Re: [obm-l] Ajuda em aulas

["Ralph Teixeira" <ralphct@xxxxxxxxx>]

Como eu nao gosto muito de mexer com OUs, prefiro analisar o evento complementar: qual a probabilidade da soma nao ser par E o produto nao ser multiplo de 4?

 

Vejamos isto.... com a soma nao eh par, queremos soma impar, isto eh, um numero par e um impar.

Mas entao, para o produto NAO ser multiplo de 4, o numero par nao pode ser multiplo de 4.

 

Em suma, uma das bolas tem de estar em {1,3,5,7,9,11,13} e a outra tem de estar em {2,6,10,14} para que o evento complementar aconteca. Ha 7x4x2 maneiras de isto acontecer (o 2 extra eh porque pode ser a bola impar primeiro ou a bola par primeiro), todas igualmente provaveis, de um universo de 14x14 possibilidades, todas igualmente provaveis. A probabilidade do evento complementar eh, entao 7x4x2/14x14 = 2/7.

 

Agora nao esqueca de voltar ao evento original: a probabilidade pedida eh 5/7.

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Um outro jeito equivalente de fazer a coisa toda eh notar que soh 3 informacoes sao necessarias para saber se o evento aconteceu:

A. saber se cada bola eh impar

nao A. saber se cada bola eh par e neste caso:

   B. saber se ela eh multipla de 4...

   C. ... ou nao

 

Ou seja, A={1,3,5,7,9,11,13}, B={4,8,12} e C={2,6,10,14} (e, portanto, para cada bola, Pr(A)=7/14, Pr(B)=3/14 e Pr(C)=4/14).

 

Pensemos com calma quando que nosso evento acontece. Analise as nove possibilidades (se desejar, desenhe uma arvore; na primeira bola, a arvore abre em 3 ramos, A, B e C, mas as probabilidades NAO SAO 1/3 para cada -- sao 7/14, 3/14 e 4/14; cada um destes 3 ramos abre em 3 novos galhos para a segunda bola; muitos alunos preferem esta representcao grafica; voce pode entao apontar na arvore cada um dos nove casos que vamos listar abaixo)

 

(Notacao: XY aqui indica que deu X na primeira bola e Y na segunda)

 

AA: soma eh par, produto eh multiplo de 4. VALE (estou usando o OU matematico)

AB, BA: soma eh impar, produto eh multiplo de 4. VALE.

AC, CA: soma eh impar, produto nao eh multiplo de 4. NAO VALE.

BB, BC, CB, CC: soma par. VALE.

 

(Cuidado: alguns alunos vao achar que a probabilidade eh 8/9 pois dos 9 casos possiveis, 8 servem. Tah errado! Os tais "9 casos" nao sao igualmente provaveis!)

 

Agora tem dois jeitos:

 

i) Direto: Pr (VALE) = Pr(AA)+Pr(AB)+Pr(BA)+Pr(BB)+Pr(BC)+Pr(CB)+Pr(CC) = 1/2x1/2 + 1/2x3/14 + ... = conta chata = 2/7

ii) Pelo Complemento: Pr(NAO VALE)=Pr(AC)+Pr(CA)=1/2x4/14+4/14x1/2 = 4/14 (Essencialmente, foi isso que eu fiz lah em cima)

 (OBS: como o sorteio eh COM REPOSICAO, o resultado da segunda bola eh independente do resultado da primeira, entao eu posso usar estas multiplicaoezinhas)

 

2008/5/14 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <wtadeu10@xxxxxxxxx>:

Amigos,

 

Gostaria de uma solução possível de entendimento a alunos medianos para essa questão.

 

"Uma urna contém 14 bolas numeradas de 1 a 14.

Retiram-se duas bolas sucessivamente, com reposição.

Qual a probabilidade de que os números obtidos resultem em soma par ou produto múltiplo de 4?"

Grato
 

Walter Tadeu