Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa

["Ralph Teixeira" <ralphct@xxxxxxxxx>]

Olá a todos novamente.

 

Oi, J.R.. Por um lado, sua análise final está correta -- o lugar geométrico é uma união de intervalos na reta real; mas, enquanto a princípio poderia haver outros "intervalos" ou "curvas" no plano complexo (e para cada curva teria de haver a sua "espelhada", exatamente pelo raciocínio que você fez), neste caso específico eles são vazios. Com a sua notação, eu diria que o seu k1 é +Infinito, então não tem aquela "fase de uma raiz real e duas complexas conjugadas".

 

(Aliás, dá para mostrar que quando k tende a +Inf, as raízes se aproximam de -Inf, -4 e -2, que ainda são reais.)

 

De fato, aquela minha solução **não** pressupõe que o domínio do polinômio era só R desde o início não... Bom, eu pressupus que os *coeficientes* do polinômio eram reais (e são, pois quando se diz que k é positivo automaticamente k tem de ser real). Daqui sai que p(R) está contido em R (ainda não estou dizendo nada sobre p(z) para z fora de R). Então a gente *prova* que basta analisar raízes reais, pois:

 

i) As primeiras linhas daquela minha solução *mostram* que há 3 raízes reais; o raciocínio é válido pois p(x) tem coeficientes reais, então *coincide* com um polinômio de R em R. As 3 raízes reais que a gente acha quando pensa que o domínio é R não desaparecem quando o domínio é expandido para C.

ii) Mas o polinômio tem grau 3, então só pode ter 3 raízes complexas (um polinômio de grau n tem n raízes complexas, contando multiplicidade, mesmo que os coeficiemtes sejam complexos).

iii) Mas então todas as raízes são reais!

 

Então, se o problema é "onde estão as possíveis raízes", agora sim, basta analisar as raízes reais -- não há outras!

 

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Agora vem a parte mais difícil... depois de sacar que as raízes são sempre reais, a chave do problema é: ao invés de pensar...

 

"Tá aqui um k. Será que eu consigo descobrir as raízes x1, x2 e x3 associadas a este k, para depois colar tudo e responder este problema?"

(que é dífícil pra caramba, pois basicamente você teria que resolver uma equação de 3o grau, ou pelo menos descobrir propriedades destas raízes em função de um parâmetro k)

 

...é muito melhor pensar assim, "ao contrário":

 

"Tá aqui um número x, candidato a raiz. Será que ele **pode** ser raiz do polinômio para algum k positivo? Isto é, será que eu arrumo um k que faz este x ser raiz?"

(esta é fácil, o único k que pode funcionar é k0=-(x+1)(x+3)(x+5)/(x+2)(x+4); se este k0 for positivo, aquele x é raiz do polinômio, para k=k0)

 

Abraço,

      Ralph

 

P.S.: A afirmação da Alane vale para polinômios **com coeficientes reais** (que é o caso neste problema). Se os coeficientes não forem reais, você pode ter algo como p(x)=x-i, que tem a raiz i mas não tem a conjugada, ou quaisquer raízes complexas, de fato.

 

2008/5/13 J. R. Smolka <smolka@xxxxxxxxxxxx>:

Primeiramente obrigado à Alane e ao Ralph pelas sugestões. Vamos por partes:

A Alane lembrou que se z é uma raiz do polinômio, então o conjugado complexo de z também será raiz. Não tenho certeza absoluta, mas acho que este princípio se mantém para funções polinomiais de C em C.

O Ralph fez uma análise como se o polinômio fosse função de R em R, que não é o caso. Mas me deu algumas idéias sobre como atacar o problema. Até agora estou apenas no nível qualitativo. Depois vou tentar resolver a álgebra (a menos que alguém me mostre que esta linha de raciocínio não tem futuro :-)). O que estou pensando é:

1) Se k=0, P(x) tem três raízes reais em x=-1, x=-3 e x=-5.

2) Deve existir uma faixa de valores 0<k<=k1 para a qual P(x) ainda apresenta três raízes reais, que vão "excursionar" em algum trecho do semi-eixo real negativo. A investigar: (a) Qual o valor de k1? (estudo de máximos/mínimos/inflexões via P'(x)=0 deve ajudar nisso); (b) qual(is) intervalo(s) do semi-eixo real negativo é(são) percorrido(s) pelas raízes?

3) Se k>k1 então deve continuar a existir uma raiz real (que também "excursiona" no semi-eixo real negativo) e um par de raízes complexas conjugadas. Sobre a raiz real a pergunta é: qual o seu intervalo de excursão? Sobre as raízes complexas o raciocínio é mais longo...

4) Temos que P(x)=x^3+(k+9)x^2+(6k+23)x+(8k+15). Se z=r.e^(i.a) é raiz de P(x), então r^3.e^(i.3a)+(k+9)r^2.e^(i.2a)+(6k+23)r.e^(i.a)+(8k+15)=0. Então temos quatro componentes, com argumentos complexos 0 (número real), a, 2a e 3a. De cara enxergo como "candidatos" a raiz os números complexos na forma z=r.e^(i.pi/2), onde o valor de r depende de k. Desta forma, o componente de argumento complexo 2a=2.pi/2=pi  pode anular o componente de argumento complexo 0, e o componente de argumento complexo 3a=3.pi/2 pode anular o componente de argumento complexo a=pi/2. Se isto realmente for possível (tenho que verificar a álgebra), então z excursiona em um intervalo do semi-eixo imaginário positivo, com este intervalo limitado em (pelo menos) um valor que é função de k1, e o seu conjugado complexo vai ter um comportamento "espelhado" no semi-eixo imaginário negativo.

Então minha primeira visão (qualitativa) para o lugar geométrico procurado é: um conunto de intervalos (possivelmente contínuos ou parcialmente sobrepostos) no semi-eixo real negativo, um intervalo (talvez finito) no semi-eixo imaginário positivo e o seu "espelho" no semi-eixo imaginário negativo.

Críticas? Sugestões?

[ ]'s

Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado.
Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico  das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k.
Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis.

J. R. Smolka