e o tempo =
livre=20
para raciocinar livremente anda meio curto ;-)). Mas continuo =
interessado em=20
id=E9ias a respeito.<BR><BR>[ ]'s<BR><BR>
<BLOCKQUOTE class=3Dcite cite=3D"" type=3D"cite">Esta quest=E3o foi da =
prova de=20
=E1lgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o =
enunciado.<BR><BR>Seja=20
P(x)=3D(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real =
positivo. Desenhar=20
no plano complexo o lugar geom=E9trico das ra=EDzes de =
P(x)=3D0 para todos=20
os valores poss=EDveis de k.<BR><BR>Tentei o seguinte: se z=3Da+bi =
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P(x), ent=E3o P(z)=3D0, o que implica que Re[P(z)]=3D0 e =
Im[P(z)]=3D0, ent=E3o daria=20
para obter express=F5es em fun=E7=E3o de a e b que descrevessem o =
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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